1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 对数函数对数函数 第第3课时课时不同函数增长的差异不同函数增长的差异 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.结合现实情境中的具体问题结合现实情境中的具体问题,利用计算工具利用计算工具,比比 较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的 差异差异. 2.理解理解“对数增长对数增长”“直线上升直线上升”“指数爆炸指数爆炸”等术等术 语的现实含义语的现实含义. 3.感受数学抽象以及直观想象的作用感受数学抽象以及直观想象的作用,提高直观提高直观 想象和数学建模素养想象和数学建模
2、素养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 思思 想想 方方 法法 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、一次函数与指数函数增长的差异一、一次函数与指数函数增长的差异 【问题思考】【问题思考】 1.在同在同一一平面平面直角坐标直角坐标系中画出函数系中画出函数y=2x,y=2x的图象的图象,观察观察 图象思考下列问题图象思考下列问题: (1)这两个函数在区间这两个函数在区间(0,+)内的单调性是怎样的内的单调性是怎样的? (2)当当x趋于无穷大时趋于无穷大时,在这两个函数中在这两个函数中,哪一个函数的增长速哪一个函数的增长速 度快度
3、快?哪一个慢哪一个慢? 提示提示:(1)都是单调递增的都是单调递增的. (2)函数函数y=2x增长速度快增长速度快,函数函数y=2x增长速度慢增长速度慢. ？ 2.(1)一般地一般地,指数函数指数函数y=ax(a1)与一次函数与一次函数y=kx(k0)的增长的增长 速度不同速度不同,即使即使k的值远远大于的值远远大于a的值的值,y=ax(a1)的增长速度最的增长速度最 终会大大终会大大超过超过y=kx(k0)的增长速度的增长速度. (2)指数函数不像一次函数那样按指数函数不像一次函数那样按同一速度同一速度增长增长,而是越而是越来来 越越快快,呈呈爆炸性爆炸性增长增长. ？ 二、一次函数与对数函
4、数增长的差异二、一次函数与对数函数增长的差异 【问题思考】【问题思考】 1.在同在同一一平面平面直角坐标直角坐标系中画出函数系中画出函数y=2x,y=log2x的图象的图象,观观 察图象思考下列问题察图象思考下列问题: (1)这两个函数在区间这两个函数在区间(0,+)内的单调性是怎样的内的单调性是怎样的? (2)当当x趋于无穷大时趋于无穷大时,在这两个函数中在这两个函数中,哪一个函数的增长速哪一个函数的增长速 度快度快?哪一个慢哪一个慢? 提示提示:(1)都是单调递增的都是单调递增的. (2)函数函数y=2x增长速度快增长速度快,函数函数y=log2x增长速度慢增长速度慢. ？ 2.一般一般地
5、地,虽然对数函数虽然对数函数y=logax(a1)与一次函数与一次函数y=kx(k0)在在 区间区间(0,+)内都单调递增内都单调递增,但它们的但它们的增长速度增长速度不同不同.随着随着x的增的增 大大,一次函数一次函数y=kx(k0)保持固定的增长速度保持固定的增长速度,而对数函数而对数函数 y=logax(a1)的增长速度的增长速度越来越慢越来越慢.不论不论a的值比的值比k的值大多少的值大多少, 在一定范围内在一定范围内,logax可能会大于可能会大于kx,但由于但由于logax的增长慢于的增长慢于kx 的增长的增长,因此因此总总会会存在存在一个一个x0,当当xx0时时,恒有恒有logax
6、1,k0时时,在区间在区间(0,+)内内,对任意的对任意的x,总有总有logaxkx1)中中,底数底数a越大越大,其增长速度越快其增长速度越快.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 不同不同函数的增长特点及其应用函数的增长特点及其应用 【例【例1】 下列函数中下列函数中,增长速度最快的是增长速度最快的是() A.y=1 021xB.y=1 021x C.y=log1 021xD.y=1 020 x 解析解析:在在一次函数、指数函数、对数函数中一次函数、指数函数、对数函数中,增长速度最快增长速度最快 的是指数函数的是指数函数, 又因为又因为1 0211 020, 所以所
7、以y=1 021x比比y=1 020 x的增长速度快的增长速度快,因此选因此选B. 答案答案:B ？ ？ 反思感悟反思感悟 常见常见函数模型的增长特点函数模型的增长特点 (1)线性函数模型线性函数模型y=kx+b(k0)的增长特点是直线上升的增长特点是直线上升,其增长其增长 速度不变速度不变; (2)指数函数模型指数函数模型y=ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大的增长特点是随着自变量的增大, 函数值增大的速度越来越快函数值增大的速度越来越快,形象地称为形象地称为“指数爆炸指数爆炸”; (3)对数函数模型对数函数模型y=logax(a1)的增长特点是随着自变量的增的增长特点是随着自变量的增
