1、第第 2 课时课时参数方程参数方程 最新考纲考情考向分析 1.了解参数方程，了解参数的意义 2.能选择适当的参数写出直线、 圆和椭圆的 参数方程. 了解参数的意义， 重点考查直线参数方程中参数 的几何意义及圆、 椭圆的参数方程与普通方程的 互化， 往往与极坐标结合考查在高考选做题中 以解答题形式考查，难度为中档. 1参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数从参数方 程得到普通方程 (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 xf(t)，把它代入普通方程，求出另一 个变数与参数的关系 yg(t)，那么 xft， ygt
2、 就是曲线的参数方程 2常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹普通方程参数方程 直线yy0tan (xx0) xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数) 圆x2y2r2 xrcos ， yrsin (为参数) 椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0) xacos ， ybsin (为参数) 抛物线y22px(p0) x2pt2， y2pt (t 为参数) 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)参数方程 xft， ygt 中的 x，y 都是参数 t 的函数() (2)过 M0(x0，y0)，倾斜角为 2 的直线 l 的参数方程为 xx0tcos ， yy
3、0tsin (t 为参数)参数 t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M0为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向线段 M0M 的数 量() (3)方程 x2cos ， y12sin (为参数)表示以点(0,1)为圆心，以 2 为半径的圆() (4)已知椭圆的参数方程 x2cos t， y4sin t (t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t 3，点 O 为原 点，则直线 OM 的斜率为 3.() 题组二教材改编 2P25 例 3曲线 x1cos ， y2sin (为参数)的对称中心() A在直线 y2x 上B在直线 y2x 上 C在直线 yx1 上D在直线 yx1 上 答案B 解析由
4、 x1cos ， y2sin ， 得 cos x1， sin y2. 所以(x1)2(y2)21.曲线是以(1,2)为圆心，1 为半径的圆，所以对称中心为(1,2)，在 直线 y2x 上 3P37 例 2在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l： xt， yta (t 为参数)过椭圆 C： x3cos ， y2sin (为参数)的右顶点，求常数 a 的值 解直线 l 的普通方程为 xya0， 椭圆 C 的普通方程为x 2 9 y 2 4 1， 椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线 l 过(3,0)， 则 3a0，a3. 题组三易错自纠 4直线 l 的参数方程为 x1t， y23t (t
5、为参数)，求直线 l 的斜率 解将直线 l 的参数方程化为普通方程为 y23(x1)，因此直线 l 的斜率为3. 5设 P(x，y)是曲线 C： x2cos ， ysin (为参数，0,2)上任意一点，求y x的取值范 围 解由曲线 C： x2cos ， ysin (为参数)， 得(x2)2y21，表示圆心为(2,0)，半径为 1 的圆 y x表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设 y xk，则原问题转化为 ykx 和圆有交点的问题， 即圆心到直线的距离 dr，所以 |2k| 1k21，解得 3 3 k 3 3 ， 所以y x的取值范围为 3 3 ， 3 3 . 6已知曲线 C 的极坐标方程是2
6、cos ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的 正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 x 3 2 tm， y1 2t (t 为参数) (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2)设点 P(m,0)，若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|PA|PB|1，求实数 m 的值 解(1)曲线 C 的极坐标方程是2cos ， 化为22cos ，可得直角坐标方程为 x2y22x0. 直线 l 的参数方程是 x 3 2 tm， y1 2t (t 为参数)， 消去参数 t 可得 x 3ym， 即3yxm0. (2)把 x 3 2 tm， y1 2t (t 为
7、参数)代入方程 x2y22x， 化为 t2( 3m 3)tm22m0， 由0，解得1m0. 实数 m1 2或 m1. 题型一题型一参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化 1(2018开封调研)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x 5 2 2 t， y 5 2 2 t (t 为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极 坐标方程为4cos . (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； (2)将曲线 C 上的所有点的横坐标缩短为原来的1 2， 再将所得到的曲线向左平移 1 个单位长度， 得到曲线 C1，求
