1、空间向量与垂直关系空间向量与垂直关系 （4545 分钟分钟100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.已知平面的一个法向量为a=(x,1,-2),直线l的一个方向向量为n=( ,y,-1), 若 l,则() A.x+2y=-4B.x+y=3 C.x+2y=D.x+y= 2.已知平面与的一个法向量分别是 a=(x,2,2),b=(1,3,y),若,且 |a|=2,则 y=() A.-5B.-1C.4 或-4D.-5 或-1 3.(2013青岛高二检测)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,BC=4,点 E
2、是 D1A1 的中点,设 F 在 B1C1上,若 DEBF,则 B1F=() A.4B.2C.1D. 4.如图,四边形 ABCD 为正方形,PD平面 ABCD,PD QA,QA=AB= PD,则平面 PQC 与平面 DCQ 的位置关系为 () A.平行B.垂直 C.相交但不垂直D.位置关系不确定 5.(2013 聊城高二检测)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,ABAC,E 是 BC 的 中点,则 A1E 与平面 AB1C1的位置关系是() A.相交但不垂直B.A1E平面 AB1C1 C.A1E平面 AB1C1D.A1E平面 AB1C1 二、填空题二、填空题( (每小题每小
3、题 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.平面与平面的法向量分别是 m,n,直线 l 的方向向量是 a,给出下列论断: mn; mn; aml; aml. 其中正确的论断为(把你认为正确论断的序号填在横线上). 7.(2013四平高二检测)已知平面内有一个点 A(2,-1,2),的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列各点中,在平面内的是(把正确的序号都填上). B(1,-1,1);C(1,3, );D(1,-3, );E(-1,3,- ). 8.如图,以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把ABD 与ACD 折成互相 垂直的两个平面后,有以下四个结论: 0; BAC
4、=60; 三棱锥 D-ABC 是正三棱锥; 平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直. 其中正确结论的序号是(请把正确结论的序号都填上). 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414 分分,11,11 题题 1818 分分) ) 9.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD底面 ABCD,AD=PD=1, AB=2a(a0),E,F 分别为 CD,PB 的中点.求证:EF平面 PAB. 10.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别是 BB1,CD 的中点,求证: (1)ADD1F. (2)平面 AED平面 A1FD1
5、. 11.(能力挑战题)直三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面是以ABC 为 直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1的中点,在 线段 AA1上是否存在点 F,使 CF平面 B1DF,若存在,求出 AF 的长,若不存在,说明理由. 答案解析答案解析 1.【解析】选 D.l,na,即 a=n, (x,1,-2)=( ,y,-1) 解得x+y= . 2.【解析】选 D.由|a|=2,得 x 2+4+4=24,解得 x=4, ,ab,ab=x+6+2y=0, 当 x=4 时,得 y=-5;当 x=-4 时,得 y=-1. 【误区警示】在求解本题的过程中,根据等量关系列出关系式
6、后,切记一定不要 漏解. 3.【解析】选 D.建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz, 则 D(0,4,0),E(0,2,1),B(1,0,0), 设 点 F(1,a,1),则=(0,-2,1),=(0,a,1), DEBF, =-2a+1=0,解得 a= , 即 B1F= . 4.【解析】选 B.如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的 长为单位长度,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直 角坐标系 Dxyz, 则 D(0,0,0),Q(1,1,0), C(0,0,1),P(0,2,0), 则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0). 因为=0,=0, 所以 PQDQ,PQD
7、C,又 DQDC=D, 所以 PQ平面 DCQ. 又 PQ平面 PQC, 所以平面 PQC平面 DCQ. 5. 【解析】 选 A.如图所示,建立直角坐标系 Axyz,设 AB=1, 则 A(0,0,0),B1(1,0,1),C1(0,1,1), A1(0,0,1),E( , ,0), =(1,0,1),=(0,1,1),=(,-1), 设 平 面 AB1C1的 法 向 量 为 n=(x,y,z), 令 z=-1,则 x=y=1,故 n=(1,1,-1), n0,故 A1E 与平面 AB1C1不平行,又与 n 不共线,故 A1E 与平面 AB1C1不垂直,即 A1E 与平面 AB1C1相交但不垂
8、直. 6.【解析】错误,因为与可能重合,错误,因为 l 与除 l外,还可能 有 l.显然,正确. 答案: 7.【解析】=(-1,0,-1),=(-1,4,- ),=(-1,-2,- ),=(-3,4,- ), n=0, n,故 C. 答案: 8.【解析】平面 ABD平面 ACD,BDAD, BD平面 ACD,BDAC,=0,故不正确. AD=BD=CD,且ADB=ADC=BDC, ABD,ACD,BCD 是全等三角形, AB=AC=BC,BAC=60,故正确. 由可知 AB=AC=BC,DA=DB=DC, 三棱锥 D-ABC 是正三棱锥,故正确. 建立空间直角坐标系,如图所示,设 DA=DB=
9、DC=1, 则 A(0,0,1),B(1,0,0), C(0,1,0),可求出平面 ADC 的法向量是 n1=(1,0,0),平面 ABC 的法向量是 n2=(1,1,1),n1n2=1+0+0=10,故不正确. 答案: 9.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz, AD=1,PD=1,AB=2a(a0),则 E(a,0,0),A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1),F(a, , ),得=(0, , ), =(2a,1,-1),=(2a,0,0). 由=(0, , )(2a,0,0)=0, 得,即 EFAB, 同理 EFPB,又 ABPB=B, 所以,EF平面 PA
10、B. 10. 【证明】 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,设正 方体的棱长为 1,则 A(0,0,0),D(0,1,0), E(1,0, ),F( ,1,0),D1(0,1,1). (1)因为=(0,1,0),=( ,0,-1),所以=0, 所以,即 ADD1F. (2)因为=(1,0, ),所以= - =0,所以,所以 AED1F.由(1)知 ADD1F,又 ADAE=A,所以 D1F平面 AED. 又 D1F平面 A1FD1,所以平面 AED平面 A1FD1. 11.【解题指南】假设存在点 F,利用 CF平面 B1DF 列出方程求 AF. 【解析】以 B 为坐标原点,建立如图所示的空间直角 坐标系 Bxyz,则 C(0,a,0),B1(0,0,3a),D(,a,3a). 假设存在 F 点,使 CF平面 B1DF.不妨设 AF=b, 则 F(a,0,b),=(a,-a,b), =(a,0,b-3a),=(a,a,0). 因为=a 2-a2+0=0, 所以恒成立.由 =2a 2+b(b-3a)=2a2+b2-3ab=0, 得 b=a,或 b=2a. 所以当 AF=a,或 AF=2a 时,CF平面 B1DF. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块
