1、空间中直线、平面的垂直关系空间中直线、平面的垂直关系教学设计教学设计 海南省海南中学李宁 一、教材内容解析一、教材内容解析 本节课的内容是探究空间直线与平面、平面与平面垂直的性质，选自人教 A 版教材2.3.3 直线与平面垂直的性质和2.3.4 平面与平面垂直的性质 。空间 中直线、平面的垂直关系是一种非常重要的的位置关系，它不仅应用广泛，而且 是空间问题平面化的典范。这类问题求解的关键是根据线面、面面之间的互化关 系，借助创设辅助线和面，找出符号语言和图形语言之间的关系。通过对有关概 念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想 象力和逻辑推理能力。 本节内容是学习
2、了线面垂直和面面垂直判定之后的进一步探究，进一步巩固 “观察模型直观感知操作确认推理证明拓展应用”定理学习模 式，培养学生空间概念，空间想象能力以及逻辑推理能力。 二、教学目标设置二、教学目标设置 根据本课教材的特点，新大纲对本节课的教学要求，结合学生身心发展的合 理需要，确定以下教学目标： （1）知识与技能目标：）知识与技能目标： 让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确 认识； 会证明性质定理，并能运用性质定理解决一些简单问题。 （2）过程与方法目标：）过程与方法目标： 通过“直观感知、操作确认，推理证明” ， 培养学生逻辑推理能力； 了解直线与平面、平面与平面垂直
3、的判定定理和性质定理间的相互联系， 掌握转化思想在解决问题中的运用； 通过类比空间中直线与平面的平行关系、平面与平面的平行关系的学习方 法来探究本节课中的垂直关系。 （3）情感态度与价值观目标：）情感态度与价值观目标： 让学生亲身经历数学研究的过程， 体验探索的乐趣， 增强学习数学的兴趣； 提高学生的合情推理能力和空间想象力， 培养学生的质疑思辨、 创新精神； 进一步体会几何中的公理化体系，提升学生的科学素养。 教学重点教学重点：学生经历“观察模型直观感知操作确认推理证明 拓展应用”定理学习过程，培养空间想象能力和逻辑推理能力，感悟数学中的 “转化”的思想，并能类比此方法用于其它数学命题的学习
4、，解决更多的生活中 的实际问题，所以性质定理的发现及证明是本节课的重点。 教学难点教学难点：性质定理往往由一个较难问题开端，即先由线面垂直转化为线性 平行，由面面垂直转化为线面垂直。在具体问题中，能识别到性质定理的应用条 件，并能正确运用定理解决问题是本节课的难点。 三、学生学情分析三、学生学情分析 学生已掌握了线线垂直、线面垂直及面面垂直的概念，判定定理，已具备了 对空间几何图形的一定的想象能力和一定的逻辑推理能力，但在数学语言的规范 使用和表述上还要加强，对综合运用线线、线面、面面垂直知识解决相关问题的 能力还需进一步提高。 学生已经学习了平行系统，已经了解定理学习的探究过程，具备了类比学
5、习 “平行”的过程来学习“垂直”的基础。由于年龄的原因，这个阶段的学生尽管 思维活跃，敏捷，却缺乏冷静，深刻，因而片面，不够严谨，需依赖一定的具体 形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。 四、教学策略分析四、教学策略分析 充分利用现实情景，尽可能增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课 件和实物模型等丰富学生的学习资源，生动活泼地展示图形，强调学生的动手操 作实验和主动参与。 学生已经经历了线面平行和面面平行的性质定理的学习，类比之前的学习过 程来探究本节课的内容。首先回顾之前的学习过程，明确“什么是图形的位置关 系的性质” ，类比“平行关系”的性质，采取“控制变量法” ，先固定好一个平面 和
6、与之垂直的直线，以教室为模型，拿特定直线或平面过来，探究在特定条件下 可能会出现什么结论，提出猜想，然后启发和引导学生感受猜想是否成立，对正 确猜想给出证明。不直接告诉学生直线与平面的性质定理，而是启发学生在给出 来的性质猜想中，寻找一个最恰当的结论来当性质定理，体会课本为什么选这个 结论当做定理，体会几何的公理化体系。在线面垂直的性质的猜想中，会遇到面 面垂直的情形，顺势引导学生探究面面垂直的性质。 五、教学过程五、教学过程 1. 复习回顾复习回顾 线面垂直的定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条 直线与这个平面垂直。 线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交
