提升课　基本不等式.docx

1、提升课提升课基本不等式基本不等式 学习目标1.掌握利用基本不等式求最值的方法.2.能构造基本不等式的形式求代数式的最 值问题.3.会利用基本不等式解决生活中的实际问题 一、分离消元法求最值 例 1已知 x0，y0，x2y2xy8，求 x2y 的最小值 解由 x2y2xy8，可知 y 8x 22x，因为 x0，y0，所以 0 x0，y0，满足 xyxy3，求 xy 的最小值 解由题意可知 yx3 x1， 所以 xyxx3 x1 x23x x1 x 22x15x54 x1 x1 4 x152 459， 当且仅当 x1 4 x1，即 x3 时等号成立 所以 xy 的最小值为 9. 反思感悟含有多个变

2、量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题， 若无法直接利用基本不等式求解， 可尝试减少变量的个数， 即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题 跟踪训练 1已知 a0，b0，且 2abab1，则 a2b 的最小值为_ 答案52 6 解析由 2abab1，得 ab1 b2， 因为 a0，b0，所以 ab1 b20，b10，所以 b2， 所以 a2bb1 b22b b23 b2 2(b2)42(b2) 3 b252 2b2 3 b25 52 6， 当且仅当 2(b2) 3 b2，即 b2 6 2 时等号成立 所以 a2b 的最小值为 52 6. 二、利

3、用基本不等式求参数的值或取值范围 例 2已知 4xa x(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a 的值为_ 答案36 解析4xa x2 4xa x4 a， 当且仅当 4xa x，即 x a 2 3 时，等号成立， a36. 反思感悟求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题 (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围 跟踪训练 2已知 a0，b0，若不等式2 a 1 b m 2ab恒成立，则 m 的最大值等于( ) A10B9C8D7 答案B 解析因为 a0，b0，所以 2ab0， 所以要使2 a 1 b m 2ab恒成立，

4、只需 m(2ab) 2 a 1 b 恒成立， 而(2ab) 2 a 1 b 42a b 2b a 1549， 当且仅当 ab 时，等号成立，所以 m9. 三、基本不等式的综合运用 例 3已知 a0，b0，求1 a 1 b2 ab的最小值 解a0，b0， 1 a 1 b2 ab2 1 ab2 ab 4 1 ab ab4， 当且仅当 ab1 时，等号成立 反思感悟多次使用基本不等式时，一定要保证几次等号成立的条件能同时成立，要善于发 现“定值”，在使用时可采用拼凑法、换元法、常数代换等方法 跟踪训练 3设 a0，b0，ab5，求 a1 b3的最大值 解设 a1m， b3n， m0，n0，且 m2n

5、2ab49. 由(mn)2m2n22mn2(m2n2)， 即(mn)218， mn3 2，当且仅当 mn3 2 2 时，等号成立， 即 a1 b3的最大值为 3 2. 1知识清单： (1)分离消元法求最值 (2)利用基本不等式求参 (3)基本不等式的综合运用 2方法归纳：消元法、换元法、拼凑法 3常见误区：在同一个题目多次使用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件是否一致 1下列等式中最小值为 4 的是() Ayx4 x By2t1 t Cy4t1 t (t0)Dyt1 t 答案C 解析A 中 x1 时，y54； B 中 t1 时，y34； C 中 y4t1 t 24t1 t 4， 当且仅当

6、t1 2时，等号成立； D 中 t1 时，y20，y0，1 x 9 y1，则使不等式 xym 恒成立的实数 m 的取值范围是( ) Am18Bm18 Cm16Dm16 答案D 解析因为 x0，y0，1 x 9 y1， 所以(xy) 1 x 9 y 19x y y x9102 9x y y x16， 当且仅当9x y y x， 即 x4 y12 时，等号成立； 又不等式 xym 恒成立， 所以只需 m16. 3当 x0 时，y 2x x21有( ) A最小值 1B最大值 1 C最小值 2D最大值 2 答案B 解析因为 x0， 所以 y 2x x21 2 x1 x 2 2x1 x 1， 当且仅当

7、x1 x， 即 x1 时，等号成立 即 y 2x x21有最大值 1. 4若 a，b 都是正数，且 ab1，则(a1)(b1)的最大值是_ 答案 9 4 解析因为 a，b 都是正数，且 ab1， 所以(a1)(b1) a1b1 2 29 4， 当且仅当 a1b1， 即 ab1 2时，等号成立 课时对点练课时对点练 1下列命题中，正确的是() Ax4 x的最小值是 4 B. x24 1 x24的最小值是 2 C如果 ab，cd，那么 acbd D如果 ac2bc2，那么 ab 答案D 解析选项 A 中，若 xbc2，则 c0，所以 c20，所以可得 ab. 2已知 a0，b0，2 a 1 b 1

8、 6，若不等式 2ab9m 恒成立，则 m 的最大值为( ) A8B7C6D5 答案C 解析由已知，可得 6 2 a 1 b 1， 2ab6 2 a 1 b (2ab) 6 52a b 2b a 6(54)54， 当且仅当2a b 2b a ，即 ab18 时等号成立， 9m54，即 m6，故选 C. 3若 x0，则 x2 020 x a 恒成立的一个充分条件是() Aa80Ba90Da0，由基本不等式 x2 020 x 2x2 020 x 4 505， 当且仅当 x2 020 x ，即 x2505时，取等号， 要使得 x2 020 x a 恒成立，则 a4 505， 所以 x2 020 x

