1、题组层级快练题组层级快练(四十三四十三) 一、单项选择题 1轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是() A12B23 C13D14 答案B 解析设正方形边长为 1，则 S侧21 21，S 表S侧2S底2 1 2 2 3 2. 所以 S侧S表23. 2把半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为() A. 3 24R 3 B. 3 8 R3 C. 5 24R 3 D. 5 5 R3 答案A 3圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是() A11B16 C17D18 答案C 4.如图为一个侧棱与底面垂直的棱柱，其中 AC长为 9 cm，DB长为 15 cm，高是 5 c
2、m，若它的底面是菱形，则这个棱柱的侧面积是() A160 cm2B320 cm2 C40 89 cm2D80 89 cm2 答案A 5 (2021辽宁大连双基测试)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出， 需要 设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体已 知文物近似于塔形，高 1.8 米，体积为 0.5 立方米，其底部是直径为 0.9 米的圆(如 图)，要求文物底部与玻璃罩底边间隔 0.3 米，文物顶部与玻璃罩上底面间隔 0.2 米， 气体每立方米 1 000 元，则气体费用为() A4 500 元B4 000 元 C2 880 元D2 380 元 答案B 解析
3、由题知，文物底部是直径为 0.9 米的圆，文物底部与玻璃罩底边间隔 0.3 米，则由正 方体与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为 0.920.31.5(米)文物高 1.8 米，文物 顶部与玻璃罩上底面间隔 0.2 米，所以正四棱柱的高为 1.80.22(米)则正四棱柱的体积 V1.5224.5(立方米)因为文物体积为 0.5 立方米，所以罩内空气的体积为 4.50.5 4(立方米)，又气体每立方米 1 000 元，所以气体费用为 41 0004 000(元)，故选 B. 6.(2021山东潍坊模拟)现有一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置 时，如图，水面的高度正好为棱长的一半若将该
4、正方体绕下底面(底面与 水平面平行)的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为() A1B. 2 C. 3 D2 2 答案B 解析本题考查正方体的性质正方体的面对角线长为 2 2，故当该正方体绕下底面的某条 棱旋转时，旋转的新位置的最大高度为 2 2.又因为水的体积是正方体体积的一半，所以容 器里水面的最大高度为面对角线的一半，即容器里水面的最大高度为 2.故选 B. 7(2021四川资阳二诊)已知圆柱的底面半径为 2，高为 3，垂直于圆柱底面 的平面截圆柱所得截面为矩形 ABCD(如图)若底面圆的弦 AB 所对的圆心角 为 3 ，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为() A103 3B10
5、C.10 3 3D23 3 答案A 解析本题考查圆柱的体积设截面 ABCD 将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为 V1， 圆柱的体积为 V，DC 将圆柱的底面分成的两部分中，较大部分的面积为 S1，圆柱的底面积 为 S，则 S15 62 21 222 3 2 10 3 3，S224，V22312 .依题意可得V1 V S1 S ，所以 V1S1 S V 10 3 3 4 12103 3，故选 A. 8.(2021山东师大附中模拟)如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长 为 4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点 P 处，若该小虫爬行的最短路程为 4 3，则这个圆锥
6、的体积为() A. 15 3 B.32 35 27 C.128 2 81 D.8 3 3 答案C 解析作出该圆锥的侧面展开图，如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最短路径为 PP， OPOP4，PP4 3，由余弦定理可得 cosPOPOP 2OP2PP2 2OPOP 1 2， POP2 3 . 设底面圆的半径为 r，圆锥的高为 h，则有 2r2 3 4，r4 3，h 4 2r28 2 3 ， 圆锥的体积 V1 3r 2h128 2 81 . 二、多项选择题 9(2020山东济南二模)已知圆锥的顶点为 P，母线长为 2，底面半径为 3，A，B 为底面圆 周上的两个动点(A 与 B 不重合)，则下列说
7、法正确的是() A圆锥的体积为 B三角形 PAB 为等腰三角形 C三角形 PAB 面积的最大值为 3 D直线 PA 与圆锥底面所成角的大小为 6 答案ABD 解析本题考查圆锥中的相关计算 如图所示，点 O 为点 P 在圆锥底面上的射影，连接 OA，OB.PO 22（ 3）21，圆锥 的体积 V1 3( 3) 21，A 正确；PAPB2，B 正确；易知直线 PA 与圆锥底面 所成的角为PAO 6 ，D 正确；取 AB 中点 C，连接 PC，设PAC，则 6 ， 2 ， SPAB2sin 2cos2sin2， 当 4 时， PAB 面积取得最大值 2， C 错误 故选 ABD. 三、填空题 10长
