1、解答题必刷卷(五)平面解析几何 1已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，过点 F1的直线交椭圆 C 于 A，B 两点， AF2B 的周长为 4 2，且椭圆 C 经过点 1， 2 2 。 (1)求椭圆 C 的方程； (2)当 AB 的中点坐标为 2 3， 1 3 时，求AF2B 的面积。 解(1)因为AF2B 的周长为 4 2，所以 4a4 2， 即 a 2， 又椭圆 C 经过点 1， 2 2 ，所以1 2 1 2b21，解得 b1， 所以椭圆 C 的方程为x 2 2 y21。 (2)由椭圆方程可知 F1(1,0)，F2(1,0)。 因为 AB 的中
2、点 2 3， 1 3 在第二象限， 所以直线 AB 有斜率且斜率大于 0。 设直线 AB 的方程为 yk(x1)(k0)， 代入椭圆方程可得 1 2k 2 x22k2xk210。 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2 2k2 1 2k 2 2 32， 解得 k1，于是 x1x20。 所以|AB| 1k2x1x224x1x24 2 3 。 又直线 AB 的方程为 yx1，F2(1,0)， 所以焦点 F2到直线 AB 的距离 d 2 2 2， 所以AF2B 的面积为1 2 4 2 3 24 3。 2(2021四川成都外国语学校模拟)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0
3、)的左顶点为 A，上顶点为 B，右焦点 为 F，离心率为 2 2 ，ABF 的面积为 21。 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 M，N 为 y 轴上的两个动点，且 MFNF，直线 AM 和 AN 分别与椭圆 C 交于 E，D 两点。若 O 是坐标原点，求证：E，O，D 三点共线。 解(1)依题意 ec a 2 2 ，则 a 2c，即 bc。 SABF1 2(ac)b 1 2( 21)c 2 21， 所以 c22b2，a24， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 2 1。 (2)证明：由(1)知 A(2,0)，F( 2，0)， 设 M(0，m)，N(0，n)，mn，mn0。 则 lAM
4、：ym 2 xm， 由 MFNF，可得 kMFkNF1，解得 mn2。 设 E(x1，y1)。 联立 ym 2 xm， x22y24， 得 1m 2 2 x22m2x2m240， 所以 x142m 2 m22 ，y1 4m m22。 所以 E 42m2 m22 ， 4m m22 。 由 lAN：yn 2xn， 同理可得 D 42n2 n22 ， 4n n22 ， 所以 kOE 4m m22 42m2 m22 2m 2m2， 所以 kOD 4n 42n2 4 2 m 42 4 m2 8 m 4 8 m2 8m 4m28 2m 2m2k OE， 所以 E，O，D 三点共线。 3(2021开封市一模
5、)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F(1,0)，直线 l：x1，点 P 在直线 l 上移动， R 是线段 PF 与 y 轴的交点，动点 Q 满足：RQPF，PQl。 (1)求动点 Q 的轨迹 E 的方程； (2)若直线 PF 与曲线 E 交于 A，B 两点，过点 F 作直线 PF 的垂线与曲线 E 相交于 C，D 两点，求FA FB FC FD 的最大值。 解(1)由题意可知 R 是线段 PF 的中点，因为 RQPF，所以 RQ 所在直线为线段 PF 的垂直平分线， 连接 QF，所以|QP|QF|，又 PQl，所以点 Q 到点 F 的距离和到直线 l 的距离相等， 设 Q(x，y)，则|
6、x1| x12y2， 化简得 y24x， 所以动点 Q 的轨迹 E 的方程为 y24x。 (2)由题可知直线 PF 的斜率存在且不为 0， 设直线 PF：yk(x1)(k0)， 则 CD：y1 k(x1)， 联立方程，得 ykx1， y24x， 消去 y，得 k2x2(2k24)xk20， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x22k 24 k2 ，x1x21。 所以FA FB (x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y2(1k2)(x1x2x1x21) 4 k24。 同理，设 C(x3，y3)，D(x4，y4)， 可得FC FD 4k24， 所以FA FB FC
