1、课题：课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课）一元二次函数、方程和不等式（衔接课） 华中师范大学第一附属中学华中师范大学第一附属中学陈开懋陈开懋 一一、教学设计教学设计 1.1.教学内容解析教学内容解析 在现行人民教育出版社 A 版高中数学教材中， “一元二次不等式的解法”这一部分内容 安排在必修 5的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习必修 1的 “集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不 连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到必修 1之前，或是安排在必修 1 的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它
2、并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知 课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等 式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处 理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习， 为高中数学课程的学习作学习心理、 学习方式和知识技能等方面的准备， 帮助学生完成初高 中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式） 在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多 问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，
3、解析几何中解决直线与二次曲线位置关 系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程 思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主 要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为 教学重点：教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.2.学生学情诊断学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生， 华中师大一附中是湖北省示范高 中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的 一元二次不等式的解法， 能利用函数图象解决简单
4、的方程和不等式问题. 但是， 当所研究的 问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不 能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总 结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转 化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.3.教学目标设置教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系； (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及
5、数 学知识之间的关联性； (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题 的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.4.教学策略分析教学策略分析 2 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二 不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆 锥曲线等核心概念必然联系的高度，着眼于继续学习，而又必须遵循数学的自然顺序，避免 后继内容的前移。 这种课的关键是整合和提升， 形成基本套路并了解它在进一步学习中的基本价值。 这些 都需要问题驱动，循序渐进，在师生互动中不断地
