1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 3.2.1单调性与最大(小)值 第第2课时课时函数的最大函数的最大(小小)值值 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.借助函数的图象借助函数的图象,会用符号语言表达函数的最会用符号语言表达函数的最 大值、最小值大值、最小值. 2.理解函数的最大理解函数的最大(小小)值的作用和实际意义值的作用和实际意义. 3.会根据问题的实际意义会根据问题的实际意义,求函数的最大求函数的最大(小小)值值. 4.发展直观想象、数学抽象和逻辑推理素养发展直观想象、数学抽象和逻辑推理素养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作
2、合作探究探究释疑释疑解惑解惑 思思 想想 方方 法法 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 函数的最大值、最小值函数的最大值、最小值 【问题思考】【问题思考】 1.观察下面两个函数的图象观察下面两个函数的图象,回答下列问题回答下列问题: (1)比较两个函数的图象比较两个函数的图象,它们是否都有最高点它们是否都有最高点? (2)通过观察图通过观察图你能发现什么你能发现什么? ？ 提示提示:(1)题图题图中函数中函数y=-x2的图象上有一个最高点的图象上有一个最高点; 题图题图中函数中函数y=-x的图象上没有最高点的图象上没有最高点. (2)对任意对任意xR,都有都有f
3、(x)f(0). ？ 提示提示:(1)题图题图中函数中函数y=x2的图象有一个最低点的图象有一个最低点. 题图题图中函数中函数y=x的图象没有最低点的图象没有最低点. (2)对任意对任意xR,都有都有f(x)f(0). 2.观察下面两个函数的图象观察下面两个函数的图象,回答下列问题回答下列问题. (1)比较两个函数的图象比较两个函数的图象,它们是否都有最低点它们是否都有最低点? (2)通过观察图通过观察图你能发现什么你能发现什么? ？ 3. ？ 4.做一做做一做:已知函数已知函数f(x)在区间在区间-2,2上的图象如图所示上的图象如图所示,则该则该 函数的最小值、最大值分别是函数的最小值、最大
4、值分别是() A.f(-2),0B.0,2 C.f(-2),2D.f(2),2 解析解析:由题图可知由题图可知,该函数的最小值为该函数的最小值为f(-2),最大值为最大值为f(1)=2. 答案答案:C ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)任何函数都有最大任何函数都有最大(小小)值值.( ) (2)函数函数f(x)在区间在区间a,b上的最值一定是上的最值一定是f(a)或或f(b).( ) (3)若对任意若对任意xI,都有都有f(x)M,则则M是函数是函数f(x)的最大值的最大值
5、.( ) (4)如果一个函数如果一个函数f(x)在区间在区间a,b上单调递减上单调递减,那么函数在区间那么函数在区间 a,b上的最大值是上的最大值是f(a).( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 利用利用函数的图象求函数的最值函数的图象求函数的最值 【例【例1】 作出函数作出函数y=|x-2|(x+1)的图象的图象,说明函数的单调性说明函数的单调性,并并 判断其是否存在最大值和最小值判断其是否存在最大值和最小值. 分析分析:去绝对值去绝对值分段函数分段函数作图作图识图识图结论结论 ？ ？ 反思感悟反思感悟 图象图象法求最值的法求最值的步骤步骤 ？ (1)如图所示如图所
6、示,在给定的平面直角坐标系内作出在给定的平面直角坐标系内作出f(x)的图象的图象; (2)由图象指出当由图象指出当x取什么值时取什么值时f(x)有最值有最值. ？ 解解:(1)由题意知由题意知,当当x-1,2时时,f(x)=-x2+3,为二次函数的一部为二次函数的一部 分分;当当x(2,5时时,f(x)=x-3,为一次函数的一部分为一次函数的一部分. 故函数故函数f(x)的图象如图所示的图象如图所示: (2)由图象可知由图象可知,当当x=0时时,f(x)有最大值有最大值3; 当当x=2时时,f(x)有最小值有最小值-1. ？ 探究探究二二 利用利用函数的单调性求函数的最值函数的单调性求函数的最
