1、5.5三角恒等变换三角恒等变换 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第第 1 课时课时两角差的余弦公式两角差的余弦公式 学习目标1.两角差的余弦公式的推导过程.2.两角差的余弦公式的应用 导语 同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的 三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中， 我们将会遇到这样一类问题：已知，的三角函数值，求的三角函数值，为此，我们需 要有解决此类问题的办法及相应的计算公式 一、两角差的余弦公式 问题 1已知角的终边与单位圆的交点为 P，请写出点 P 的坐标
2、提示P(cos ，sin ) 问题 2观察下图， 并阅读教材 P215 以及右下角的注解部分， 分组讨论， 你能得到哪些结论？ 提示A(1,0)，P(cos()，sin()，A1(cos ，sin )，P1(cos ，sin )连接 AP，A1P1， 根据圆的旋转对称性，容易发现 APA1P1. 问题 3你还记得初中所学两点间的距离公式吗？ 提示平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 P1P2 x2x12y2y12， 由此可得cos()12sin2()(cos cos )2(sin sin )2. 知识梳理 两角差的余弦公式 cos()cos cos sin sin
3、 ，其中，为任意角，简记作 C() 注意点：(1)该公式对任意角都能成立；(2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角 的同名三角函数值积的和；(3)公式的逆用仍然成立 例 1(1)cos 15的值是() A. 6 2 2 B. 6 2 2 C. 6 2 4 D. 6 2 4 答案D 解析cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2 4 . (2)求下列各式的值： cos 5 12cos 6cos 12sin 6； 1 2cos 105 3 2 sin 105. 解原式cos 5 12cos 6cos 2 5 12
4、 sin 6 cos 5 12cos 6sin 5 12sin 6 cos 5 12 6 cos 4 2 2 . 原式cos 60cos 105sin 60sin 105 cos(60105)cos(45) 2 2 . 反思感悟两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解 (2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解 (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公 式求解 跟踪训练 1求下列各式的值： (1)cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)； (2
5、)sin 167sin 223sin 257sin 313； (3) 3sin 12cos 12. 解(1)原式cos21(24) cos 45 2 2 . (2)原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36047) sin 13sin 43sin 77sin 47 sin 13sin 43cos 13cos 43 cos(1343)cos(30) 3 2 . (3)原式2 3 2 sin 12 1 2cos 12 2 sin 3sin 12cos 3cos 12 2cos 3 12 2cos 4 2. 二、给值求值 问题 4正弦、余弦、正切在每个象限内的符号如
6、何？ 提示正弦在一、二象限为正，三、四象限为负；余弦在一、四象限为正，二、三象限为负； 正切在一、三象限为正，二、四象限为负 例 2(1)已知 sin 61 4，则 cos 3sin 的值为( ) A1 4 B.1 2 C2D1 答案B 解析cos 3sin 2 1 2cos 3 2 sin 2 cos 3cos sin 3sin 2cos 32sin 2 3 2sin 6 1 2. (2)已知 sin 4 4 5，且 4 3 4 ，则 cos . 答案 2 10 解析因为 sin 4 4 5，且 4 3 4 ， 所以 2 4， 所以 cos 4 1 4 5 23 5， 所以 cos cos
7、4 4 cos 4 cos 4sin 4 sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 2 10. 反思感悟给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式 中角的关系，即拆角与凑角 (2)由于和、 差角与单角是相对的， 因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换 常 见角的变换有： ()； 2 2 ； 2()() 跟踪训练 2已知， 0， 2 ，且 sin 4 5，cos() 16 65，求 cos 的值 解因为， 0， 2 ， 所以 0， 由 cos()16 65， 得 sin()63 65， 又 sin 4 5， 所以 cos