6、归纳总结。 教学流程：教学流程： 5教学过程教学过程 环节一：回顾环节一：回顾 师：同学们，我们初中学过一元一次不等式，同学们说说这个不等式023x的解集 是多少啊？ 生： 3 2 x. 师：诶，怎么算出来的啊？哪位同学来说说？ 生：把2移到右边去，再不等式左右两边同时除以 3. 师：你的解题依据是什么呢？ 生：不等式的性质. 师：很好，请坐，这位同学利用不等式的性质，从代数的角度把这个不等式解出来了， 还有其它的解法吗？ 生：可以先画出一次函数的图象，从图象可以看出不等式的解集. 师：好，我们先画图象，怎么画这个函数的图象？ 生：找两个点. 师：找那两个点比较好？ 生：与坐标轴的交点. 师：
7、与x轴的交点是多少? 生：)0 , 3 2 (. 师：这 3 2 是怎么出来的啊？ 生：令0y. 即023x，这个方程的根. 师：很好，与x轴的交点的横坐标恰好是对应一次方程的根. 与y轴的交点是多少？ 生：令0 x. 得2y，交点)2, 0( . 师：所以这个不等式的解集就是？ 生： 3 2 x，即图象在x轴上方时所对应的x的范围. 师：很好，请坐，由此可以看出一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的 联系，谁来概括一下？ 生：一次方程的根就是一次函数图象与x轴交点的横坐标（即一次函数的零点）， 一次不等式的解集就是一次函数图象在x轴上方时所对应的x的范围， 一次方程的根也是一次不等
8、式解集的端点 师：同学们再想一想，这三者之间为什么会有关系呢？ 生： 师：我们从代数表达式来看一看， 一次方程、一次不等式和一次函数，这个三个表达 式有什么共同点？，都含有一次式，对吧，所以它们之间有关系. 回顾整合提升展望 3 【评析】【评析】回顾初中知识，利用一次函数的图象理解一次方程和一次不等式. 由三个“一 次”，类比引出课题，并为三个“二次”的研究提供思路. 环节二：整合环节二：整合 师：很好，一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的关系. 我们再来看一 下一元二次函数)0( 2 acbxaxy，一元二次方程)0(0 2 acbxax、一元 二次不等式)0(0 2 acbxa
9、x，)0(0 2 acbxax. 师：从它们表达式来看，好像也有相同的部分，是什么呀？，二次多项式，对吧？ 那么这三个二次之间是否也有类似三个一次之间的关系呢？这就是我们这节课要研究的内 容，首先请同学们画画这个二次函数的图象. （板书课题） 画出二次函数32 2 xxy的图象. 观看几何画板动画， 随着动点 C 横坐标 x 的变化， 纵坐标 y 的变化情况. （1） 当x取哪些值时，0y？（2）方程032 2 xx 的根为； 当x取哪些值时，0y？不等式032 2 xx 的解集为； 当x取哪些值时，0y？不等式 032 2 xx 的解集为. 问题问题 2：一元二次方程032 2 xx，一元二
10、次不等式032 2 xx和一元二次函 数32 2 xxy，三者之间有什么关系？ 动画展示：动画展示： 画一画画一画 看一看看一看 说一说说一说 4 问题问题 3：对于一般的一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数，三者之间有什么 关系？ 小组合作探究：小组合作探究： 师：二次函数、方程和不等式三者之间有着密切的联系，函数是核心，图象是载体，可 以通过函数的观点来处理方程和不等式问题. 【评析【评析】以具体的常系数的二次函数、方程、不等式为例，让学生通过类比三个“一次” ， 理解三个“二次”之间的内在联系，突出二次函数在“三个二次”中的中心地位。并对一般 情形的二次函数、方程和不等式之间的关系
11、进行整合，培养学生的数学抽象、几何直观、逻 辑推理等核心数学素养，具体策略是问题驱动，在教学中，鼓励学生自主探索、合作研究. 师：好，对于一个具体的一元二次不等式，我们会求解集，如果反过来，已知不等式 的解集，你会求这个不等式吗？同学们思考这样的一个问题： 【例例 1 1】已知关于x的不等式 0 2 cbxx 的解集为)3 , 1(，求实数cb,的值. 【评析】【评析】逆向变式，强化一元二次函数、方程和不等式的内在联系. 变一变变一变 一元二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 图象 5 生 1： 依题意，3, 1是对应一元二次方程 0 2 cbxx 的两根， 将1x和3x代 入方程得， 03
12、3 0) 1() 1( 2 2 cb cb ，即 093 01 cb cb ， 解得 3 2 c b . 生生 2：依题意，3, 1是对应一元二次方程0 2 cbxx的两根， 由韦达定理有 c b 31 31 ，解得 3 2 c b . 师：很好，请坐. 根据三个“二次”之间的关系，不等式的解集就是函数图象在x轴下 方时，所对应的x的取值范围，所以3, 1正好是图象与x轴交点的横坐标，也就是方程 0 2 cbxx 的两个根，从而根据韦达定理，可以求出cb,的值. （画图分析） 环节三：提升环节三：提升 辩证唯物主义告诉我们，任何事物都是运动、变化、发展的，当我们将方程和不等式中 常系数改为字母