8、 大大,函数值增大的速度越来越慢函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓即增长速度平缓; (4)幂函数模型幂函数模型y=xn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增的增长速度介于指数增长和对数增 长之间长之间. ？ 探究探究二二 函数函数模型的选择模型的选择 【例【例2】 某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求,对超市对超市 的商品种类做了一定的调整的商品种类做了一定的调整,结果调整初期的利润增长迅速结果调整初期的利润增长迅速, 随着时间的推移随着时间的推移,增长速度越来越慢增长速度越来越慢.如果建立恰当的函数模如果建立恰当的函数模 型来反映该超市调整后利润
9、型来反映该超市调整后利润y与时间与时间x的关系的关系,那么可选用那么可选用( ) A.一次函数一次函数B.二次函数二次函数 C.指数型函数指数型函数 D.对数型函数对数型函数 ？ 解析解析:在四个函数中在四个函数中,选项选项A中函数的增长速度不变中函数的增长速度不变,选项选项B,C 中函数的增长速度越来越快中函数的增长速度越来越快,其中选项其中选项C中函数的增长速度比中函数的增长速度比 选项选项B中函数的增长速度更快中函数的增长速度更快,选项选项D中函数的增长速度越来中函数的增长速度越来 越慢越慢,故只有选项故只有选项D符合题意符合题意 答案答案:D ？ 反思感悟反思感悟 根据根据实际问题提供
10、的两个变量的数量关系可构建和选择正确实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确 的函数模型的函数模型.同时同时,要注意利用函数图象的直观性来确定适合要注意利用函数图象的直观性来确定适合 题意的函数模型题意的函数模型. ？ 【变式训练【变式训练1】 四个变量四个变量y1,y2,y3,y4随变量随变量x变化的数据如变化的数据如表表 所示所示: 关于关于x呈指数增长的变量是呈指数增长的变量是. ？ 解析解析:以爆炸式增长的变量呈指数增长以爆炸式增长的变量呈指数增长.从表格中可以看出从表格中可以看出,四四 个变量个变量y1,y2,y3,y4均是从均是从2开始变化开始变化,且都是越来越大且都是越来
11、越大,但是增长但是增长 速度不同速度不同,其中变量其中变量y2的增长速度最快的增长速度最快,可知变量可知变量y2关于关于x呈指呈指 数增长数增长. 答案答案:y2 ？ 探究探究三三 函数函数不同增长特点在实际问题中的应用不同增长特点在实际问题中的应用 【例【例3】 某企业常年生产一种出口产品某企业常年生产一种出口产品,最最近几年近几年,该产品的该产品的 产量平稳增长产量平稳增长.记记2015年为第年为第1年年,且前且前4年中年中,第第x年与年产量年与年产量 f(x)(单位单位:万件万件)之间的关系如下表所示之间的关系如下表所示: ？ (1)找出你认为最适合的函数模型找出你认为最适合的函数模型,
12、并说明理由并说明理由,然后选取表中然后选取表中 你认为最适合的数据并求出相应的解析式你认为最适合的数据并求出相应的解析式; (2)因企业经营不善因企业经营不善,2020年的实际年产量比预计减少了年的实际年产量比预计减少了30%, 试根据所建立的函数模型试根据所建立的函数模型,确定确定2020年的实际年产量年的实际年产量. ？ ？ ？ 反思感悟反思感悟 1.求解此类问题的关键是利用待定系数法求出相关的函数模求解此类问题的关键是利用待定系数法求出相关的函数模 型型,即借助数据信息即借助数据信息,得到相关方程得到相关方程,进而求出待定参数进而求出待定参数. 2.函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中
13、最核心的内容函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容, 解题的关键在于通过对已知数据的分析解题的关键在于通过对已知数据的分析,得出重要信息得出重要信息,根据根据 解题积累的经验解题积累的经验,从已有的各类型函数中选择模拟从已有的各类型函数中选择模拟,进行数据进行数据 的拟合的拟合. ？ 【变式训练【变式训练2】 通过市场调查通过市场调查,得到某纪念章的市场价得到某纪念章的市场价y(单位单位: 元元)与上市时间与上市时间x(单位单位:天天)的关系如下的关系如下: (1)根据上表根据上表,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念 章的市场价章的市场
