1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 宁德市宁德市 2019-20202019-2020 学年度第一学期期末高二质量检测学年度第一学期期末高二质量检测 数数学学试试题题 本试卷有第本试卷有第 I I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第 IIII 卷（非选择题）两部分，考试时间卷（非选择题）两部分，考试时间 120120 分钟分钟 ，满分，满分 15150 0 分分. . 注意事项：注意事项： 1 1答题前答题前，考生务必在试题卷考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号答题卡规定的地方填写准考证号、姓名姓名，考生要认真核对答考生要认真核对答 题卡上粘贴的条形码的题卡
2、上粘贴的条形码的“准考证号，姓名准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致与考生本人准考证号、姓名是否一致. . 2 2第第 I I 卷每小题选出答案后卷每小题选出答案后，用用 2B2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动如需改动， 用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号； 第第 IIII 卷用卷用 0.50.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答， 在试题卷上作答，答案无效在试题卷上作答，答案无效. . 第第 I I 卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分） 一、单项选
3、择题一、单项选择题: : 本题共本题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分. . 在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的有一个选项是符合题目要求的. . 1.等差数列 n a的前n项和为 n S，若 26 3,11aa，则 7 S （） A. 51B. 50C. 49D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得到关于 1 a和d的方程组，再代入 7 S的公式. 【详解】设等差数列的公差为d，首项为 1 a， 所以 1 1 3 511 ad ad ，解得： 1 a1,d 2= 所以 7 7 6 7 124
4、9 2 S . 故选：C 【点睛】本题考查等差数列基本量的求值，属于基础题型. 2.“1x 且2y ”是“3xy”的 （） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【答案】A 【解析】 【分析】 按照充分必要条件的判断方法判断，“1x 且2y ”能否推出“3xy”，以及 “3xy”能否推出“1x 且2y ”，判断得到正确答案， 【详解】当1x 且2y 时，3xy成立， 反过来，当3xy时，例：4,0 xy，不能推出1x 且2y . 所以“1x 且2y ”是“3xy”的充分不必要条件. 故
5、选：A 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型. 3.已知双曲线的渐近线为 2 2 yx ，实轴长为4，则该双曲线的方程为（） A. 22 1 42 xy B. 22 1 42 xy 或 22 1 48 yx C. 22 1 168 xy D. 22 1 168 xy 或 22 1 1632 yx 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的焦点所在位置分两种情况讨论: 当双曲线的焦点在x轴上时, 2 2 b a ; 当双曲 线的焦点在y轴上时, 2 2 a b ,结合2a 可解得. 【详解】当双曲线的焦点在x轴上时, 2 2 b a ,又24a ,即2a ,
6、 所以 2b ,所求双曲线的方程为: 22 1 42 xy ; 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 当双曲线的焦点在y轴上时, 2 2 a b ,又24a ,即2a , 所以 2 2b ,所以所求双曲线的方程为: 22 1 48 yx . 所以所求双曲线方程为: 22 1 42 xy 或 22 1 48 yx . 故选B. 【点睛】本题考查了根据双曲线的几何性质求双曲线方程,属于基础题. 4.已知正方体 1111 ABCDABC D，点E是上底面 11 AC的中心，若 1 AEAAxAByAD ， 则x y 等于（） A. 1 3 B. 1 2 C.1D.2 【答案
7、】C 【解析】 【分析】 结合几何体，根据空间向量的加法运算得到 , x y的值. 【详解】如图， 1111111 1 2 AEAAAEAAABAD 11 111 222 AAABADAAABAD ， 所以 1 2 xy， 所以1xy. 故选：C 【点睛】本题考查空间向量的运算，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 5.如果实数x,y满足条件 1 220 10 y xy xy ，则2zxy的最大值为（） A.1B.2C.4D.5 【答案】C 【解析】 【分析】 首先画出可行域，根据可行域求目标函数的最大值. 【详解】如图，画出
