1、测试测试 26空间向量与立体几何空间向量与立体几何一、选择题一、选择题1已知三棱锥 ABCD 的侧面是全等的等边三角形，则二面角 ABCD 的平面角的余弦值等于()(A)21(B)31(C)41(D)612已知正三棱锥的侧棱长为32，底面边长为 1，则侧棱与底面所成的角的大小是()(A)30(B)45(C)60(D)753已知正四棱锥 SABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是 SB 的中点，则 AE，SD 所成角的余弦值为()(A)31(B)32(C)33(D)324已知 A，B，C 是表面积为 48的球面上的三点，AB2，BC4，ABC60设 O为球心，直线 OA 与平面 ABC 所成的
2、角是，则 cos等于()(A)33(B)43(C)53(D)63二、填空题二、填空题5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 BD 和 AD1所成角的大小是_6已知在四棱锥 VABCD 中，VA平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，VAAB，则 VA与侧面 VCD 所成角的大小为_7已知在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC90，AA1AB，A1C 与底面 ABC 成 30角，设二面角 AA1CB 的平面角为，则 cos_8矩形 ABCD 中，已知 AB21AD，E 是 AD 的中点，沿 BE 将ABE 折起到 ABE 位置，使 ACAD，则 AC 与平面 BEDC 所成角的正切值是
3、_三、解答题三、解答题9在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC3，BB123，过点 B 作 B1C 的垂线，垂足为 E 且交 CC1于点 F(1)求证：A1CBF；(2)判断直线 AC1和平面 BDF 的位置关系，并加以证明10如图，在三棱锥 PABC 中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC(1)求证：PCAB；(2)求二面角 BAPC 的余弦值11如图，已知点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的对角线 BD1上，PDA60(1)求 DP 与 CC1所成角的大小；(2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小12如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，D，
4、E 分别为 AA1，B1C 的中点，DE平面 BCC1(1)证明：ABAC；(2)设二面角 ABDC 为 60，求 B1C 与平面 BCD 所成角的大小参考答案参考答案测试测试 26空间向量与立体几何空间向量与立体几何一、选择题一、选择题1B2A3C4A二、填空题二、填空题560645733855三、解答题三、解答题9(1)ABCDA1B1C1D1是长方体，A1B1平面 B1BCC1，BFA1B1又 BFB1C，BF平面 A1B1C，A1CBF(2)AC1平面 BDF，证明如下：ABBC3，BB132，B1C33，BFB1C 于点 E，BC2CEB1C，得 CE3，B1E23B1BEFCE，2
5、111EBCEBBCF，F 为 CC1的中点连接 AC 交 BD 于 O，则 O 为 AC 中点，连接 OF，则 OFAC1，AC1平面 BDF，OF平面 BDF，AC1平面 BDF10(1)ACBC，APBP，APCBPC又 PCAC，PCBC，PC平面 ABC，PCAB(2)如图，建立空间直角坐标系则 C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)设 P(0，0，t)，PBAB22，t2，P(0，0，2)取 P 中点 E，连结 BE，CEACPC，ABPB，CEAP，BEAP，BEC 是二面角 BAPC 的平面角E(0，0，1)，EC(0，1，1)，EB(2，1，1)，33|cosE
6、BECEBECBEC，二面角 BAPC 平面角的余弦是3311如图，以 D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系 Dxyz则DA(1，0，0)，1CC(0，0，1)连结 BD，B1D1在平面 BB1D1D 中，延长 DP 交 B1D1于 H设DH(m，m，1)(m0)，由已知DH，DA60，由|DHDADHDAcosDA，DH可得 2m122m解得22m，所以DH(22，22,1)(1)因为 cosDH，1CC222111022022，所以DH，1CC45即 DP 与 CC1所成的角为 45(2)平面 AA1D1D 的一个法向量是DC(0，1，0)因为 cosDH，DC2121011220
7、22，所以DH，DC60可得 DP 与平面 AA1D1D 所成的角为 3012如图建立直角坐标系设 B(1，0，0)，C(0，b，0)，D(0，0，c)，则 B1(1，0，2c)，E(21，2b，c)于是DE(21，2b，0)，BC(1，b，0)DE平面 BCC1，DEBC由DEBC0，解得 b1，ABAC(2)设平面 BCD 的法向量AN(x，y，z)，则ANBC0，ANBD0，又BC(1，1，0)，BD(1，0，c)，xy0，xcz0，令 x1，得AN(1，1，c1)又平面 ABD 的法向量AC(0，1，0)，由二面角 ABDC 为 60，得AN，AC60，ANACANACcos60，解得21c于是AN(1，1，2)，1CB(1，1，2)，cosAN，1CB21|11CBANCBAN，AN，1CB60B1C 与平面 BCD 所成角的大小是 30