13、时, 随着字母取值的不同，方程的根和不等式的解会发生相应的变化，这类 方程和不等式称为含参方程和含参不等式，下面我们一起来研究两个含参问题. 师：我们再把前面那个具体的方程变一下，系数上加一个参数，同学们思考这样的一 个问题： 【例【例 2】已知关于x的方程 032 2 axx ，一根小于1，另一根大 于1，求实数a的取值范围. 【评析】【评析】含参二次方程问题，继续对二次方程和二次函数进行整合 提升，用函数的观点来处理方程问题. 生 1：设32)( 2 axxxf，则0) 1 (f，解之得2a. 师：有不同意见吗？ 生 2：不对，应该还要0. 师：诶，生 2 好像说得很有道理呢？还有其它观点
14、吗？ 生 3：我觉得生 1 是对的，因为0的作用是控制图象与x轴有两个交点，而这是开 口向上的抛物线，0) 1 (f也能保证与x轴有两个交点. 师，同学们同意哪位同学的说法？ 生：曾子轩. 师：很好，题目要求这个方程的两根，一个小于1，一个大于1，根据函数与方程的关 系，方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标，我们可以通过控制二次函数的图象来控制 方程的根，也就是要保证函数图象与x轴的交点，一个在 1 的左侧，一个在 1 的右侧. 只需 要0) 1 (f，就可以控制住这个二次函数的图象了，当然如果把0加进去，可不可以？ 也是可以的. 我们从代数的角度来检验一下，看两种解法的答案是否一样？ 法
15、1：202-4) 1 (aaf 法 2：2 330124 202-4) 1 ( 2 a aaa aaf 或 . 师：这是一个方程问题，我们可以根据函数与方程的关系将它转化为函数问题来处理. 师：我们再把前面那个具体的不等式也变一下，系数上加一个参数，同学们思考这样的 一个问题： 【例【例 3】若不等式 032 2 axx 对任意3 , 1x恒成立，求实数a的取值范围. 【评析【评析】含参二次不等式问题，继续对二次不等式和二次函数进行整合提升，用函数的 观点来处理不等式问题. 组内学生相互讨论，分析解题思路，再让学生先分析. 学生分析：只需二次函数32)( 2 axxxf，在3 , 1x这一段的
16、图象位于x轴上 方，应分三种情况讨论，当对称轴在区间的左边、中间和右边. 师：非常不错啊，刘钰欣同学将这个不等式问题等价转化为函数图象问题，只需要函数 图象在3 , 1x这一段的图象位于x轴上方即可. 如何保证图象在x轴上方呢？ 0 y 1 x 6 我们边看动画一起来分析. 动画展示：动画展示：随着a的取值变化，函数图象与x轴的位置关系. 师：当对称轴在区间的左边时，怎么样就能保证图象在x轴上方？ 生：只需要0) 1(f， 师：很好，因为当对称轴在区间的左边时，函数在3 , 1x这一段的图象是上升的， 即y随着x的增大而增大，只需要最小值0) 1(f即可. 师：当对称轴在区间的里面时，怎么样就
17、能保证图象在x轴上方？ 生：0. 师：还可以通过什么来控制？ 生：0)(af. 师：就是函数的最小值大于零即可. 师：再来看，当对称轴在区间的右边时，怎么样就能保证图象在x轴上方？ 生：只需要0)3(f， 师：很好，因为当对称轴在区间的右边时，函数在3 , 1x这一段的图象是下降的， 即y随着x的增大而减小，只需要最小值0)3(f即可. 下面同学们把具体的解答过程写出来，找一个同学上黑板完成具体过程： 生：记32)( 2 axxxf，这个函数的对称轴为 ax ，则 当 1a 时， 只需要024) 1(af， 解得2a, 又1a， 所以12a； 当31a时，只需要 0124 2 a ，解得 33
18、a ，又31a， 所以 31a ； 当 3a 时，只需要0612)3(af，解得2a,与3a矛盾. 综上： 32a . 师：找个同学来点评一下. 生：答案正确，但解题过程有点不对，没有讨论1a和3a的情况. 师：很好，这两种情况，可以加在哪里比较好. 生：加在中间. 师：很好，对于含参问题，我们除了要选择恰当的分类讨论标准之外，还应该注意分类 讨论还应做到不重不漏. 师：好，这是一个不等式问题，我们仍然将它转化为一个函数问题来处理. 环节四：展望环节四：展望 师：同学们，今天莅临我们课堂的还有一位神秘嘉宾，大家想不想见一下？ 生：想. 师：掌声有请. 嘉宾：学弟，学妹们好，首先自我介绍一下，我