8、3 5， 所以 cos cos() cos()cos sin()sin 16 65 3 5 63 65 4 5 204 325. 三、给值求角 问题 5若 0 2，0 2，你能求的取值范围吗？ 提示由不等式的性质， 应先求的取值范围， 然后利用不等式的同向可加性求解， 即 2 2. 例 3已知 cos 1 7，cos() 13 14，且 0 2，求的值 解由 cos 1 7，0 2，得 sin 1cos21 1 7 24 3 7 . 由 0 2，得 0 2. 又cos()13 14， sin() 1cos2 1 13 14 23 3 14 . ()， cos cos() cos cos()si
9、n sin() 1 7 13 14 4 3 7 3 3 14 1 2. 0 2， 3. 反思感悟已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围 (2)求所求角的某种三角函数值为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数 (3)结合三角函数值及角的范围求角 提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案 跟踪训练 3已知，均为锐角，且 cos 2 5 5 ，cos 10 10 ，求的值 解，均为锐角， sin 5 5 ，sin 3 10 10 . cos()cos cos sin sin 2 5 5 10 10 5 5 3 10 10 2 2 . 又 sin s
10、in ，0 2， 20. 故 4. 1知识清单： (1)两角差的余弦公式的推导 (2)给角求值、给值求值、给值求角 2方法归纳：构造法 3常见误区：求角时忽视角的范围 1cos 20等于() Acos 30cos 10sin 30sin 10 Bcos 30cos 10sin 30sin 10 Csin 30cos 10sin 10cos 30 Dsin 30cos 10sin 10cos 30 答案B 解析cos 20cos(3010)cos 30cos 10sin 30sin 10. 2cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)的值为() A1 2 B.1 2 C 3 2 D
11、. 3 2 答案B 解析原式cos(35)(25)cos 601 2. 3已知 cos 12 13， 2，0，则 cos 4 的值为() A.5 2 13 B.7 2 13 C.17 2 26 D.7 2 26 答案D 解析因为 2，0，所以 sin 5 13， 所以 cos 4 cos cos 4sin sin 4 12 13 2 2 5 13 2 2 7 2 26 . 4若 cos() 5 5 ，cos 2 10 10 ，且，均为锐角，则. 答案 3 4 解析因为 0 2，0 2，. 所以 20. 又 cos() 5 5 ， 所以 sin() 1cos22 5 5 . 又因为 02，cos
12、 2 10 10 ， 所以 sin 2 1cos223 10 10 ， 所以 cos()cos2() cos 2cos()sin 2sin() 10 10 5 5 3 10 10 2 5 5 2 2 ， 又 0，故3 4 . 课时对点练课时对点练 1下列各式化简错误的是() Acos 80cos 20sin 80sin 20cos 60 Bcos 105cos 45cos 150sin 45sin 150 Csin(45)sin cos(45)cos cos 45 Dcos 6 1 2cos 3 2 sin 答案D 解析根据两角差的余弦公式知，A，B，C 均正确，D 选项错误 2已知 sin
13、3 5， 0， 2 ，则 cos 7 4 等于() A.4 2 5 B.7 2 10 C4 2 5 D7 2 10 答案B 解析由题意可知 cos 4 5， cos 7 4 cos 2 4cos 4 cos cos 4sin sin 4 4 5 2 2 3 5 2 2 7 2 10 . 3满足 cos cos 3 2 sin sin 的一组，的值是() A13 12 ，3 4 B 2， 3 C 2， 6 D 3， 4 答案B 4已知为锐角，为第三象限角，且 cos 12 13，sin 3 5，则 cos()的值为( ) A63 65 B33 65 C.63 65 D.33 65 答案A 解析为
14、锐角，且 cos 12 13， sin 1cos2 5 13. 为第三象限角，且 sin 3 5， cos 1sin24 5， cos()cos cos sin sin 12 13 4 5 5 13 3 5 63 65. 5已知锐角，满足 cos 3 5，cos() 5 13，则 cos 的值为( ) A.33 65 B33 65 C.54 65 D54 65 答案A 解析因为，为锐角，cos 3 5，cos() 5 13， 所以 sin 4 5，sin() 12 13， 所以 cos cos() cos()cos sin()sin 5 13 3 5 12 13 4 5 33 65. 6(多选
15、)若 1 2sin x 3 2 cos xcos(x)，则的一个可能值是() A 6 B 3 C.11 6 D. 3 答案AC 解析对比公式特征知，cos x 6 cos(x)， 所以 62k， 故 6， 11 6 都合适 7.cos 7sin 15sin 8 cos 8 . 答案 6 2 4 解析原式cos158sin 15sin 8 cos 8 cos 15cos 8sin 15sin 8sin 15sin 8 cos 8 cos 15cos 8 cos 8 cos 15cos(6045) 6 2 4 . 8在ABC 中，sin A4 5，cos B 12 13，则 cos (AB) .