8、曲线 C1上的点到直线 l 的距离的最小值 解(1)曲线 C 的直角坐标方程为 x2y24x， 即(x2)2y24. 直线 l 的普通方程为 xy2 50. (2)将曲线 C 上的所有点的横坐标缩短为原来的1 2， 得(2x2)2y24，即(x1)2y 2 4 1， 再将所得曲线向左平移 1 个单位长度， 得曲线 C1：x2y 2 4 1， 则曲线 C1的参数方程为 xcos ， y2sin (为参数) 设曲线 C1上任一点 P(cos ，2sin )， 则点 P 到直线 l 的距离 d|cos 2sin 2 5| 2 |2 5 5sin| 2 10 2 其中 tan 1 2 ， 所以点 P
9、到直线 l 的距离的最小值为 10 2 . 2在圆锥曲线论中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线， 并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个 著名的几何问题： “在平面上给定两点 A， B， 设 P 点在同一平面上且满足|PA| |PB|(0 且1)， P 点的轨迹是圆”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”已知点 M 与长度为 3 的线段 OA 两端点的距离之比为|OM| |MA| 1 2，建立适当坐标系，求出 M 点的轨迹方程并化为参数方程 解由题意，以 OA 所在直线为 x 轴，过 O 点
10、作 OA 的垂线为 y 轴，建立直角坐标系， 设 M(x，y)，则 O(0,0)，A(3,0) 因为|OM| |MA| 1 2，即 x2y2 x32y2 1 2， 化简得(x1)2y24， 所以点 M 的轨迹是以(1,0)为圆心，2 为半径的圆 由圆的参数方程可得 x2cos 1， y2sin . 思维升华 消去参数的方法一般有三种 (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数 (2)利用三角恒等式消去参数 (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数 的取值范围，确定
11、函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围 题型二题型二参数方程的应用参数方程的应用 典例 (2017全国)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x3cos ， ysin (为参数)， 直线 l 的参数方程为 xa4t， y1t (t 为参数) (1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17，求 a. 解(1)曲线 C 的普通方程为x 2 9 y21. 当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4y30. 由 x4y30， x2 9 y21， 解得 x3， y0 或 x21 25， y24 25， 从而 C 与 l
12、的交点坐标是(3,0)， 21 25， 24 25 . (2)直线 l 的普通方程是 x4y4a0，故 C 上的点(3cos ，sin )到 l 的距离为 d |3cos 4sin a4| 17 . 当 a4 时，d 的最大值为a9 17 . 由题设得a9 17 17，所以 a8； 当 a0，所以方程有两个实数解故曲线 C1与曲线 C2的交点个数为 2. 5已知直线 l 的参数方程为 x1 3 2 t， y 31 2t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为4sin 6 . (1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)点 P(x，y)是直线 l
13、 与圆面4sin 6 的公共点，求3xy 的取值范围 解(1)因为圆 C 的极坐标方程为4sin 6 ， 所以24sin 6 4 3 2 sin 1 2cos . 又2x2y2，xcos ，ysin ， 所以 x2y22 3y2x， 所以圆 C 的直角坐标方程为 x2y22x2 3y0. (2)设 z 3xy， 由圆 C 的直角坐标方程为 x2y22x2 3y0， 得(x1)2(y 3)24， 所以圆 C 的圆心是(1， 3)，半径是 2. 将 x1 3 2 t， y 31 2t 代入到 z 3xy，得 zt. 又直线 l 过 C(1， 3)，圆 C 的半径是 2， 所以2t2， 所以2t2，
14、 即3xy 的取值范围是2,2 6(2016全国)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x6)2y225. (1)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l 的参数方程是 xtcos ， ytsin (t 为参数)，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB| 10，求 l 的 斜率 解(1)由 xcos ，ysin 可得圆 C 的极坐标方程212cos 110. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为(R) 设 A， B 所对应的极径分别为1， 2， 将 l 的极坐标方程代入到 C 的极坐标方程， 得212cos 110.
