1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 幂函数幂函数 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.通过具体实例通过具体实例,结合结合 的的 图象图象,理解它们的变化规律理解它们的变化规律. 2.了解幂函数了解幂函数. 3.掌握简单幂函数的图象与性质掌握简单幂函数的图象与性质. 4.感悟数学抽象的过程感悟数学抽象的过程,体会直观想象在解决问体会直观想象在解决问 题中的作用题中的作用. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、幂函数的
2、定义一、幂函数的定义 【问题思考】【问题思考】 1.给出函数给出函数:y=x,y=x2,y=x3,y=x-1, ,这些函数的解析式有这些函数的解析式有 什么共同的特征什么共同的特征?这类函数解析式的一般形式应如何表示这类函数解析式的一般形式应如何表示? 提示提示:解析式是幂的形式解析式是幂的形式,底数是自变量底数是自变量x,指数是一个常数指数是一个常数;一一 般形式可用般形式可用y=x表示表示. 2.填一般填一般地地,函数函数 y=x 叫做叫做幂函数幂函数,其中其中 x 是是自变量自变量, 是是常数常数. ？ 答案答案:D ？ 二、五个幂函数的图象与性质二、五个幂函数的图象与性质 【问题思考】
3、【问题思考】 1.在同一坐标系中在同一坐标系中分别分别作作出出函数函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1, 的的 图象图象,结合图象分析、研究它们的定义域、值域、奇偶性、结合图象分析、研究它们的定义域、值域、奇偶性、 单调性单调性,并由此推断幂函数具有的性质并由此推断幂函数具有的性质. ？ 2. ？ 3.幂函数的性质幂函数的性质: (1)所有的幂函数在区间所有的幂函数在区间(0,+)内都有定义内都有定义,图象都过点图象都过点(1,1); (2)若若0,则则y=x在区间在区间(0,+)内单调递增内单调递增,图象过点图象过点(0,0);若若 cbaB.abcd C.dcabD.abdc (2)
4、函数函数 的图象关于的图象关于x轴对称的图象大致是轴对称的图象大致是() ？ 答案答案:(1)B(2)B ？ 探究探究二二 幂函数幂函数的性质及其应用的性质及其应用 【例【例2】 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小: (1)1.13,1.23; (2)4.8-3,4.9-3; ？ 解解:(1)设设f(x)=x3,因为因为f(x)在区间在区间(0,+)内单调递增内单调递增, 又又1.11.2,所以所以f(1.1)f(1.2),即即1.131.23. (2)设设f(x)=x-3,因为因为f(x)在区间在区间(0,+)内单调递减内单调递减, 又又4.8f(4.9),即即4.8-34.9-3.
5、(3)设设f(x)=x-1,因为因为f(x)在区间在区间(0,+)内单调递减内单调递减, 又又f(x)是奇函数是奇函数,所以所以f(x)在区间在区间(-,0)内单调递减内单调递减. ？ 若将本例若将本例(1)改为改为:已知已知(a-2)3(2a+1)3,试求实数试求实数a的取值范围的取值范围. 解解:令令f(x)=x3,容易判断容易判断f(x)为奇函数为奇函数,且在且在R上为增函数上为增函数,因此因此 由由(a-2)3(2a+1)3,可得可得a-22a+1,解得解得a-3. 反思感悟反思感悟 利用幂函数的单调性可以比较幂值的大小利用幂函数的单调性可以比较幂值的大小,当两个幂值的底当两个幂值的底
6、 数不同数不同,指数相同时指数相同时,可以首先构造一个幂函数可以首先构造一个幂函数,然后根据指数然后根据指数 值的正负确定该幂函数在区间值的正负确定该幂函数在区间(0,+)内的单调性内的单调性,比较两个底比较两个底 数的大小数的大小,即得两个幂值的大小关系即得两个幂值的大小关系. ？ 解析解析:因为函数因为函数 的定义域为的定义域为(0,+),且在区间且在区间(0,+)内为内为 减函数减函数,所以所以D项正确项正确. 答案答案:D ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 因对幂函数的单调性理解不全面致错因对幂函数的单调性理解不全面致错 【典例】【典例】 若若(a+1)-1(3-2a)-1,求实数求实数
7、a的取值范围的取值范围. 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? ？ 提示提示:函数函数f(x)=x-1在区间在区间(-,0)和和(0,+)内均单调递减内均单调递减,但在区但在区 间间(-,0)(0,+)内不具有单调性内不具有单调性,错解中错用了函数的单调错解中错用了函数的单调 性性,从而导致错误从而导致错误. 正解正解:由于幂函数由于幂函数f(x)=x-1在区间在区间(-,0)及及(0,+)内均单调递减内均单调递减, 且在区间且在区间(-,0)内有内有f(x)0, ？ 防范措施防范措施 此类问题必须在各个单调区间内分别进行求解此类问题必须在各个单调区间内分别进行求解,也可以结合也可以结合 函数的图象来求解函数的图象来求解. ？ ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.(多选题多选题)下列函数是幂函数的有下列函数是幂函数的有() A.y=x-2B.y=x C.y=2x2D.y=(x-1)2 答案答案:AB ？ 答案答案:C ？ 解析解析:f(x)是幂函数是幂函数,可设可设f(x)=x. f(4)=4f(2),4=42,解得解得=2. ？
