1、第第 1 课时课时直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线 一、选择题 1.过抛物线 y22x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A，B 两点，它们的横坐标 之和等于 2，则这样的直线() A.有且只有一条B.有且只有两条 C.有且只有三条D.有且只有四条 解析通径 2p2，又|AB|x1x2p，|AB|32p，故这样的直线有且 只有两条. 答案B 2.直线 yb ax3 与双曲线 x2 a2 y2 b21(a0，b0)的交点个数是( ) A.1B.2C.1 或 2D.0 解析因为直线 yb ax3 与双曲线的渐近线 y b ax 平行，所以它与双曲线只 有 1 个交点. 答案A 3.经过椭圆x 2 2 y2
2、1 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l，交椭圆于 A，B 两 点，设 O 为坐标原点，则OA OB 等于() A.3B.1 3 C.1 3或3 D.1 3 解析依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为 y0tan 45 (x1)，即 yx1，代入椭圆方程x 2 2 y21 并整理得 3x24x0，解得 x0 或 x4 3，所以两个交点坐标分别为(0，1)， 4 3， 1 3 ，OA OB 1 3，同理， 直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA OB 1 3. 答案B 4.抛物线 yx2到直线 xy20 的最短距离为() A. 2B.7 2 8 C.2 2D.5 2 6 解
3、析设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则 d|xy2| 2 |x 2x2| 2 | x1 2 2 7 4| 2 ，x1 2时， d min7 2 8 . 答案B 5.(2017石家庄调研)椭圆 ax2by21 与直线 y1x 交于 A，B 两点，过原点 与线段 AB 中点的直线的斜率为 3 2 ，则a b的值为( ) A. 3 2 B.2 3 3 C.9 3 2 D.2 3 27 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 中点 M(x0，y0)， 由题设 kOMy0 x0 3 2 . 由 ax21by211， ax22by221，得 （y2y1） （y2y1） （x2x1） （x2
4、x1） a b. 又y 2y1 x2x11， y2y1 x2x1 2y0 2x0 3 2 . 所以a b 3 2 . 答案A 二、填空题 6.已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，F( 2，0)为其右焦点，过 F 且垂直于 x 轴 的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为_. 解析由题意得 c 2， b2 a 1， a2b2c2， 解得 a2， b 2，椭圆 C 的方程为 x2 4 y 2 2 1. 答案 x2 4 y 2 2 1 7.已知抛物线 yax2(a0)的焦点到准线的距离为 2，则直线 yx1 截抛物线 所得的弦长等于_. 解析由题设知 p 1 2a2，a
5、 1 4. 抛物线方程为 y1 4x 2，焦点为 F(0，1)，准线为 y1. 联立 y1 4x 2， yx1， 消去 x， 整理得 y26y10，y1y26，直线过焦点 F， 所得弦|AB|AF|BF|y11y218. 答案8 8.过椭圆 x2 16 y2 4 1 内一点 P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是 _. 解析设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由于 A，B 两点均在椭圆上， 故x 2 1 16 y21 4 1，x 2 2 16 y22 4 1， 两式相减得 （x1x2） （x1x2） 16 （y1y2） （y1y2） 4 0. 又P 是 A，B
6、的中点，x1x26，y1y22， kABy1y2 x1x2 3 4. 直线 AB 的方程为 y13 4(x3). 即 3x4y130. 答案3x4y130 三、解答题 9.设 F1，F2分别是椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，过 F 1且斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率； (2)设点 P(0，1)满足|PA|PB|，求 E 的方程. 解(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a， 又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB|4 3a， l 的方程为 yxc，其中 c a2b2
7、. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点的坐标满足方程组 yxc， x2 a2 y2 b21， 消去 y， 化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0， 则 x1x22a 2c a2b2， x 1x2a 2（c2b2） a2b2 . 因为直线 AB 的斜率为 1， 所以|AB| 2|x2x1| 2（x1x2）24x1x2， 即 4 3a 4ab2 a2b2，故 a 22b2， 所以 E 的离心率 ec a a2b2 a 2 2 . (2)设 AB 的中点为 N(x0，y0)，由(1)知 x0 x1x2 2 a2c a2b2 2c 3 ，y0 x0cc 3. 由|PA
8、|PB|，得 kPN1，即y01 x0 1， 得 c3，从而 a3 2，b3. 故椭圆 E 的方程为x 2 18 y2 9 1. 10.已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点为 A(2，0)，离 心率为 2 2 .直线 yk(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当AMN 的面积为 10 3 时，求 k 的值. 解(1)由题意得 a2， c a 2 2 ， a2b2c2. 解得 b 2，所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 2 1. (2)由 yk（x1） ， x2 4 y 2 2 1， 得(12k2)x24k2x2k240.