8、可行域，然后令0z ，画出初始目标函数2yx 的图象，由图象可知 平移至点B取得最大值， 1 220 y xy ，解得： 3 2 x ，1y 所以 max 3 214 2 z . 故选：C 【点睛】本题考查线性规划，重点考查作图能力，属于基础题型. 6.设0,0ab，若1是2a与b的等差中项，则 21 ab 的最小值为（） A.5B. 9 2 C.4D.3 【答案】B 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 由条件可知22ab，再利用1 2 b a，变形为 2121 2 b a abab ，利用基本不等 式变形求 21 ab 的最小值. 【详解】由题
9、意可知22ab，即1 2 b a 0,0ab 2121559 2 2222 bbaba a abababab . 当且仅当 ba ab 时等号成立， 所以 21 ab 的最大值是 9 2 . 故选：B 【点睛】本题考查基本不等式求最小值，重点考查“1”的妙用，属于基础题型. 7.已知数列 n a满足 1 1a ， 1 (2) nn aan n ,则数列 1 n a 的前 2019 项和等于 （） A. 2019 1010 B. 4040 2021 C. 2019 2020 D. 4036 2019 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，利用累加法求得数列的通项公式 2 2 n nn a ，再
10、利用裂项相消法求数列 1 n a 的前 2019 项的和. 【详解】由题意可知 21 2aa， 32 3aa， 43 4aa， 1nn aan ，2n ， 这1n 个式子相加得 1 1212 234.1 22 nn nnnn aana 所以 2 2 n nn a 2n ，验证当1n 时， 2 11 1 2 n a 成立，所以 2 2 n nn a 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 2 12211 2 11 n annn nnn ， 设数列 1 n a 的前n项和是 n S， 所以 2019 1111111 21. 2233420192020 S 2019 1010
11、 . 故选：A 【点睛】本题考查累加法，裂项相消法求和，重点考查基本方法，基本计算能力，属于基础 题型. 8.如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，120ABC， 2AB ， 1,BC 1 2CC ，则 异面直线 1 AB与 1 BC所成角的大小为 （） A.60B.60或120C.45D.135或 45 【答案】C 【解析】 【分析】 首先将直三棱柱补成如图四棱柱，再利用线线平行，可得异面直线 1 AB和 1 BC所成的角就是 11 B AD或是其补角，利用三角形的边长求角. 【详解】如图，将直三棱柱补成四棱柱，底面是平行四边形ABCD，连结 1 AD， 11 B D， 11 / /AD
12、BC，所以异面直线 1 AB和 1 BC所成的角就是 11 B AD或是其补角， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 由题意可知 22 11 426ABABBB， 22 11 1 23ADADDD， 222 1111111111 1 2cos604 1 2 2 13 2 B DABADABAD ， 所以 11 AB D是等腰直角三角形， 11 45B AD . 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成角，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 9.已知双曲线:C 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，过 2 F作双曲线
13、C的一条 渐近线的垂线l，垂足为H，直线l与双曲线C的左支交于E点 ，且H恰为线段 2 EF的中点， 则双曲线C的离心率为 （） A. 2 B. 51 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 利用中位线关系求得 12 EFEF，再利用双曲线的定义，表示 12 Rt EFF的三边，最后根据勾 股定理求双曲线的离心率. 【详解】连结 1 EF，因为点,O H分别为 12 FF和 2 EF的中点， 所以 1 / /OHEF，且 12 EFEF 设点 2 ,0Fc到一条渐近线 b yx a 的距离 22 bc db ab ，所以 2 2EFb，又 21 2EFEFa，所以 1 22EF
14、ba， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 12 Rt EFF中，满足 2 22 2244babc， 整理为：2ba， 双曲线的离心率 22 2 5 cab e aa . 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率，意在考查数形结合的思想，转化与化归的思想，属于中 档题型，本题的关键是利用中位线得到 12 EFEF，和焦点到渐近线的距离等于b，这个结论 记住，做小题时可以直接使用. 10.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元 代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等， 某仓库中部分货物堆放成如
