1、课时作业(五十四)直线与椭圆的位置关系 基础过关组 一、单项选择题 1已知 F1，F2分别为椭圆 x2 25 y2 9 1 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆于 A，B 两点。若|F2A|F2B| 12，则|AB|() A6B7 C5D8 解析由椭圆方程可知 a5， 由题意可得|AF1|AF2|BF1|BF2|2a， ABF2的周长为 4a20。 若|F2A| |F2B|12，则|AB|20128。故选 D。 答案D 2设直线 ykx 与椭圆x 2 4 y 2 3 1 相交于 A，B 两点，分别过 A，B 两点向 x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆 的两个焦点，则实数 k 等于() A3 2 B2
2、 3 C1 2 D2 解析由题意可知，点 A 与点 B 的横坐标即为焦点的横坐标，又 c1，当 k0 时，不妨设 A，B 两点的 坐标分别为(1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得 y13 2， y23 2， 解得 k3 2；同理可得当 k0 且 m3 及 m0，得 m1 且 m3。故选 B。 答案B 4 经过椭圆x 2 2 y21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l， 交椭圆于 A， B 两点， 设 O 为坐标原点， 则OA OB 等于() A3B1 3 C1 3或3 D1 3 解析依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为 y0tan 45(x1)，即 yx1，代入椭
3、圆方程x 2 2 y21， 消去 y 并整理得 3x24x0， 解得 x0 或 x4 3， 所以两个交点的坐标分别为(0， 1)， 4 3， 1 3 ， 所以OA OB 1 3，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA OB 1 3。故选 B。 答案B 5 直线 x 3y 30 与椭圆x 2 9 y 2 6 1 相交于 M， N 两点， 设 O 是坐标原点， 则OMN 的面积为() A. 3B.2 3 3 C.3 3 2 D.4 3 3 解析设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，椭圆的左焦点为 F，因为 F( 3，0)，直线 x 3y 30 经过椭圆的 左焦点 F，所以 SOMN1 2
4、|OF|y 1y2|。将 x 3y 3代入椭圆方程x 2 9 y 2 6 1 得 3y24y40，所以 y1y2 4 3，y 1y24 3，所以|y 1y2| y1y224y1y28 3，所以 S OMN1 2|OF|y 1y2|1 2 3 8 3 4 3 3 。 答案D 6(2021南宁联考)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一条弦所在的直线方程是 xy50，弦的中点坐标是 M(4,1)，则椭圆的离心率是() A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 5 5 解析解法一：因为 M 为直线 xy50 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)相交的弦的中点，所以由中点弦公式 可
5、知 yMb 2 a2x M，即b 2 a2 1 4，则 e 1 b a 2 3 2 。故选 C。 解法二：设直线 xy50 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A(x 1，y1)，B(x2，y2)两点，因为弦 AB 的中点 M(4,1)，所以 x1x28，y1y22。易知直线 AB 的斜率 ky2y1 x2x11。由 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 两式相减得， x1x2x1x2 a2 y1y2y1y2 b2 0，所以y1y2 x1x2 b2 a2 x1x2 y1y2，所以 b2 a2 1 4，则椭圆的离心率 e c a 1b 2 a2 3 2 。
6、故选 C。 答案C 二、多项选择题 7设椭圆x 2 9 y 2 3 1 的右焦点为 F，直线 ym(0mb0)的左、右焦点，M，N 是左、右顶点，e 为椭 圆 C 的离心率，过右焦点 F2的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，已知AF1 BF1 0,3AF2 2F2B ，|AF1|2|AF2|， 设直线 AB 的斜率为 k，直线 AM 和直线 AN 的斜率分别为 k1，k2，直线 BM 和直线 BN 的斜率分别为 k3，k4， 则下列结论一定正确的是() Ae 5 5 Bk1 2 Ck1k24 5 Dk3k44 5 解析因为AF1 BF1 0， 所以 AF1BF1， 过点 F2作 F1B 的平
7、行线， 交 AF1于点 E， 所以 AF1EF2。 设|F2A| 2t，|F1A|4t，又 3AF2 2F2B ，所以|AB|5t，因为 AF1BF1，所以|F1B|3t，所以 12t4a，所以 a3t。 所以|BF1|BF2|3ta，所以 B(0，b)(如图)，在EF1F2中，EF13 5AF 112t 5 ，EF22 5BF 16t 5 ，F1F22c， 因为 EF21EF22F1F22，所以 c 3t 5，b a 2c26t 5，所以椭圆离心率 e c a 5 5 ，故 A 正确；kb c2，故 B 错误；设 A(x，y)，易得 M(a，0)，N(a,0)，则 k1k2 y xa y x
8、a y2 x2a2 b2 1x 2 a2 x2a2 b 2 a2 4 5，故 C 正 确；同理 k3k4b 2 a2 4 5，故 D 错误。故选 AC。 答案AC 三、填空题 9已知椭圆y 2 a2 x2 b21(ab0)的右顶点为 A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为 1，则椭圆的方程为 _。 解析因为椭圆y 2 a2 x2 b21 的右顶点为 A(1,0)，所以 b1，焦点坐标为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴 的弦长为 1，所以2b 2 a 1，a2，所以椭圆的方程为y 2 4 x21。 答案 y2 4 x21 10过点 M(2,0)的直线 m 与椭圆x 2 2 y21 交于 P