16、答案16 65 解析因为 cos B12 13， 且 0B， 所以 2B， 所以 sin B 1cos2B1 12 13 25 13， 且 0A 2， 所以 cos A 1sin2A1 4 5 23 5， 所以 cos(AB)cos Acos Bsin Asin B 3 5 12 13 4 5 5 13 16 65. 9已知 cos()12 13，cos() 12 13，且 2， 3 2 ，2 ，求角的值 解由 2，且 cos()12 13， 得 sin() 5 13. 由 3 2 ，2 ，且 cos()12 13， 得 sin() 5 13. cos 2cos()() cos()cos()s
17、in()sin() 12 13 12 13 5 13 5 131. 又 3 2 ，2 ， 2，2 2， 3 2 . 2，则 2. 10.如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于 A，B 两点 (1)如果 A，B 两点的纵坐标分别为4 5， 12 13，求 cos 和 sin 的值； (2)在(1)的条件下，求 cos()的值 解(1)OA1，OB1，且点 A，B 的纵坐标分别为4 5， 12 13， sin 4 5，sin 12 13， 又为锐角， cos 1sin23 5. (2)为钝角，由(1)知 cos 1sin2 5 13， cos()cos cos sin sin
18、5 13 3 5 12 13 4 5 33 65. 11已知 cos x 6 3 3 ，则 cos xcos x 3 的值是() A2 3 3 B2 3 3 C1D1 答案C 解析cos xcos x 3 cos x1 2cos x 3 2 sin x 3 2cos x 3 2 sin x 3 3 2 cos x1 2sin x 3cos x 6 1. 12已知 sin sin sin 0 和 cos cos cos 0，则 cos()的值是() A.1 2 B. 3 2 C1 2 D 3 2 答案C 解析sin sin sin ，cos cos cos ，两式分别平方，然后相加即可 13在A
19、BC 中，有关系式 tan Acos Bcos C sin Csin B 成立，则ABC 为() A等腰三角形 BA60的三角形 C等腰三角形或 A60的三角形 D不能确定 答案C 解析因为tan Asin A cos A cos Bcos C sin Csin B ， 所以sin Asin Csin Asin Bcos Acos Bcos Acos C， 所以 cos Acos Csin Asin Ccos Acos Bsin Asin B，即 cos(AC)cos(AB)，所以 AC AB 或 ACAB0，所以 CB 或 A60，所以ABC 为等腰三角形或 A60的三 角形 14已知 si
20、n 4x 3 3 ，x 0， 2 ，则 cos x. 答案 2 3 6 6 解析x 0， 2 ， 4x 4， 4 ， 又cos 4x1sin2 4x1 3 3 2 6 3 ， cos xcos 4 4x cos 4cos 4xsin 4sin 4x2 3 6 6 . 15 周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼 成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为，且小正方形与大正方形面积之比 为 925，则 cos()的值为() A.5 9 B.4 9 C. 9 16 D.16 25 答案D 解析设大的正方形的边长为 1， 由于小正方形与大正方形面积之比为 92
21、5， 可得小正方形 的边长为3 5，可得 cos sin 3 5，sin cos 3 5.由图可得 cos sin ，sin cos ， 所以得 9 25cos sin sin cos cos cos sin sin sin 2cos2cos()1 cos()，解得 cos()16 25. 16已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 5 5 ，2 5 5. (1)求 sin 3 2 sin 3 2 tan22tan cos 2cos 2 的值； (2)已知 20，且 sin 10 10 ，求 cos()的值 解由题意知 tan 2. (1)原式cos cos tan 2tan sin sin tan 2. (2)因为是第一象限角，且终边过点 5 5 ，2 5 5， 所以 sin 2 5 5 ，cos 5 5 ， 因为 20，且 sin 10 10 ， 所以 cos 1sin23 10 10 ， 所以 cos()cos cos sin sin 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 10.