7、值 【例【例2】 已知函数已知函数 (1)判断判断f(x)在区间在区间1,2上的单调性上的单调性; (2)根据根据f(x)的单调性求出的单调性求出f(x)在区间在区间1,2上的最值上的最值. 分析分析:(1)证明单调性的流程证明单调性的流程:取值取值作差作差变形变形判断符号判断符号 结论结论; (2)借助函数的最值与单调性的关系借助函数的最值与单调性的关系,写出函数的最值写出函数的最值. ？ 解解:(1)设设x1,x2是区间是区间1,2上的任意两个实数上的任意两个实数,且且x1x2, x1x2,x1-x20. 1x10,1x1x24, 即即x1x2-4f(x2),即即f(x)在区间在区间1,2
8、上单调递减上单调递减. (2)由由(1)知知f(x)的最小值为的最小值为f(2), ;f(x)的最大值为的最大值为 f(1),f(1)=1+4=5, 故故f(x)在区间在区间1,2上的最小值为上的最小值为4,最大值为最大值为5. ？ 本例已知条件不变本例已知条件不变,判断判断f(x)在区间在区间1,3上的单调性上的单调性,并求并求f(x) 在区间在区间1,3上的最值上的最值. 解解:任取任取x1,x21,3,且且x1x2,由本例由本例 当当1x1f(x2),f(x)在区间在区间1,2上单调递减上单调递减; 当当2x10,4x1x20,故故f(x1)f(x2),即即 f(x)在区间在区间(2,3
9、上单调递增上单调递增. ？ ？ 反思感悟反思感悟 1.利用函数的单调性求函数最值的一般步骤利用函数的单调性求函数最值的一般步骤: (1)判断函数的单调性判断函数的单调性; (2)利用函数的单调性写出函数的最值利用函数的单调性写出函数的最值. ？ 2.函数的最值与单调性的关系函数的最值与单调性的关系: (1)若函数若函数f(x)在区间在区间a,b上单调递增上单调递增(减减),则则f(x)在区间在区间a,b上上 的最小的最小(大大)值是值是f(a),最大最大(小小)值是值是f(b). (2)若函数若函数f(x)在区间在区间a,b上单调递增上单调递增(减减),在区间在区间(b,c上单调上单调 递减递
10、减(增增),则则f(x)在区间在区间a,c上的最大上的最大(小小)值是值是f(b),最小最小(大大)值值 是是f(a)与与f(c)中较小中较小(大大)的一个的一个. (3)若函数若函数f(x)在区间在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线上的图象是一条连续不断的曲线,则则 函数函数f(x)在区间在区间a,b上一定有最值上一定有最值. (4)求最值时一定要注意所给区间的开闭求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间若是开区间,则不一则不一 定有最大定有最大(小小)值值. ？ 探究探究三三 与与函数的最值有关的应用问题函数的最值有关的应用问题 (1)设该商品的日销售额为设该商品的日销售额为y元元
11、,请写出请写出y关于关于t的函数解析式的函数解析式. (2)求该商品的日销售额的最大值求该商品的日销售额的最大值,并指出哪一天的销售额最并指出哪一天的销售额最 大大. 分析分析:读题读题提取信息提取信息建模建模解模解模解决实际问题解决实际问题 ？ 解解:(1)当当t25,tN*时时,y=(t+20)(-t+40)=-t2+20t+800; 当当25t30,tN*时时,y=45(-t+40)=-45t+1 800. (2)当当0t25,tN*时时,y=-t2+20t+800=-(t-10)2+900,故当故当t=10 时时,y有最大值有最大值900; 当当25t30,tN*时时,y=-45t+1
12、 800单调递减单调递减,即当即当t=25时时,y有有 最大值最大值675. 故所求日销售额的最大值为故所求日销售额的最大值为900元元,11月月10日日销售额最大日日销售额最大. ？ 反思感悟反思感悟 解函数应用题的一般步骤是解函数应用题的一般步骤是 (1)审题审题.弄清题意弄清题意,分清条件和结论分清条件和结论,理顺数量关系理顺数量关系. (2)建模建模.将文字语言转化成数学语言将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的用数学知识建立相应的 数学模型数学模型. (3)解模解模.求解数学模型求解数学模型,得到数学结论得到数学结论. (4)还原还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的答
13、案将用数学方法得到的结论还原为实际问题的答案. (5)反思回顾反思回顾.对于数学模型得到的解对于数学模型得到的解,必须验证这个解对实际必须验证这个解对实际 问题的合理性问题的合理性. ？ 【变式训练【变式训练2】 某租赁公司拥有汽车某租赁公司拥有汽车100辆辆,当每辆车的月租当每辆车的月租 金为金为3 000元时元时,可全部租出可全部租出,每辆车的月租金每增加每辆车的月租金每增加50元元,未租未租 出的车将会增加一辆出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费租出的车每辆每月需要维护费150元元,未未 租出的车每辆每月需要维护费租出的车每辆每月需要维护费50元元. (1)当每辆车的月租金为当
