1、抛物线方程及性质的应用抛物线方程及性质的应用 （4545 分钟分钟100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.(2013安阳高二检测)过点(-1,0)且与抛物线 y 2=x 有且仅有一个公共点的直 线有() A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条 2.将两个顶点在抛物线 y 2=2px(p0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形 的个数记为 n,则() A.n=0B.n=1 C.n=2D.n3 3.设抛物线 y 2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PAl,A 为垂足,如果 直线 AF 的斜率为-,那么
2、|PF|=() A.4B.8C.8D.16 4.(2013 长春高二检测)抛物线 y=x 2 上一点到直线 2x-y-4=0 的距离最小的点的 坐标是() A.( , )B.(1,1) C.( , )D.(2,4) 5.(2013 新课标全国卷)设抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为() A.y=x-1 或 y=-x+1 B.y= (x-1)或 y=- (x-1) C.y=(x-1)或 y=-(x-1) D.y= (x-1)或 y=- (x-1) 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 8 8 分分,
3、,共共 2424 分分) ) 6.设已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程为. 7.(2012北京高考)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y 2=4x 的焦点 F,且与 该抛物线相交于 A,B 两点.其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60,则 OAF 的面积为. 8.(2013珠海高二检测)过抛物线 y 2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点, 若|AB|= ,|AF|0)相交于 B,C 两点,当直线 l 的斜率是 时,=4. (1)求抛物
4、线 G 的方程. (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 答案解析答案解析 1.【解析】选 C.点(-1,0)在抛物线 y 2=x 的外部,故过(-1,0)且与其有且仅有一 个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为 x 轴. 【举一反三】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与 y 2=x 只有一个公共点 的直线有() A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条 【解析】 选 B.因为点(1,1)在抛物线 y 2=x 上,所以作与 y2=x 只有一个公共点的直 线有两条,其中一条为切线,一条为平行于 x 轴的直线. 2.【解题指南】数形结合. 【
5、解析】选 C.根据抛物线的对称性, 正三角形的两个顶点一定关于 x 轴对称,且过焦点的两 条直线的倾斜角分别为30和150,如图,所以正三角 形的个数 n=2,所以选 C. 3.【解析】选 B.如图所示: 直线 AF 的斜率为-, AFK=60, PAF=60. 又|PA|=|PF|, APF 为等边三角形. 在 RtAKF 中,|FK|=4, |AF|=8,|PF|=8. 4.【解析】选 B.设抛物线 y=x 2 的切线 l 与 2x-y-4=0 平行. kl=2,设 l 方程为 y=2x+b. 由消去 y 得 x 2-2x-b=0. 由=(-2) 2-41(-b)=4+4b=0 得 b=-
6、1, 而 b=-1 时,切点横坐标为 1, 这时切点为(1,1). 5.【解题指南】设出 A,B 点的坐标,利用抛物线的定义表示出|AF|,|BF|,再利用 |AF|=3|BF|,确立 l 的方程. 【解 析】 选 C. 抛物 线 y 2=4x 的焦 点坐标 为(1,0), 准线 方程为 x=-1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,因为|AF|=3|BF|,所以 x1+1=3(x2+1), 所以 x1=3x2+2.因为|y1|=3|y2|,所以 x1=9x2,所以 x1=3,x2= .当 x1=3 时, =12,此时 y1=2,若 y1=2,则
7、A(3,2),B,此时 kAB=,此时直线方程为 y=(x-1).若 y1=-2,则 A(3,-2), B,此时 kAB=-,此时直线方程为 y=-(x-1). 6.【解题指南】求出抛物线方程,利用点差法. 【解析】由题意知抛物线的方程为 y 2=4x, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x2, 两式相减得,-=4(x1-x2), =1, 直线 l 的方程为 y-2=x-2,即 y=x. 答案:y=x 7.【解题指南】写出直线 l 的方程,再与抛物线方程联立,解出 A 点坐标,再求面 积. 【解析】抛物线 y 2=4x 的焦点 F(1,0),直线 l:y= (x-1).由解得
8、A(3,2),B( ,-).所以 SOAF= 12=. 答案: 【变式备选】已知抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点, 则 cosAFB=. 【解题指南】联立方程求出 A,B 两点后转化为解三角形问题. 【解析】联立消 y 得 x 2-5x+4=0,解得 x=1 或 x=4. 不妨设 A 在 x 轴上方,于是 A,B 的坐标分别为(4,4),(1,-2),又 F(1,0), 可求|AB|=3,|AF|=5,|BF|=2,利用余弦定理得 cosAFB=- . 答案:- 8.【解析】抛物线 y 2=2x 的焦点坐标为( ,0),准线方程为 x=-
9、,设 A,B 的坐标分 别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1x2= = . 设|AF|=m,|BF|=n,则 x1=m- ,x2=n- , 所以有解得 m= 或 n= , 所以|AF|= . 答案: 9.【解析】设抛物线方程为 y 2=-2px(p0),把直线方程与抛物线方程联立得 消元得x 2+(3+2p)x+ =0,判别式=(3+2p)2-9=4p2+12p0,解得p0 或 p0)中,得 y2=-2x. 综上,所求抛物线方程为 y 2=-2x. 10.【解题指南】(1)利用定义建立方程求得 p 值.(2)利用“设而不求”的思想 求解. 【解析】(1)由题意设抛物线方程为 y 2=2
10、px(p0),其准线方程为 x=- . A(4,m)到焦点的距离等于 A 到其准线的距离. 4+ =6,p=4, 此抛物线的方程为 y 2=8x. (2)由消去 y 得 k 2x2-(4k+8)x+4=0. 直线 y=kx-2 与抛物线相交于不同两点 A,B,则有 解得 k-1 且 k0, AB 中点横坐标为 2,则有=2, 解得 k=2 或 k=-1(舍去). 所求 k 的值为 2. 【拓展提升】 “中点弦”处理方法 当涉及弦中点的坐标、弦所在直线斜率之间的关系时,可以“设而不求”,采用 平方差法. (1)代端点.把弦的两端点坐标(x1,y1),(x2,y2)代入圆锥曲线方程. (2)“平方
11、差”.将两方程作差,利用平方差公式. (3)得斜率.把 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0(中点坐标(x0,y0)代入可得,即直线的斜 率. (4)求结论.由点斜式求直线方程或代入转化求其他. 11. 【解析】 (1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率是 时,l 的方程为 y= (x+4), 即 x=2y-4, 由得 2y 2-(8+p)y+8=0, 又=4,y2=4y1, 由这三个表达式及 p0 得 y1=1,y2=4,p=2,则抛物线的方程为 x 2=4y. (2)由题意可设 l:y=k(x+4),BC 的中点坐标为(x0,y0). 由得 x 2-4kx-16k=0, x0=2k,y0=k(x0+4)=2k 2+4k, 线段 BC 的中垂线方程为 y-2k 2-4k=- (x-2k), 线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为: b=2k 2+4k+2=2(k+1)2, 由=16k 2+64k0 得 k0 或 k-4. b(2,+). 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块
