1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 第第2课时课时一元二次不等式的实际应用一元二次不等式的实际应用 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的 过程过程,了解一元二次不等式的现实意义了解一元二次不等式的现实意义. 2.会建立实际情境中的一元二次不等式模型会建立实际情境中的一元二次不等式模型,并并 会利用此模型解决实际问题会利用此模型解决实际问题. 3.理解一元二次不等式的解集是实数集和空集理解一元二次不等式的
2、解集是实数集和空集 的含义的含义. 4.提升数学提升数学建模建模和和数学数学运算素养运算素养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一元二次不等式的解集是一元二次不等式的解集是R或或 的含义的含义 【问题思考】【问题思考】 1.解决一元二次不等式的解集是解决一元二次不等式的解集是R或或 的问题的问题,可以借助二次可以借助二次 函数的图象求解函数的图象求解,请把下列结论补充完整请把下列结论补充完整: ？ ？ 2.做一做做一做:(1)已知不等式已知不等式ax2+bx+c0(a0
3、)的解集为的解集为 ,则则() A.a0B.a0,0D.a0,0的解集为的解集为R,则实数则实数a的取值范的取值范 围是围是. 解析解析:(1)因为不等式因为不等式ax2+bx+c0(a0)的解集为的解集为 ,所以二次函所以二次函 数数y=ax2+bx+c的图象全在的图象全在x轴上方轴上方,即即a0,0. (2)由题意知由题意知,=a2+4a0,解得解得-4a0. 答案答案:(1)D(2)-4a0的解集是的解集是x|xx2,则方程则方程 ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1和和x2.( ) (2)不等式不等式ax2+bx+c0在在R上恒成立的条件是上恒成立的条件是a0,且且=b2- 4
4、ac0.( ) (3)若二次函数若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下的图象开口向下,则不等式则不等式 ax2+bx+c0的解集为的解集为 ,得出方程得出方程 ax2+bx+2=0的的实根实根,再由根与系数的关系求出再由根与系数的关系求出a,b的值并得出的值并得出 2x2+bx+a0)的解集的解集,求解其求解其 他不等式的解集时他不等式的解集时,一般遵循一般遵循: (1)根据解来判断二次项系数的符号根据解来判断二次项系数的符号; (2)根据根与系数的关系把根据根与系数的关系把b,c用用a表示出来并代入所要解的不表示出来并代入所要解的不 等式等式; (3)约去约去a,将不等式化为具体的一元
5、二次不等式求解将不等式化为具体的一元二次不等式求解. ？ 【变式训练【变式训练1】 已知不等式已知不等式x2-2x-30的解集为的解集为A,x2+x-60的的 解集为解集为B,x2+ax+b0的解集为的解集为C,若若C=AB,求求a,b的值的值. 解解:x2-2x-30的解集的解集A为为x|-1x3, x2+x-60的解集的解集B为为x|-3x2. C=AB, 集合集合C=x|-1x2, x1=-1,x2=2是方程是方程x2+ax+b=0的两根的两根, a=-1,b=-2. ？ 探究探究二二 一一元二次不等式的恒成立问题元二次不等式的恒成立问题 【例【例2】 若不等式若不等式(m+1)x2-(
6、m-1)x+3(m-1)0对任意实数对任意实数x恒恒 成立成立,求实数求实数m的取值范围的取值范围. 解解:由题意可知当由题意可知当m+1=0,即即m=-1时时,原不等式可化为原不等式可化为2x-60, 解得解得x3,不符合题意不符合题意,应舍去应舍去. 当当m+10时时,由由(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)0对任意实数对任意实数x恒成立恒成立, ？ 反思感悟反思感悟 1.本题中二次项系数不确定本题中二次项系数不确定,应分二次项系数等于零和不等于应分二次项系数等于零和不等于 零两种情况讨论零两种情况讨论. 2.一元二次不等式恒成立问题的常见类型一元二次不等式恒成立问题的常见类型: 设
7、设y=ax2+bx+c(a0). ？ 答案答案:D ？ 探究探究三三 一一元二次不等式的实际应用元二次不等式的实际应用 【例【例3】 某摩托车生产企业某摩托车生产企业,上年度生产车辆投入成本为上年度生产车辆投入成本为1万万 元元/辆辆,出厂价为出厂价为1.2万元万元/辆辆,年销售量为年销售量为1 000辆辆.本年度为适应本年度为适应 市场需要市场需要,计划提高产品档次计划提高产品档次,适度增加投入成本适度增加投入成本.若每辆车投若每辆车投 入成本增加的百分比为入成本增加的百分比为x(0 x1),则出厂价相应提高的百分则出厂价相应提高的百分 比为比为0.75x,同时预计年销量增加的百分比为同时预