14、每辆车的月租金为3 600元时元时,能租出多少辆能租出多少辆? (2)当每辆车的月租金为多少元时当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大租赁公司的月收益最大?最最 大月收益是多少大月收益是多少? ？ ？ 思思 想想 方方 法法 ？ 利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值 【典例】【典例】 求函数求函数y=x2-2ax-1在区间在区间0,2上的最值上的最值. 审题视角审题视角:对称轴方程对称轴方程x=a与定区间与定区间0,2的相对位置关系的相对位置关系 结合函数的单调性与图象求解结合函数的单调性与图象求解 解解:y=(x-a)2-1-
15、a2. 当当a0时时,区间区间0,2是函数的单调递增区间是函数的单调递增区间, 如如图图. 故函数在故函数在x=0处取得最小值处取得最小值-1, 在在x=2处取得最大值处取得最大值3-4a. ？ 当当0a1时时,结合函数图象结合函数图象(如图如图)知知, 函数在函数在x=a处取得最小值处取得最小值-a2-1, 在在x=2处取得最大值处取得最大值3-4a. 当当12时时,区间区间0,2是函数的单调递减区间是函数的单调递减区间,如图如图. 函数在函数在x=0处取得最大值处取得最大值-1, 在在x=2处取得最小值处取得最小值3-4a. 综上综上,当当a0时时,函数在区间函数在区间0,2上上 的的最小
16、值为最小值为-1,最大值为最大值为3-4a; 当当0a1时时,函数在区间函数在区间0,2上上 的的最小值为最小值为-a2-1,最大值为最大值为3-4a; 当当12时时,函数在区间函数在区间0,2上的最小值为上的最小值为3-4a,最大值为最大值为-1. ？ 方法点睛方法点睛 1.探求二次函数在给定区间上的最值问题探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出一般要先作出 y=f(x)的草图的草图,再根据图象的单调性进行研究再根据图象的单调性进行研究.特别要注意二次特别要注意二次 函数图象的对称轴与所给区间的位置关系函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函它是求解二次函 数在已知区间
17、上最值问题的主要依据数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称二次函数图象的对称 轴与所给区间的位置关系通常有三种轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间对称轴在所给区间 的右侧的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内对称轴在所给区间内. ？ 2.二次函数二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间在区间m,n上的最值可作如上的最值可作如 下讨论下讨论. ？ ？ ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.函数函数y=|x+1|+2的最小值是的最小值是() A.0B.-1 解析解析:y=|x+1|+2的图象如图所示的图象如图所
18、示. 由图可知函数的最小值为由图可知函数的最小值为2. 答案答案:C ？ 2.函数函数y=x2-2x(x0,3)的值域为的值域为() A.0,3B.-1,0 C.-1,+)D.-1,3 解析解析:函数函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x0,3, 当当x=1时时,函数函数y取得最小值为取得最小值为-1; 当当x=3时时,函数取得最大值为函数取得最大值为3,故函数的值域为故函数的值域为-1,3,故选故选D. 答案答案:D ？ 3.若函数若函数y=ax+1(a0)在区间在区间1,3上的最大值为上的最大值为4,则则a= . 解析解析:因为因为a0,所以函数所以函数y=ax+1在区间在区间1,3上单调递增上单调递增,因此因此 3a+1=4,解得解得a=1. 答案答案:1 ？ 解析解析:当当x1,2时时,f(x)单调递增单调递增,其最大值为其最大值为f(2)=10;当当x- 4,1时时,f(x)单调递减单调递减,其最大值为其最大值为f(-4)=11.故函数故函数f(x)的最大值的最大值 为为11. 答案答案:11