8、方体的对角线长是 8，若长、宽、高分别是 a，b，c 且 abc14，则长方体的表 面积为_ 答案132 解析由已知得 a2b2c264， abc14， 由(abc)2a2b2c22(abbcca)， 得 S表2(ab bcca)14264132. 11把一个棱长为 a 的正方体，切成 27 个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为 _，表面积增加了_ 答案18a212a2 12(2021江苏扬州期末)已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，圆台的高为 2 3 cm，母线与轴的夹角为 30，则这个圆台轴截面的面积等于_cm2. 答案8 3 解析本题考查圆台的性质及其轴截面的面积设圆
9、台的下底面半径为 R cm，上底面半径 为 r cm，则 2R32r，得 R3r. 由圆台的高 h2 3 cm，母线与轴的夹角为 30，得Rr h tan30，即 2r 2 3 3 3 ，解得 r 1，所以 R3r3，所以圆台轴截面的面积为1 2(26)2 38 3(cm 2) 13如图 1，一个正三棱柱容器，底面边长为 a，高为 2a，内装水若干，将容器放倒，把一 个侧面作为底面， 如图 2， 这时水面恰好为中截面， 则图 1 中容器内水面的高度是_ 图 1图 2 答案 3 2a 解析设题图 1 中容器内液面的高度为 h，液体的体积为 V，则 VSABCh，题图 2 中液体 组成了一个直四棱
10、柱，其底面积为 SABC1 4S ABC3 4S ABC，高度为 2a， 则 V3 4S ABC2a， h 3 4S ABC2a SABC 3 2a，故填 3 2a. 14(2020上海浦东期中)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 4 cm，母线长 最短 5 cm，最长 8 cm，则斜截圆柱的体积 V_cm3. 答案26 解析方法一(分割法)：将斜截圆柱分割成两部分：下面是底面半径为 2 cm，高为 5 cm 的 圆柱，其体积 V122520(cm3)；上面是底面半径为 2 cm，高为 853(cm)的圆 柱的一半，其体积 V21 22 236(cm3) 该组合体的体积 VV1V22
11、0626(cm3) 方法二(补形法)：在该几何体上方再补上一个与其相同的几何体，让截面重合，则所得几何 体为一个圆柱，该圆柱的底面半径为 2 cm，高为 8513(cm)，该圆柱的体积 V122 1352(cm3) 该几何体的体积为圆柱体积的一半，即 V1 2V 126(cm3) 15(2018天津)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余 各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 MEFGH 的体积为_ 答案 1 12 解析连接 AD1， CD1， B1A， B1C ， AC， 因为 E， H 分别为 AD1， CD1的中点， 所以
12、EHAC， EH1 2AC.因为 F，G 分别为 B 1A，B1C 的中点，所以 FGAC，FG1 2AC，所以 EHFG， EHFG，所以四边形 EHGF 为平行四边形又 EGHF，EHHG，所以四边形 EHGF 为 正方形 又点 M 到平面 EHGF 的距离为1 2， 所以四棱锥 MEFGH 的体积为 1 3 2 2 2 1 2 1 12. 16(2019课标全国)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为 长方体 ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥 OEFGH 后得到的几何体， 其中 O 为长方体的中心， E，F，G，H 分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14
13、 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g. 答案118.8 解析由题易得长方体 ABCDA1B1C1D1的体积为 664144(cm3)， 四边形 EFGH 为平 行四边形，如图所示，连接 GE，HF，易知四边形 EFGH 的面积为矩形 BCC1B1面积的一半， 即1 26412(cm 2)，所以 V 四棱锥OEFGH1 331212(cm 3)，所以该模型的体积为 144 12132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为 1320.9118.8(g) 17(2020郑州质量预测)将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能 切割出的圆柱的最大体积为() A. 27 B.8 27 C. 3 D.2 9 答案B 解析 如图所示，设圆柱的半径为 r，高为 x，体积为 V，由题意可得r 1 2x 2 ，所以 x22r，所 以圆柱的体积 Vr2(22r)2(r2r3)(0r1)，则 V2(2r3r2)，由 2(2r3r2) 0，得 r2 3，当 0r0，V 是增函数；当 2 3r1 时，V0，V 是减函数，故当 r2 3时，V 取极大值也是最大值所以圆柱的最大体积 V max2 2 3 2 2 3 3 8 27 ，故选 B.