8、计年销量增加的百分比为0.6x,已知年利润已知年利润 =(出厂价出厂价-投入成本投入成本)年销售量年销售量. ？ (1)写出本年度预计的年利润写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的百分比与投入成本增加的百分比x之之 间的关系式间的关系式; (2)为使本年度的利润比上年度有所增加为使本年度的利润比上年度有所增加,则投入成本增加的则投入成本增加的 百分比百分比x应在什么范围内应在什么范围内? 解解:(1)每辆车投入成本增加的百分比为每辆车投入成本增加的百分比为x,则每辆车投入成本则每辆车投入成本 为为1(1+x)万元万元,出厂价为出厂价为1.2(1+0.75x)万元万元,年销量年销量为为 1 0
9、00(1+0.6x)辆辆. 故故y=1.2(1+0.75x)-1(1+x)1 000(1+0.6x), 即即y=-60 x2+20 x+200(0 x1). ？ ？ 反思感悟反思感悟 1.解决本题的关键是利用题目给出的等量关系解决本题的关键是利用题目给出的等量关系,即年利润即年利润=(出出 厂价厂价-投入成本投入成本)年销售量年销售量,转化为函数形式转化为函数形式.解有关不等式解有关不等式 的应用问题时的应用问题时,有时一个不等式还不足以解决问题有时一个不等式还不足以解决问题,必须列出必须列出 相应的不等式组才可以相应的不等式组才可以. 2.用一元二次不等式求解实际应用题的一般步骤用一元二次不
10、等式求解实际应用题的一般步骤 (1)审题审题:弄清题意弄清题意,分析条件和结论分析条件和结论,理顺数量关系理顺数量关系; (2)建模建模:建立一元二次不等式模型建立一元二次不等式模型; (3)求解求解:解一元二次不等式解一元二次不等式; (4)还原还原:把数学结论还原为实际问题把数学结论还原为实际问题. ？ 【变式训练【变式训练3】 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控国家为了加强对烟酒生产的宏观调控,实行实行 征收附加税政策征收附加税政策,现知某种酒每瓶定价现知某种酒每瓶定价70元元,不征收附加税时不征收附加税时, 每年大约销售每年大约销售100万瓶万瓶,若政府征收附加税若政府征收附加税,每销售
11、每销售100元征税元征税 R元元(即税率即税率R%),则每年的销售量将减少则每年的销售量将减少10R万瓶万瓶,若政府每若政府每 年在此项经营中所征收附加税金不少于年在此项经营中所征收附加税金不少于112万元万元,则则R应怎样应怎样 确定确定? 解解:由由题意得题意得,70(100-10R)R%112, 化化简得简得R2-10R+160,解得解得2R8. 故当故当2R8时时,每年在此项经营中所征收附加税金不少于每年在此项经营中所征收附加税金不少于 112万元万元. ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 忽略二次项系数为零致错忽略二次项系数为零致错 【典例】【典例】 已知函数已知函数y=(a-2)x2+
12、2(a-2)x-2的图象在的图象在x轴下方轴下方,求求 实数实数a的取值范围的取值范围. 错解错解:由题意知由题意知,y0恒成立恒成立, 故故a的取值范围是的取值范围是a|0a2. 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? ？ 提示提示:当当a=2时时,y=-2,满足其图象在满足其图象在x轴下方轴下方,此时不能用根的判此时不能用根的判 别式别式. ？ 防范措施防范措施 1.二次项系数含参数时二次项系数含参数时,要严格分系数为正、系数为要严格分系数为正、系数为0、系数、系数 为负三种情况进行讨论为负三种
13、情况进行讨论,缺一不可缺一不可.若认为当系数为若认为当系数为0时时,为一为一 元一次不等式元一次不等式,故不讨论故不讨论,这是不可以的这是不可以的.因为只要题中没有明因为只要题中没有明 确说明为一元二次不等式确说明为一元二次不等式,就必须讨论这种情况就必须讨论这种情况. 2.提升逻辑推理和数学运算能力提升逻辑推理和数学运算能力. ？ 【变式训练】【变式训练】 已知关于已知关于x的不等式的不等式kx2-kx-10的解集为的解集为x|x0B.a0C.a0 D.a0 解析解析:由题意知由题意知,二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下的图象开口向下. 答案答案:B 2.已知不等式已知不等式
14、x2+px+q0的解集是的解集是x|-3x2,则则() A.p=-1,q=6B.p=1,q=6 C.p=1,q=-6D.p=-1,q=-6 解析解析:由不等式由不等式x2+px+q0的解集是的解集是x|-3x2,知知x1=-3,x2=2是是 方程方程x2+px+q=0的两根的两根,由根与系数的关系由根与系数的关系,得得p=1,q=-6. 答案答案:C ？ 3.某产品的总成本某产品的总成本y(单位单位:万元万元)与产量与产量x(单位单位:台台)之间的函数之间的函数 解析式为解析式为y=3 000+20 x-0.1x2(0 x0对对 xR恒成立恒成立,则实数则实数a的取值范的取值范 围为围为. 解析解析:由于对由于对 xR,x2+2(a-2)x+40恒成立恒成立, 故故=4(a-2)2-1600a4. 答案答案:0a4 ？ 5.已知关于已知关于x的不等式的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-10的解集是空集的解集是空集,求求 实数实数a的取值范围的取值范围.