9、设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 y1k(x11)，y2k(x21)， x1x2 4k2 12k2，x 1x22k 24 12k2， 所以|MN| （x2x1）2（y2y1）2 （1k2）（x1x2）24x1x2 2 （1k 2） （46k2） 12k2 又因为点 A(2，0)到直线 yk(x1)的距离 d |k| 1k2， 所以AMN 的面积为 S1 2|MN|d |k| 46k2 12k2 ，由|k| 46k 2 12k2 10 3 ，解得 k 1. 11.已知椭圆x 2 4 y 2 b21(0b2)的左、右焦点分别为 F 1，F2，过 F1的直线 l 交 椭
10、圆于 A，B 两点，若|BF2|AF2|的最大值为 5，则 b 的值是() A.1B. 2C.3 2 D. 3 解析由椭圆的方程，可知长半轴长为 a2，由椭圆的定义，可知|AF2|BF2| |AB|4a8， 所以|AB|8(|AF2|BF2|)3. 由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2 a 3，可求得 b23， 即 b 3. 答案D 12.(2016四川卷)设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px(p0)上任 意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值 是() A. 3 3 B.2 3 C. 2 2 D.1 解析
11、如图所示，设 P(x0，y0)(y00)，则 y202px0， 即 x0y 2 0 2p. 设 M(x，y)，由PM 2MF ， 得 xx02 p 2x， yy02（0y） ， 解之得 xpx0 3 ，且 yy0 3 . 直线 OM 的斜率 ky x y0 py0 2p 2p 2p2 y0 y0 又 y02p 2 y0 2 2p，当且仅当 y0 2p 时取等号. k 2p 2 2p 2 2 ，则 k 的最大值为 2 2 . 答案C 13.设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂 足.如果直线 AF 的斜率为 3，那么|PF|_. 解析直线 AF 的方程
12、为 y 3(x2)，联立 y 3x2 3， x2， 得 y4 3， 所以 P(6，4 3).由抛物线的性质可知|PF|628. 答案8 14.已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|5 4|PQ|. (1)求 C 的方程； (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点， 若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M， N 两点，且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求 l 的方程. 解(1)设 Q(x0，4)，代入 y22px 得 x08 p. 所以|PQ|8 p，|QF| p 2x 0p 2 8 p. 由题
13、设得p 2 8 p 5 4 8 p，解得 p2(舍去)或 p2. 所以 C 的方程为 y24x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直，故可设 l 的方程为 xmy1(m0).代入 y2 4x 得 y24my40. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24m，y1y24. 故 AB 的中点为 D(2m21，2m)， |AB| m21|y1y2|4(m21). 又 l的斜率为m，所以 l的方程为 x1 my2m 23. 将上式代入 y24x，并整理得 y24 my4(2m 23)0. 设 M(x3，y3)，N(x4，y4)，则 y3y44 m， y3y44(2m23). 故 MN 的中点为 E 2 m22m 23，2 m ， |MN|1 1 m2|y 3y4|4（m 21） 2m21 m2 . 由于 MN 垂直平分 AB， 故 A， M， B， N 四点在同一圆上等价于|AE|BE|1 2|MN|， 从而1 4|AB| 2|DE|21 4|MN| 2， 即 4(m21)2 2m2 m 2 2 m22 2 4（m 21）2（2m21） m4 . 化简得 m210， 解得 m1 或 m1. 所求直线 l 的方程为 xy10 或 xy10.