7、 FD 4 k2 1 k28， 因为 k2 1 k22，当且仅当 k 21，即 k1 时取等号， 所以FA FB FC FD 的最大值为16。 4已知以动点 P 为圆心的圆 P 与直线 l：x1 2相切，与定圆圆 F：(x1) 2y21 4相外切。 (1)求动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程； (2)过曲线 C 上位于 x 轴两侧的点 M，N(MN 不与 x 轴垂直)分别作直线 l 的垂线，垂足分别记为 M1，N1， 直线 l 交 x 轴于点 A，记AMM1，AMN，ANN1的面积分别为 S1，S2，S3，且 S224S1S3，证明：直线 MN 过定点。 解(1)设 P(x，y)，圆 P 的半径
8、为 R，则 Rx1 2，|PF|R 1 2，故|PF|x1， 所以点 P 到直线 x1 的距离与到点 F(1,0)的距离相等，即 x12y2x1，化简得 y24x。 故点 P 的轨迹 C 的方程为 y24x。 (2)证明：不妨设直线 MN：xmyt(m0，t0)， 联立，得 xmyt， y24x y24my4t0， 则16(m2t)0， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 y1y24m，y1y24t， S11 2 x11 2 |y1| S31 2 x21 2 |y2| 4S1S3 x11 2 x21 2 |y1y2| x1x2x1x2 2 1 4 |y1y2| y21y22 16 y
9、 2 1y22 8 1 4 |y1y2| 4t t216m 28t 8 1 4 t(2t1)28m2， S21 2 t1 2 |y1y2|S2 21 4 t1 2 2|y1y2|21 4 t1 2 216(m2t)(2t1)2(m2t)。 由 S224S1S3，得(2t1)2(m2t)t(2t1)28m2，化简为(2t1)28t， 所以(2t1)20，即 t1 2， 所以直线 MN 经过定点 1 2，0。 5已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 6 3 ，以椭圆 C 的短轴为直径的圆与直线 l：3x4y50 相切。 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)直线 yxm 交
10、椭圆 C 于 M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，且 x1x2，已知 l 上存在点 P，使得PMN 是以 PMN 为顶角的等腰直角三角形，若 P 在直线 MN 的右下方，求 m 的值。 解(1)依题意，b|005| 3242 1， 因为离心率 ec a a2b2 a 6 3 ， 所以 a21 a 6 3 ，解得 a 3， 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 3 y21。 (2)因为直线 yxm 的倾斜角为 45，且PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形，P 在直线 MN 的右下方，所以 NPx 轴， 如图，过 M 作 NP 的垂线，垂足为 Q，则 Q 为线段 NP 的中点， 所以 Q(x
11、1，y2)，故 P(2x1x2，y2)， 所以 3(2x1x2)4y250， 即 3(2x1x2)4(x2m)50， 整理得 6x1x24m50。 由 x23y23， yxm 得 4x26mx3m230。 所以36m248m2480，解得2m0， 则 x1x2 12k2 13k2，x 1x212k 26 13k2 ， 所以 y1y2k(x1x2)4k 12k3 13k24k 4k 13k2， 所以x1x2 2 6k2 13k2， y1y2 2 2k 13k2。 当 k0 时，|AB|2 6，|FN|2，所以|FN| |AB| 6 6 ； 当 k0 时，线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 2k 13k2 1 k x 6k2 13k2， 令 y0，得 x 4k2 13k2，所以 N 4k2 13k2，0， 所以|FN| 4k2 13k22|2k 21 13k2 ， 因为|AB| 1k2 x1x224x1x2 1k2 12k2 13k 2 2 412k 26 13k2 2 6k 21 13k2 ， 所以|FN| |AB| 2k21 13k2 2 6k21 13k2 6 6 。 综上所述，|FN| |AB|为定值 6 6 。