9、1，P2两点，线段 P1P2的中点为 P，设直线 m 的斜率 为 k1(k10)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2的值为_。 解析过点 M(2,0)的直线 m 的方程为 y0k1(x2)，代入椭圆方程化简得(2k211)x28k21x8k212 0，所以 x1x2 8k21 2k211，所以点 P 4k21 2k211， 2k1 2k211 ，所以直线 OP 的斜率 k2 1 2k1，所以 k 1k21 2。 答案1 2 11已知椭圆 C：x 2 2 y 2 4 1，过椭圆 C 上一点 P(1， 2)作倾斜角互补的两条直线 PA，PB，分别交椭圆 C 于 A，B 两点，则直线 AB 的
10、斜率为_。 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设 PA 的方程为 y 2k(x1)，代入椭圆方程化简，得(k22)x2 2k(k 2)xk22 2k20， 显然 1 和 x1是这个方程的两解， 因此 x1k 22 2k2 k22 ， y1 2k 24k2 2 k22 ， 由k 代替 x1，y1中的 k，得 x2k 22 2k2 k22 ，y2 2k 24k2 2 k22 ，所以y2y1 x2x1 2。故直线 AB 的斜率为 2。 答案2 四、解答题 12已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，点 P(0,1)在短轴 CD 上，且PC PD 1。 (
11、1)求椭圆 E 的方程； (2)过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，若PB 1 2AP ，求直线 l 的方程。 解(1)由题意知，ec a 2 2 ， 得 a 2c 2b， 不妨取 C(0，b)，D(0，b)， 所以PC PD (b1)(b1)1， 所以 b22， 所以 a2，椭圆 E 的方程为x 2 4 y 2 2 1。 (2)当直线 l 的斜率不存在时，PB (0， 21)， AP (0， 21)，PB1 2AP ， 不符合题意，不存在这样的直线 l。 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)。 联立方程得 x2 4 y
12、 2 2 1， ykx1， 整理得(12k2)x24kx20， 由根与系数的关系，得 x1x2 4k 12k2， x1x2 2 12k2， 由PB 1 2AP 得，(x2，y21)1 2(x 1,1y1)， 所以 x21 2x 1， 所以 x1 8k 12k2，x 2 4k 12k2， 解得 k2 1 14，所以 k 14 14 ， 所以直线 l 的方程为 y 14 14 x1。 13(2020全国卷)已知椭圆 C： x2 25 y2 m21(0m0，yP0。 由已知可得 B(5,0)，直线 BP 的方程为 y 1 yQ(x5)， 所以|BP|yP1y2Q，|BQ| 1y2Q。 因为|BP|B
13、Q|， 所以 yP1，将 yP1 代入 C 的方程， 解得 xP3 或 xP3。 由直线 BP 的方程得 yQ2 或 yQ8。 所以点 P，Q 的坐标分别为 P1(3,1)，Q1(6,2)； P2(3,1)，Q2(6,8)。 |P1Q1| 10，直线 P1Q1的方程为 y1 3x， 点 A(5,0)到直线 P1Q1的距离为 10 2 ， 故AP1Q1的面积为1 2 10 2 105 2。 |P2Q2| 130，直线 P2Q2的方程为 y7 9x 10 3 ，点 A 到直线 P2Q2的距离为 130 26 ， 故AP2Q2的面积为1 2 130 26 1305 2。 综上，APQ 的面积为5 2
14、。 素养提升组 14(多选)设椭圆的方程为x 2 2 y 2 4 1，斜率为 k 的直线不经过原点 O，而且与椭圆相交于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，则下列结论正确的是() A直线 AB 与 OM 垂直 B若点 M 坐标为(1,1)，则直线方程为 2xy30 C若直线方程为 yx1，则点 M 坐标为 1 3， 4 3 D若直线方程为 yx2，则|AB|4 2 3 解析对于 A，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质 kABkOM4 221，所以 A 错误；对于 B，根据 kABkOM2，得 kAB2，所以直线方程为 y12(x1)，即 2xy30，所以 B 正确；对于 C，若直线方程
15、为 yx1，点 M 1 3， 4 3 ，则 kABkOM1442，所以 C 错误；对于 D，若直线方程为 y x2，与椭圆方程x 2 2 y 2 4 1 联立，得到 2x2(x2)240，整理得 3x24x0，解得 x10，x24 3，所 以|AB| 112| 4 30|4 2 3 ，所以 D 正确。故选 BD。 答案BD 15(2021武昌区调研考试)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三 个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为 1。 (1)求椭圆 E 的方程； (2)若不过原点 O 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，求OAB 面积的最
16、大值。 解(1)由题意知 b c 3， ac1， 又 a2b2c2，所以 a2，b 3。 所以椭圆 E 的方程为x 2 4 y 2 3 1。 (2)当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 ykxm(m0)， 代入椭圆方程，整理，得 (4k23)x28kmx4m2120。 由0，得 4k2m230。 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2 8km 4k23，x 1x24m 212 4k23 。 于是|AB| 1k2 x1x224x1x24 3 1k2 4k2m23 4k23 。 又坐标原点 O 到直线 l 的距离 d |m| 1k2， 所以OAB 的面积 S1 2|AB|d2 3|m| 4k2m23 4k23 。 因为|m| 4k2m23 4k23 m24k2m23 4k23 m24k2m23 2 4k23 1 2， 所以 S1 2|AB|d 3。 当直线 l 的斜率不存在时，设其方程为 xt， 同理可求得 S1 2|AB|d 1 2|t| 123t 2 3。 综上，OAB 面积的最大值为 3。