15、图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层 1 件，以后每一层比上 一层多 1 件，最后一层是n件，已知第一层货物单价 1 万元，从第二层起，货物的单价是上 一层单价的 4 5 .若这堆货物总价是 4 2565 5 n 万元，则n的值为（） A. 7B. 8C. 9D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由题意列出总价的表达式，再利用错位相减法求和，最后解出n值. 【详解】由题意，可知这堆货物的总价为 n S，则 21 444 123. 555 n n Sn 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 4 5 n S 21 4444 2.1 5555 nn nn ， 两式
16、相减可得： 21 14444 1. 55555 nn n Sn 4 1 445 55 4 55 1 5 n nn nn ， 所以 4 2555 5 n n Sn ， 当 44 25552565 55 nn n Sn 时， 解得：8n . 故选：B 【点睛】本题考查等比数列的应用，错位相减法求和，考查了逻辑推理，抽象，概括能力， 数学计算能力，属于中档题型. 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 2 2 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，分， 共共 1010 分分. . 在每小题给出的选项中有多项符在每小题给出的选项中有多项符 合题目要求，全部选对的得合题目要求，全部选对的得 5 5
17、 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 11.若0ab，则下列不等式中正确的是（） A. 11 ab B. 11 aba C. 22 11 ab cc D. 22 ab 【答案】CD 【解析】 【分析】 这四个选项都可以做差，变形，根据条件比较大小. 【详解】A. 11ba abab ，0ab，0,0abba，即 11 ab ，故 A 不正确； B. 11aabb abaab aa ab ，0ab， 11 0 aba ，所以 11 aba ，故 B 不正确； C. 222 0 111 abab ccc ，即 22 11 ab cc ，故 C 正确
18、； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - D. 22 0ababab，所以 22 ab ，故 D 正确. 故选：CD 【点睛】本题考查比较大小，属于基础题型，一般比较大小的题目，可以采用做差法，单调 性，或者不等式的性质比较大小. 12.如图所示，棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，P为线段 1 AB上的动点（不含端点） ， 则下列结论正确的是（） A. 平面 11 D AP 平面 1 A APB. 1 AP DC uuu r uuuu r 不是定值 C. 三棱锥 11 BD PC的体积为定值D. 11 DCD P 【答案】ACD 【解析】 【分析
19、】 A.易证明 11 D A 平面 1 A AP，得到面面垂直；B.转化 11111111 ()AP DCAAAPDCAA DCAP DC ， 再求数量积； C. 1111 BD PCP B D C VV , 根据底面积和高，判断体积是否是定值；D.由 1 DC 平面 11 AD P，判断线线是否垂直. 【详解】A.因为是正方体，所以 11 D A 平面 1 A AP， 11 D A 平面 11 D AP，所以平面 11 D AP 平面 1 A AP，所以 A 正确； B. 11111111 ()AP DCAAAPDCAA DCAP DC 1111 2 cos45cos90121 2 AA D
20、CAP DC ，故 1 1AP DC ，故 B 不正确； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - C. 1111 BD PCP B D C VV ， 11 B DC的面积是定值， 1 / /AB平面 11 B DC，点P在线段 1 AB上的动 点，所以点P到平面 11 B DC的距离是定值，所以 1111 BD PCP B D C VV 是定值，故 C 正确； D. 111 DCA D， 11 DCAB， 1111 ADABA， 所以 1 DC 平面 11 AD P， 1 D P 平面 11 AD P， 所以 11 DCD P，故 D 正确. 故选：ACD 【点睛】本