7、直线都垂直， 那么这条直线垂直于这个平面。 【设计意图】复习引入，明确线面垂直的定义及判定定理，顺势引出对线面 垂直性质的思考。 2. 探究线面垂直的性质探究线面垂直的性质 引导学生思考：线面垂直的判定定理解决了线面垂直的条件；反之，在直线 与平面垂直的条件下，能得到什么性质？ 探究思路： 采取 “控制变量法” ， 固定一个平面和与之垂直的直线， 探究在线线特定条件下的线面关系，在特定面面条件下的线线关系。 （以所在教室为实物模型， 固定好地面ABCD和一个墙角的直线DD， 只研究平行和垂直关系。 ） 据此，学生可以发现以下四组八个结论：在直线a和平面垂直的前提下， 1若a b，则b； 2若b
8、，则a b； 3若ab，则b； 4若b，则ab； 5若，则a； 6若a，则； 7若a，则； 8若，则a。 首先引导学生根据线面垂直的条件和之前学习的平行性质来证明猜想 。在剩下的猜想中，先根据实物模型，直观感受其正确性，然后如果选一 个来当线面垂直的性质定理的话，应该选哪一个？引导学生去发现为性质定 理。首先证明的正确性，然后用的结论去证明其他结论。 对性质定理的证明，要放到空间中思考，两条直线可能会有异面的情形， 考虑问题要全面。引导采取反证法证明。 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号语言：/ / a ab b 。 简述：线面垂直线线平行。 证明：假设b与a不平行，过b
9、垂足 O 怍直线ba，则,b b共面，该平面 与平面交线为c。由于,b b均与平面垂直，则,b b均与直线c垂直，即在一 个平面中，过直线c上一点可怍两条垂线，这是不可能的，因此/ /ab。 思考题：若,ba ca，能否得到b c，怎么样才能使得b c？ （对于第条猜想，可在b上取一点，向面怍垂线，连接两个垂足，则两条 垂线平行，则b和垂足连线共面，可证明b。 ） 明确了线面垂直的性质定理后，用其证明和。第条涉及到面面垂直的 条件，从而引出对面面垂直性质的探究。 【设计意图】采取“控制变量法” ，以教室所在长方体为实物模型，探究线面 垂直的性质。遵循“观察模型直观感知操作确认推理证明”的过程
10、来探究。首先从整体上提出各种可能的猜想，这里只研究平行和垂直关系，然后 根据实物感受其正确性，再想办法对猜想进行证明。猜想虽然比较多，要引导学 生由平行的相关结论结合已知条件来证明已知条件的平行关系的猜想，明确这些 都是之前学过内容的推论。对剩下的四个猜想，选取简单而又具有应用价值的猜 想进行证明，定为性质定理，想法推出其他结论，感受公理化体系。思考题“若 ,ba ca，能否得到b c”学生易错，要加以引导。 3. 探究面面垂直的性质探究面面垂直的性质 首先回顾面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直。 面面垂直判定定理： 如果一个平面经过另一个平
11、面的 垂线，则这两个平面垂直。 实验观察探究： 观察两个垂直平面，一个平面中的直 线与另一个平面有什么位置关系？如何找出垂直于另一 个平面的直线？ 归纳出面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直。 符号语言：若,l bbl ，则b。 简述：面面垂直线面垂直。 证明：设blO，在平面中过点O怍直线c与l垂直，则由面面垂直的定 义，bc。又bl，且bcO，于是b。 （结合面面垂直的性质定理可证明猜想） 【设计意图】同样是遵循“观察模型直观感知操作确认推理证 明”的过程来探究面面垂直的性质定理。 4. 性质定理的应用性质定理的应用 , , ll ：对于三个平面
12、如果，那么直线 与平面 的位 思考 置关系如何？ 思路一： 在平面, 中分别怍直线, n m与相应交线 垂直，则, a b均与平面垂直，由面面垂直的性质定理， 得a b，于是b。又,bl ，由线面平行性 质定理，得b l，于是l。 思路二：在平面内取一点 A，分别向面面交线引垂线 , a b，则由面面垂直性质定理，得a，b，于是l与直 线, a b均垂直，且直线, a b相交，故直线l。 = ,.l CAACBBaaABa l：如图,已知于点 ，于点 ，求证：练习 【设计意图】巩固本节课学习的性质定理，引导学生识别性质定理的应用前 提，能在具体情境下正确运用性质定理。 5. 课堂小结课堂小结 CA, , aCAa aAB ABCAA aABC 证明： 面 , , ABC CACBl lCA lCBCACBC l 面 /a l 由线面垂直的性质定理得 直线和平面垂直的性质定理：,/ /abab。 平面和平面垂直的性质定理： ,CDABABCD，AB。 思想方法：类比思想，转化思想 作业：可扫描右侧二维码下载。 6. 板书设计板书设计