15、 于是1212cos ，1211. |AB|12| 122412 144cos244. 由|AB| 10，得 cos23 8，tan 15 3 . 所以 l 的斜率为 15 3 或 15 3 . 7(2018洛阳模拟)在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为4 2sin 4 .现以极点 O 为 原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 x21 2t， y3 3 2 t (t 为参数) (1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)设直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，定点 P(2，3)，求|PA|PB|的值 解(1)因为4 2sin 4 4
16、sin 4cos ， 所以24sin 4cos ， 所以 x2y24x4y0， 即曲线 C 的直角坐标方程为(x2)2(y2)28； 直线 l 的普通方程为3xy2 330. (2)把直线 l 的参数方程代入到圆 C： x2y24x4y0 中， 得 t2(45 3)t330， t1,245 3 40 341 2 ，则 t1t233. 点 P(2，3)显然在直线 l 上 由直线标准参数方程下 t 的几何意义知，|PA|PB|t1t2|33，所以|PA|PB|33. 8已知曲线 C1： x4cos t， y3sin t (t 为参数)，曲线 C2： x8cos ， y3sin (为参数) (1)化
17、 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 C1上的点 P 对应的参数为 t 2 ，Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3： x32t， y2t (t 为参数)的距离的最小值 解(1)曲线 C1：(x4)2(y3)21， 曲线 C2：x 2 64 y2 9 1， 曲线 C1是以(4,3)为圆心，1 为半径的圆； 曲线 C2是以坐标原点为中心，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆 (2)当 t 2时，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )， 故 M 24cos ，23 2sin . 曲线 C3为直线 x2y70， M 到 C3的距
18、离 d 5 5 |4cos 3sin 13|， 从而当 cos 4 5，sin 3 5时，d 取最小值 8 5 5 . 9已知曲线 C1的参数方程是 x2cos ， y22sin (为参数)，以直角坐标原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是4cos . (1)求曲线 C1与 C2的交点的极坐标； (2)A，B 两点分别在曲线 C1与 C2上，当|AB|最大时，求OAB 的面积(O 为坐标原点) 解(1)由 x2cos ， y22sin ， 得 x2cos ， y22sin ， 两式平方相加，得 x2(y2)24，即 x2y24y0. 由4cos ，得24cos
19、 ，即 x2y24x. 得 xy0，代入得交点为(0,0)，(2,2) 其极坐标为(0,0)， 2 2，3 4 . (2)如图由平面几何知识可知，A，C1，C2，B 依次排列且共线时|AB|最大， 此时|AB|2 24，点 O 到 AB 的距离为 2. OAB 的面积为 S1 2(2 24) 222 2. 10已知曲线 C 的参数方程是 xacos ， y 3sin (为参数，a0)，直线 l 的参数方程是 x3t， y1t (t 为参数)，曲线 C 与直线 l 有一个公共点在 x 轴上，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C 的普通方程； (2)若点 A(1，
20、)，B 2，2 3 ，C 3，4 3 在曲线 C 上，求 1 |OA|2 1 |OB|2 1 |OC|2的值 解(1)直线 l 的普通方程为 xy2，与 x 轴的交点为(2,0) 又曲线 C 的普通方程为x 2 a2 y2 3 1， 所以 a2，故所求曲线 C 的普通方程是x 2 4 y 2 3 1. (2)因为点 A(1，)，B 2，2 3 ，C 3，4 3 在曲线 C 上，即点 A(1cos ，1sin )， B 2cos 2 3 ，2sin 2 3， C 3cos 4 3 ，3sin 4 3在曲线 C 上， 故 1 |OA|2 1 |OB|2 1 |OC|2 1 21 1 22 1 23 1 4 cos2cos2 2 3 cos2 4 3 1 3 sin2sin2 2 3 sin2 4 3 1 4 1cos 2 2 1cos 24 3 2 1cos 28 3 2 1 3 1cos 2 2 1cos 24 3 2 1cos 28 3 2 1 4 3 2 1 3 3 2 7 8.