21、题考查点，线，面的位置关系，体积，空间向量数量积的综合判断题型，重点考 查垂直关系，属于中档题型. 第第 IIII 卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分） 三、填空题三、填空题: :本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置 13.命题“ 2 ,13xR xx ”的否定是：_ 【答案】 2 ,13xR xx 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定直接求解. 【详解】命题“ 2 ,13xR xx ”的否定是“ 2 ,13xR xx ”. 故答案为： 2 ,13xR xx 【点睛】本
22、题考查全称命题的否定，重点考查命题的形式，属于基础题型. 14.已知直线l与椭圆 22 1 84 xy 交于 ,A B两点，若AB的中点坐标为( 1, 1)，则直线l的 方程是_ 【答案】230 xy 【解析】 【分析】 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，利用点差法，代入 22 11 22 22 1 84 1 84 xy xy ，两式相减可得 12 12 1 2 yy xx ，代 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 入点斜式求直线方程. 【详解】设 11 ,A x y， 22 ,B xy 22 11 22 22 1 84 1 84 xy xy ，两式相减
23、可得 2222 1212 0 84 xxyy ， 变形为 12121212 0 84 xxxxyyyy ， 因为AB的中点坐标为 1,1 ，所以 12 2xx ， 12 2yy， 即 12 12 1 2 yy xx ，即直线l的斜率为 1 2 . 故直线l的方程为 1 11230 2 yxxy . 故答案为：230 xy 【点睛】本题考查中点弦问题，求直线方程，重点考查基本方法，属于基础题型. 15.设不等式 2 20 xx 的解集为A, 关于x的不等式 2 20 xxa （a为常数）的解集 为B， 若AB，则a的取值范围是_ 【答案】 ,3 【解析】 【分析】 首先解出集合A，根据AB，结合
24、二次函数的图象，列出不等式求解. 【详解】12Axx ，若AB， 则 2 2 1210 22 20 a a ，解得：3a . 故答案为：, 3 【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，重点考查二次函数，一元二次不 等式，属于基础题型. 16.顶点在坐标原点，焦点为(0,1)F的抛物线上有一动点A，圆 22 (1)(4)1xy上有一 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 动点M，则|AMAF的最小值等于_ ， 此时 | | AF AM 等于_ 【答案】(1). 4(2). 5 11 【解析】 【分析】 首先根据抛物线定义的性质转化AMAFAMd，利用数形结
25、合分析得到AMd 的最小值是圆心到直线1y 的距离减半径，再由属性集合分析得到点A的坐标，从而得到 AF AM 的值. 【详解】根据抛物线的定义可知AF等于点A到准线的距离d， 所以AMAFAMd， 由图象可知AMd的最小值是圆心到直线1y 的距离减半径，即5 14 ， 此时点A的横坐标是1，代入 2 4xy，得到点A的纵坐标 1 4 ， 15 1 44 AFd ， 111 41 44 AM , 所以 5 11 AF AM . 故答案为：4； 5 11 【点睛】本题考查抛物线，圆的综合问题，重点考查转化与化归的思想，数形结合分析问题 的能力，本题的关键是抛物线的定义的转化，以及点与圆上的点连线
26、最值的方法. 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 17.已知命题p:xR ， 2 110 xax ；命题q: 函数 2 ( )2f xxax在区间 , 0上单调递减 （1） 若命题p为真命题， 求a的取值范围； （2）若命题p q 为假命题，求a的取值范围 【答案】 （1）( 3,1)； （2）(, 3 【解析】 【分析】 （1）当命题p是真命题时， ，解出a的取值范围； （2）分别求两个命题为真命
27、题时a的取值范围，若满足p q 是假命题，则 , p q都是假命题， 列不等式求参数a的取值范围. 【详解】 （1）若p为真命题，则 2 (1)40a (3)(1)0aa 即31a a的取值范围为( 3,1) （2）若p q 为假，则p假且q假 若q为真命题，则0a 31 0 aa a 或 3a ,即a的取值范围为(, 3 【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，重点考查二次函数的性质，属于基础 题型. 18.已知数列 n a的前n项和为 n S, 1 2a ， 1 2 nn aS （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足 221 log nnn baa ，求数列 n
28、 b的前n项和 n T 【答案】 （1）2n n a ； （2） 12 22 n n 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 【分析】 （1）由条件得到 1 22 nn aSn ，结合已知两式相减得到 1 2(2) n n a n a ，再验证 2 1 a a ， 得到数列 n a是等比数列，从而得到数列的通项公式； （2）由（1）可知221 n n bn，利用分组转化为等差数列和等比数列求和. 【详解】 （1） 1 2 nn aS . 1 2(2) nn aSn . - 得 1nnn aaa ，即 1 2(2) n n a n a 又 1 2a , 2 2