14、价y与上市时间与上市时间x的关的关 系系:y=ax+b;y=ax2+bx+c(a0);y=alogbx(b0,且且b1); (2)利用你所选取的函数利用你所选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天求该纪念章市场价最低时的上市天 数及最低的价格数及最低的价格. ？ 解解:(1)由表可得由表可得,随着随着x的值的增大的值的增大,y的值先减小后增大的值先减小后增大,而所而所 给的三个函数中给的三个函数中,y=ax+b和和y=alogbx(b0,且且b1)显然都是单调显然都是单调 函数函数,不满足题意不满足题意,故选取函数故选取函数y=ax2+bx+c(a0)最恰当最恰当. 当当x=20时时,y取得
15、最小值取得最小值,ymin=26. 故该纪念章市场价最低时的上市天数为故该纪念章市场价最低时的上市天数为20,最低价格为最低价格为26元元. ？ 思思 想想 方方 法法 ？ 数形结合在函数增长差异中的应用数形结合在函数增长差异中的应用 【典例】【典例】 已知函数已知函数f(x)=2x和和g(x)=x3的图象如图所示的图象如图所示,设这两设这两 个函数的图象交于点个函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且且x1g(1),f(2)g(2),f(9)g(10), 所以所以1x12,9x210,因此因此x16x2. 从题中图象上可以看出从题中图象上可以看出,当当x1xx2时时,f(x)g
16、(x),所以所以f(6)x2时时,f(x)g(x),所以所以f(4 021)g(4 021). 又又g(4 021)g(6),故故f(4 021)g(4 021)g(6)f(6). ？ 方法点睛方法点睛 1.函数值的大小关系以及函数的增长特点都可以通过函数的函数值的大小关系以及函数的增长特点都可以通过函数的 图象直观地显现出来图象直观地显现出来,因此通过数形结合可以直观地解决函因此通过数形结合可以直观地解决函 数值的大小比较问题数值的大小比较问题. 2.函数在它们图象交点处的函数值相等函数在它们图象交点处的函数值相等,在两个交点之间在两个交点之间,图图 象象位置位置的的高低表示了函数值的大小高
17、低表示了函数值的大小. ？ ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.下列函数中下列函数中,随着随着x增大增大,增长速度最快的是增长速度最快的是() A.y=2xB.y=ln x C.y=x2D.y=ex 解析解析:因为因为y=ex和和y=2x同为指数函数同为指数函数,且且e2, 所以所以y=ex的增长速度最快的增长速度最快. 答案答案:D ？ 2.下表是函数值下表是函数值y随自变量随自变量x变化的一组数据变化的一组数据,由此判断它最可由此判断它最可 能的函数模型是能的函数模型是() A.一次函数一次函数B.二次函数二次函数 C.指数函数指数函数D.对数函数对数函数 解析解析:自变量每增加自变量每增
18、加1,函数值增加函数值增加2,函数值的函数值的增量不变增量不变,故为故为 一次函数模型一次函数模型. 答案答案:A ？ 3.能使不等式能使不等式log2xx24时时,log2xx22x,故选故选D. 答案答案:D ？ 4.某化工厂开发研制了一种新产品某化工厂开发研制了一种新产品,前三个月的月生产量依次前三个月的月生产量依次 为为100 t,120 t,130 t.为了预测今后各月的生产量为了预测今后各月的生产量,需要以这三需要以这三 个月的月产量为依据个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量用一个函数来模拟月产量y(单位单位:t)与月与月 序数序数x之间的关系之间的关系.对此模拟函数可选用二
19、次函数对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)= ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数均为待定系数,xN*)或函数或函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r 均为待定系数均为待定系数,xN*).已知该厂这种新产品第四个月的月产已知该厂这种新产品第四个月的月产 量为量为137 t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好? ？ 即即y=f(x)=-5x2+35x+70.同理同理y=g(x)=-800.5x+140. 将将x=4分别代入分别代入f(x)与与g(x)得得f(4)=-542+354+70=130,g(4)=- 800.54+140=135. 与与f(4)相比相比,g(4)在数值上更接近第四个月的实际月产量在数值上更接近第四个月的实际月产量,故选故选 用函数用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好作为模拟函数较好.