9、a 恒成立的一个充分条件是 a0，那么 31 xx 有( ) A最大值 1B最小值 1C最大值 5D最小值5 答案A 解析x0, 1 xx2 1 xx2，当且仅当 1 xx 即 x1 时取得等号 1 xx2，3 1 xx321. 5若 x4，则 yx 24x9 x4 () A有最大值 10B有最小值 10 C有最大值 6D有最小值 6 答案B 解析因为 x4， 所以 yx 24x9 x4 x4 24x169 x4 (x4) 9 x442 x4 9 x4410， 当且仅当 x4 9 x4，即 x7 时，等号成立 即 yx 24x9 x4 有最小值 10，y(x4) 9 x44 在 x4 上无最大

10、值 6(多选)下列函数中最小值为 2 的是() Ayx1 x By x 1 x Cy x23 1 x23 Dyx 4 x2(x2) 答案BD 解析x0 时，yx1 x0，y x 1 x2 x 1 x2，当且仅当 x 1 x，即 x1 时等号成立，B 正确； 同理 y x23 1 x232，但 x 23 1 x23时，等号才能成立，而 x 23 1 x23无 解故 2 取不到，C 错； x2，则 x20，yx 4 x2(x2) 4 x222 x2 4 x222， 当且仅当 x2 4 x2，即 x0 时等号成立，D 正确 7已知 a0，b0 且 ab3.式子 2 021 a2 019 2 021

11、b2 020的最小值是_ 答案2 解析令 a2 019x，b2 020y， 则 x2 019，y2 020 且 xy4 042， 1 4 042(xy)1， 2 021 a2 019 2 021 b2 0202 021 1 x 1 y 2 021 1 x 1 y 1 4 042(xy)1 1 2 y x x y 11 22 y x x y2， 当且仅当y x x y，即 xy2 021，a2，b1 时等号成立 8若对x1，不等式 x 1 x11a 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 答案a0 解析因为 x1，所以 x10， 则 x 1 x11x1 1 x12 2x1 1 x12220， 当且仅

12、当 x1 1 x1， 即 x0 时等号成立， 由题意可得 a x 1 x11min0，即 a0. 9(1)若 0 x3 时的最小值 解(1)0 x0， yx(123x)1 33x(123x) 1 3 3x123x 2 212，当且仅当 3x123x，即 x2 时，等号成立； 所以函数 yx(123x)的最大值为 12. (2)yx 26x12 x3 x3 23 x3 x3 3 x3， x3，x30， x3 3 x32 3，当且仅当 x3 3 x3， 即 x 33 时，等号成立， 函数 yx 26x12 x3 的最小值为 2 3. 10已知实数 a，b 满足 0a1,0b1. (1)若 ab1，

13、求 11 a 11 b 的最小值； (2)设 0m12，求1 m 1 12m的最小值 解已知实数 a，b 满足 0a1,0b1. (1)若 ab1， 11 a 11 b 1ab a 1ab b 2a b 2b a 42b a 2a b 1441 9，当且仅当 ab1 2时，等号成立，故最小值为 9. (2)0m0,12m0， m(12m)12， m 12 12m 12 1， 1 m 1 12m 1 m 1 12m m 12 12m 12 1 6 12m 12m m 12(12m) 1 6 1 6 1 3， 当且仅当 m6 时，等号成立， 1 m 1 12m的最小值为 1 3. 11若 x0，y

14、0，xy1，且1 x 4x y m 恒成立，则实数 m 的取值范围是() Am3Bm6Cm5Dm0，y0，所以y x0， 4x y 0， 又因为 xy1，所以1 x 4x y xy x 4x y y x 4x y 12 y x 4x y 15， 当且仅当y x 4x y ，即 y2x2 3时，等号成立， 因为1 x 4x y m 恒成立，所以 m 1 x 4x ymin5， 所以实数 m 的取值范围是 m0，y0，且 xy10，则下列说法正确的是() A当 xy 10时，2 x 5 y取得最小值 B当 xy 10时，2 x 5 y取得最大值 C当 x2，y5 时，2 x 5 y取得最小值 D当

15、 x2，y5 时，2 x 5 y取得最大值 答案C 解析x0，y0，且 xy10， 2 x0， 5 y0， 10 xy1， 2 x 5 y2 2 x 5 y2 10 xy2， 当且仅当2 x 5 y即 x2，y5 时，等号成立， 当 x2，y5 时，2 x 5 y取得最小值，最小值为 2. 14已知正实数 a，b 满足 ab2(a2b)4，则 ab 的最小值为_ 答案2 解析由 ab2(a2b)4，得 a(a2b) 4 b2， 故(ab)2a(a2b)b2 4 b2b 22 4 b2b 24(当且仅当 b 2，a2 2时取等号) 所以 ab 的最小值为 2. 15设 x0，y0，x2y7，则x

16、12y1 xy 的最小值为_ 答案8 解析 x12y1 xy x2y2xy1 xy 2xy8 xy 2 xy 8 xy8， 当且仅当 xy4 时，等号成立 16已知 x，y 是正数，且满足 x2yxy30. (1)求 xy 的最大值及此时的 x，y 值； (2)求 xy 的最小值及此时的 x，y 值 解(1)x2yxy30，y30 x x2 ， 由于 x，y 是正数，则 x0 且30 x x2 0，可得 0 x30， xyx30 x x2 30 xx 2 x2 x 230 x6464 x2 32x 64 x234(x2) 64 x234 x2 64 x2 342x2 64 x218， 当且仅当 x6， y3 时，等号成立，所以 xy 的最大值为 18. (2)xyx30 x x2 x32x2 x2 x 32 x21(x2) 32 x232 x2 32 x23 8 23， 当且仅当 x4 22， y4 21 时，等号成立，所以 xy 的最小值为 8 23.