29、1 1 24,2 a aS a 1 2() n n a nN a n a是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 1 2 22 nn n a （2）由（）得2n n a 21 2 2log 2221 nnn n bn 123 . nn Tbbbb 123 (21)(23)(25).(221) n n 123 (222.2 )135.(21) n n 2(12 )1(21) 122 n nn 12 22 n n 【点睛】本题考查已知 n S求 n a，以及分组转化法求和，重点考查基本方法，计算能力，属于 基础题型，本题容易忽略验证 2 1 a a ，一般求和的方法包含 1.公式法求和；2.裂项相消
30、法求和； 3.分组转化法求和；4.错位相减法求和，这些常用方法需熟练掌握. 19.在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - BCAD，90oADC，1BCCD，2AD ，5PAPD，E为PA的中点 （1）求证:BE平面PCD； （2）若点F在线段PC上，满足 2 3 PF PC ，求直线PA与平面ADF所成角的正弦值 【答案】 （1）证明见解析； （2） 10 5 【解析】 【分析】 （1）证法 1：要证明线面平行，转化为证明线线平行，取PD中点G，连接EG,GC，证明 / /BECG；证法 2
31、：要证明线面平行转化为证明面面平行，取AD中点O，连接EO,OB， 转化为平面/ /BEO平面PCD； （2）取AD中点O,连接PO、OB,易得OBAD，PO 平面ABCD，以O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空 间直角坐标系Oxyz，求平面ADF的法向量，利用公式求线面角的正弦值. 【详解】 （）证法 1：取PD中点G，连接EG,GC. E为PA中点，/ /EGAD,且 1 2 EGAD=. 又/ /BCAD,且 1 2 BCAD,/ /EGBC,且=EG BC， 四边形EGCB为平行四边形，/ /BECG， 又BE 平面PDC，GC 平面PDC， / /BE平
32、面PDC； 证法 2： 取AD中点O，连接EO,OB. E为PA中点，/ /OEPD， 又OE 平面PDC，PD 平面PDC， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - / /OE平面PDC. 又/ /ODBC且ODBC, 四边形BCDO为平行四边形，/ /OBDC, 又OB 平面PDC，DC 平面PDC， / /OB平面PDC，又OBOEOI, 平面/ /BEO平面PDC，又BE 平面BEO, / /BE平面PDC； （）取AD中点O,连接PO、OB，OBAD. 5PAPD ,POAD. 又平面PAD 平面ABCD,且平面PAD平面ABCDAD， PO 平面PAD，P
33、O平面ABCD， 以O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - (1,0,0), (0,1,0),( 1,0,0), (0,0,2)ABDP , ( 1,1,0)C ， PC ( 1,1, 2)， ( 1,0, 2),( 2,0,0)APAD ， 2 3 PF PC , 22 24 (,) 33 33 PFPC 2 245 2 2 ( 1,0,2)(,)(,) 3 333 3 3 AFAPPF 设平面ADF的法向量( , , )mx y z ， 则 =0 =0 m AD
34、m AF ， 20 522 0 333 x xyz ， 得0 x ，取1y ,则1z ，(0, 1,1)m 设PA与平面ADF所成的角为， |210 sincos, 552 AP m AP m AP m ， PA与平面ADF所成的角的正弦值为 10 5 . 【点睛】本题考查证明线面平行，空间坐标法求线面角，重点考查空间想象能力，推理能力， 计算能力，属于中档题型. 20.设抛物线： 2 2(0)ypx p上一点 (4,)Pm到焦点F的距离为 5 （1）求抛物线的方程； （2）过点 (2, 0)Q 的直线 1 l与抛物线交于,A B两点, 过点A作直线 2: 2lx 的垂线，垂足 高考资源网（）
35、您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 为 A ，判断：AOB 、 、三点是否共线，并说明理由 【答案】 （1） 2 4yx； （2）, ,AO B三点共线，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）解法一，利用焦半径公式直接求得p值，解法二，根据点在抛物线上和两点间的距离， 列方程组求解； （2） 解法一， 分直线 1 l的斜率不存在和存在两种情况， 斜率不存在时 OAOB KK 和斜率存在时，利用直线方程和抛物线方程联立，得到根与系数的关系验证 OAOB KK ，说明 三点共线， 解法二， 设直线 1: 2lxmy与抛物线方程联立， 利用0 OBOA KK 说明三点共线， 解法三，