19、是现在高三（15）班的刘今欣同学，很 高兴走进学弟学妹们的课堂，和大家一起交流、学习. 嘉宾：大家都知道一元二次函数是中考的压轴题，那么，我们今天学习的二次函数、二 7 次方程和二次不等式在以后的高中学习中有什么作用呢？课前，陈老师给我布置了一个任 务，让我归纳整理一下. 二次函数、二次方程和二次不等式在高中数学其它领域的应用. 其 实三个“二次”及其相关问题的处理方法广泛应用于高中数学的各大核心模块：如数列、三 角函数、立体几何、解析几何、导数等. 下面重点以三个“二次”在解析几何中的应用为例，让同学们对三个“二次”在以后学 习中的地位和作用有所了解. 【案例 1】直线1: kxyl与双曲线
20、12 22 yxC：的右支交于不同的两点BA、， 求实数k的取值范围. 解：解：联立方程 22 1 21 ykx xy ，消去y，得到x的一元二次方程 . 022)2( 22 kxxk 直线l与双曲线 C 的右支交于不同两点，等价于方程有两个不相等的正实数根. 即对应二次函数图象与x轴有两个交点，且交点在y轴右侧. 我们可以通过以下几个条件控 制二次函数的图象. 2 22 2 2 20, (2 )8(2)0, 2 0 2 2 0. 2 k kk k k k 解得k的取值范围是22k 【案例 2】（2016 年江苏高考第 19 题）试题和答案如下： 已知函数 0,0,1,1 xx f xabab
21、ab 设2a ， 1 2 b 求方程 2f x 的根； 若对于任意xR，不等式 26fxmf x 恒成立，求实数m的最大值； 略 解： 1 2 2 x x f x ，由 2f x 可得 1 22 2 x x ， 8 则 2 22210 xx ，即 2 210 x ，则2 1 x ，0 x ； 由题意得 2 2 11 226 22 xx xx m 恒成立， 令 1 2 2 x x t ，则由2 0 x 可得 1 2 22 2 x x t， 原问题等价于不等式 2 +4tmt0，对任意的t在 ), 2 上恒成立， 记 2 ( )+4f ttmt， 当对称轴0 2 m ，即0m时，显然成立； 当对称
22、轴2 2 0 m ，即40 m时，只需 (2)820fm ，即40 m； 当对称轴2 2 m ，即4m时，只需 2 16044mm ，与4m矛盾； 综上，40 m，所以实数m的最大值为4 【案例 3】（2016 年全国卷文科高考第 11 题）试题和答案如下： 函数 ( )cos26cos() 2 f xxx的最大值为 （A）4（B）5（C）6（D）7 解：因为 2 311 ( )2(sin) 22 f xx ，而sin 1,1x ，所以当sin1x 时，取最大值 5， 以上是最终可以转化为二次函数、 二次方程和二次不等式的题目， 其实还有更多的考题 是考其他类型的方程、不等式问题，也可以用函数
23、的观点，数形结合的思想来处理，如 【案例 4】（2016 年山东卷文理高考第 15 题，填空压轴）试题和答案如下： 已 知 函 数)(xf 2 , 24 , x xm xmxm xm 其 中 0m若存在实数b，使得关于x的方程bxf)(有三个不 同的根，则m的取值范围是_ 解：画出函数图像如下图所示： 由图所示，要 f xb有三个不同的根，需要红色部分 图像在深蓝色图像的下方，即 22 24 ,30mmm mm mm，解得3m 时间关系，我暂时只讲这么多，欢迎同学们以后常来找我交流，预祝学弟学妹们早日适 应华师一的学习. 也预祝大家在这个顶尖中学度过愉快而又成功的三年高中生活！ 【评析【评析】
24、结课：从高中数学的核心问题中回望基础，让学生加深对三个“二次”作用的 理解，并试图产生对进一步学习的期待. 师：很好，谢谢这位学长. 高中数学中的许多问题，都与三个“二次”直接有关或间接 有关. 二次函数、二次方程和二次不等式的研究方法为研究其它函数、方程和不等式提供了 套路. 以后，对于其它类型的方程和不等式问题，我们仍然可以用函数的观点来处理. 师：这里其实还蕴含着一种重要的数学思想方法，同学们说说，是什么？ 生：数形结合， 师：著名数学家华罗庚专为数形结合思想写了一首诗，我们一起来朗诵一下. 9 二、教学反思 本课力图尝试在解决问题的过程中，让学生经过自主探究、合作学习和教师动态演示，
25、完成知识的回顾、整合、提升、展望通过教学实践，认识到多一点精心预设，就能融一份 动态生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”，注意到由“给出知识”转向“引起活 动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展” 可取之处可取之处：教学设计打破常规，不走寻常路，利用问题驱动完成本节课的教学目标，突 出了以生为本，探索了衔接课的一种新模式 改进之处改进之处：本课在基本运算，用直观支持运算，以及通过展示未来课题让学生感悟运算 价值等，都做了力所能及的工作. 但如何真正驱动学生在运算方面自觉探索、自觉积累、自 觉训练，如何提高学生的运算素养，还有待于教学的创新. 数缺形时少直观数缺形时少直观， 形少数时难入微形少数时难入微； 数形结合百般好数形结合百般好， 隔离分家万事非隔离分家万事非。