36、设直线 1: 2lxmy与抛物线方程联立，利用 / /OA OB ，说明三点共线. 【详解】 （1）解法 1:由已知得45 2 p ，2p ， 抛物线的方程为 2 4yx 解法 2: 由已知得 2 4)2 2 2 8 (25 p mp m 解得 2 16360pp 2p 或18p 又0p 2p 抛物线的方程为 2 4yx （2）解法 1:易知直线 1 l的斜率为 0 时. 直线 1 l与抛物线交于一点,不合题意. (1)当直线 1 l的斜率不存在时，则 (2,2 2),(2, 2 2)AB,( 2,2 2)A 2 2 2 2 OA K , 2 2 2 2 OB K . OAOB KK , ,
37、,AO B三点共线 (2)当直线 1 l的斜率存在时，设： 1: (2)lyk x. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - 2 (2) 4 yk x yx ,消y整理得 2222 (44)40k xkxk 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy, 1 ( 2,)Ay ,则 2 32160.k 2 1212 2 44 ,4. k xxx x k 12 2 , 2 OAOB yy KK x . 21221221 222 22 (2)(2) 222 OBOA yyyx yk xx k x KK xxx 12 22 444 0. 22 kkx xkk xx OA
38、OB KK , , ,AO B三点共线. 综上(1) (2)知, ,AO B三点共线 （2）解法 2:易知直线 1 l的斜率为 0 时. 直线 1 l与抛物线交于一点,不合题意. 可设直线 1: 2lxmy. 由 2 2 4 xmy yx ,得 2 480ymy . 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 1 ( 2,)Ay 则 2 16320m , 1212 4 ,8.yym y y 又 12 22 4 , 2 OAOB yy KK xy 112 22 84 0. 22 OBOA yy y KK yy OAOB KK , , ,AO B三点共线 （2）解法 3:易知直线 1
39、l的斜率为 0 时. 直线 1 l与抛物线交于一点,不合题意. 可设直线 1: 2lxmy. 由 2 2 4 xmy yx ,得 2 480ymy . 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 1 ( 2,)Ay 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 - 则 2 16320m , 1212 4 ,8.yym y y 122 ( 2,),(,).OAyOBx y 22 221212 222( 8)0. 44 yy yx yyyy .OA OB 又,OA OB 有公共点O, , ,AO B三点共线 【点睛】本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系的综合问题，
40、重点考查直线与圆锥 曲线联立，得到根与系数的关系，解决几何问题，属于中档题型. 21.随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利根据大数据统计，某条地铁线 路运行时， 发车时间间隔 t （单位： 分钟） 满足：4 15,ttN ， 平均每趟地铁的载客人数 f t （单位：人）与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系： 2 1250 10 9,49 1250,915 tt f t t ，其中tN （1）若平均每趟地铁的载客人数不超过 1000 人，试求发车时间间隔t的值； （2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为 6( )930 ( ) f t g t t 415,()ttN （单位：元） ，
41、 问当发车时间间隔t为多少分钟时， 平均每趟地铁每分钟的净收益最大？ 并求出最大净收益 【答案】 （1）4t ； （2）当发车时间间隔为 7min 时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最 大净收益为 240 元. 【解析】 【分析】 （1）由题意可知49t ， 2 1250 10 91000t，求得t值； （2）由（1）的分段函数可得 49 60() 1080,49, ( ) 1920 ,915, tttN t g t ttN t ，由分段函数的单 调性求得函数的最大值，以及t的值. 【详解】 （1）由已知得，当915t 时，12501000，不合题意舍去 当49t 时， 2 125010(9
42、)1000t 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 22 - 2 (9)25t，95t 或95t 4t 或14t 又49,ttN 4t （2）由题意得 49 60() 1080,49, ( ) 1920 ,915, tttN t g t ttN t 当49t 时， 49 ( )60()108060 2 491080240g tt t （元） ， 当且仅当7t 取等； 当915t 时， 1920640 ( )(9) 93 g tg（元） 640 240 3 当7t ， max ( )240g t. 答： (1)若平均每趟地铁的载客人数不超过 1000 人，发车时间间隔为 4mi
43、n. (2)当发车时间间隔为 7min 时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为 240 元. 【点睛】本题考查函数的应用，重点考查分段函数的单调性，最值，属于中档题型，本题的 难点是读懂题意， 并能抽象概括为函数问题，计算能力，属于基础题型. 22.已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的焦距为2 5， 且椭圆过点 4 ( 5,) 3 P， 直线l与圆O: 22 1xy相切，且与椭圆C相交于,A B两点 （1）求椭圆C的方程； （2）求三角形OAB面积的取值范围 【答案】 （1） 22 1 94 xy ； （2） 43 2,3 32 【解析】 【分析】 （1）方法一，
44、由条件可知2 2 5c ，再将点P代入椭圆方程，求得椭圆C的方程，方法二， 由条件求得焦点坐标，再根据椭圆的定义， 求得2a， 最后求 222 bac ，求得椭圆方程； （2） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 23 - 方法一，讨论斜率存在和不存在两种情况，当斜率存在时，设直线y kxm 与圆相切得到 22 1mk ，并利用根与系数的关系表示弦长，并得到三角形的面积，利用换元法求面积的 取值范围，法二，同法一表示三角形的面积，并通过构造换元，利用基本不等式求面积的取 值范围. 【详解】 （1）解法 1:2 2 5c ， 5c 22 22 5 16 5 9 1 ab ab
45、 22 9,4ab 椭圆方程 22 1 94 xy （1）解法 2: 由已知得 5c ,则焦点坐标为 12 (5,0),( 5, 0)FF 2222 12 44 2(2 5)( )0( )6 33 aPFPF 3a, 222 4bac 椭圆方程 22 1 94 xy （2）解法 1 ：(i) 当直线l斜率不存在时， 4 2 3 OAB S (ii)当直线l斜率存在时，设直线l方程为y kxm ，联立 22 1 94 ykxm xy 得： 222 (49)189360kxkmxm 2 1212 22 18936 , 4949 kmm xxx x kk ， 22 144(94)0km 又直线l与圆
46、O相切， 2 1 1 m k ，即 22 1mk 222 2 12 194 49 kkm AB k 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 24 - 22 2 12 183 49 kk k 22 2 16 183 1 249 OAB kk SAB k 令 2 49tk，则 2 4 9 t k ，4t 2 22 585 6 283525211 99 25358 33 OAB tt tt S tttt 4t （） 令 1 u t ，则 2 21 25358,(0, 34 OAB Suuu 设 2 ( )25358g uuu , 1 (0, 4 u,则 2 ( ) 3 OAB Sg
47、u 22 781 ( )2535825() 104 g uuuu , 在 1 (0, 4 u递增， 1 (0)( )( ) 4 gg ug, 即 243 8( ) 16 g u 43 (2,3 32 OAB S； 综上，由(i)和(ii)知，三角形OAB面积的取值范围为 43 2,3 32 . 解法 2：(i)当直线l斜率不存在时， 4 2 3 OAB S (ii)当直线l斜率存在时，设直线l方程为y kxm ，联立 22 1 94 ykxm xy 得： 222 (49)189360kxkmxm 2 1212 22 18936 , 4949 kmm xxx x kk ， 22 144(94)0
48、km 又直线l与圆O相切， 2 1 1 m k , ,即 22 1mk 222 2 12 194 49 kkm AB k 22 2 12 183 49 kk k 22 2 16 183 1 249 OAB kk SAB k 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 25 - 2222 2 2222 16 1836 183 1 249 ( 1)( 83) OAB kkkk SAB k kk 22 22 6 183 831 kk kk 令 2 2 83 1 k u k ，则 2 5 8 1 u k ， 3,2 2)u， 14 3 9 2 ,) 34 u u 643 (2,3 1 32 OAB S u u 综上，由(i)和(ii)知，三角形OAB面积的取值范围为 43 2,3 32 . 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求 法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，第二问的难点是换元后转化为 何种形式求函数的取值范围，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解 题的基本工具. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 26 -
