第12章 整式的乘除-12.3 乘法公式-平方差公式-ppt课件-(含教案)-市级公开课-华东师大版八年级上册数学(编号：817e0).zip

1.5 平方差公式(1)北师大版七年下北师大版七年下 创设情境创设情境 引入新知引入新知 孙嘉宏同学去商店买了单价是9.8元千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，孙嘉宏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”孙嘉宏同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。”你知道孙嘉宏同学用的是一个什么样的公式吗? 学了本节之后，你就能很快解决这个问题了。多项式与多项式相乘，就是先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。( m + b ) ( n + a ) = mn + am + bn + ab多项式与多项式相乘的法则： 计算下列各题，猜想规律，小组交流讨论。（1）( x + 2 ) ( x - 2 ) （2）( 1 + 3a ) ( 1 - 3a )（3）( x + 5y ) ( x - 5y )（4）( 2y + z ) ( 2y - z )自主探索 形成新知 观察思考：观察思考：等式左边相乘的两个多项式有什么特点？等式左边相乘的两个多项式有什么特点？等式右边的多项式有什么规律？等式右边的多项式有什么规律？你能归纳出上述等式的规律吗？你能归纳出上述等式的规律吗？ 再举两个例子再举两个例子,合作学习，分组验证合作学习，分组验证, ,验证你发现的规验证你发现的规律律 现在要对大家提出的猜想进行证明现在要对大家提出的猜想进行证明证明：证明：(a+b)(a-b) = 我们经历了由发现我们经历了由发现猜测猜测证明的过程，证明的过程，最后得出一个公式性的结论，我们将这个公式叫做最后得出一个公式性的结论，我们将这个公式叫做平方差公式平方差公式.（多项式乘法法则（多项式乘法法则）（合并同类项）（合并同类项）证明公式即：即： （a+b)(a-b)a2 ab+abb2平方差公式：平方差公式：(a+b)(ab)= a2b2符号语言：符号语言： （a+b)(a-b)文字语言：两数文字语言：两数和和与这两数与这两数差差的的积积，等于它们的，等于它们的平方差平方差.=a2b2 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2 相同项为相同项为a 相反项为相反项为b相同项的平方相同项的平方相反项的平方相反项的平方相同项平方减去相同项平方减去相反项的平方相反项的平方具备什么特点的两个多项式相乘才能应用平方差公式？平平方方差差公公式式的的结结构构特特征征( (1 1) )左边是两个二项式相乘左边是两个二项式相乘( (两数和与两数差之积两数和与两数差之积) )，并且这，并且这两个二项式中有一项两个二项式中有一项完全相同完全相同，另一项，另一项互为相反数互为相反数. . 可以简可以简称为称为“一同一同一不同一不同”，这是运用平方差公式的条件。，这是运用平方差公式的条件。( (2 2) )右边是这两项的平方差，即用右边是这两项的平方差，即用完全相同项的平方完全相同项的平方减去减去互为互为 相反数的项的平方相反数的项的平方. .( (3 3) )公式里的公式里的a a、b b可以是数，也可以是整式，注意添括可以是数，也可以是整式，注意添括号、去括号。号、去括号。(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a) (3x-1)(1+3x) (1+xy)(-1+xy)1 1、找一找、填一填、找一找、填一填相同相同 相反相反结果结果1x x-3a12-x2(-3)2-a2xy1(xy)2-12 3x1( 3x)2-12(a+b)(a-b)学科网 相同项平方减去相相同项平方减去相反项的平方反项的平方注：注：注意添括号、去括号注意添括号、去括号2 2、 抢答：抢答：判断下列式子是否可用平方差公式判断下列式子是否可用平方差公式，说明理由说明理由 （1）（2a3b）（2a3b）=4a29b2（ ） （2）（x+2）（x 2）=x22（ ） （3）（3a2）（3a2）=9a24（ ） （4）（ ） 例例1、用平方差公式计算下列各题、用平方差公式计算下列各题（2）(x-2y)(x+2y) ab(1) (5+6x)(5-6x)a(2) (x-2y)(x+2y)b分分析析：要要利利用用平平方方差差公公式式解解题题，必必须须找找到到相相同同的的项项和和互互为为相相反反数数的的项项，结结果果为为相相同同项项的的平平方方减减互互为为相相反反数数的的项项的平方的平方.解：解：=52 (6x)2 （1）(5+6x)(5-6x)解：解：=x2 (2y)2 （3）(-m+n)(-m-n) （3）(-m+n)(-m-n) 解：解：=(-m)2 n2 =2536x2=x24y2=m2n2运用公式 巩固新知随堂练习利用平方差公式计算：(1) (a+2)(a-2)(2)(3a+2b)(3a2b)(3)(-x-1)(1-x)(4)(-4k+3)(-4k-3)例例2 运用平方差公式计算：运用平方差公式计算：(- 1. 解解：=(ab)2 82 = y2 解解：= a2 b2 64 = 知识技能:书p21利用平方差公式计算：(1) (3x+7y)(3x-7y) (2)(0.2x-0.3)(0.2x+0.3)(3)(mn-3n)(mn+3n) (4)(-2x+3y)(-2x-3y)想一想:（ab）（ab）=？你是怎样做的？1.位置变化：位置变化：（b+a)(-b+a)= （a+b)(a-b) =a2b22.符号变化：符号变化：（-a-b)(a-b)=-( (a+b)(a-b) =b2_a23.系数变化：（系数变化：（3a+2b)(3a2b)=(3a)2(2b)2=9a24b2意犹未尽 拓展新知平方差公式常见变形4.指数变化：指数变化：（a3+b2)(a3b2)=(a3)2(b2)2=a6b45.增项变化：增项变化：（a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2 _c26.连用公式连用公式：（：（a+b)(a-b)a+b)(a-b)( (a a2 2+ +b b2 2) )= =（a a2 2- -b b2 2)()(a a2 2+ +b b2 2)=)=a a4 4 b b4 4小组探讨交流，各抒己见，总结规律小组探讨交流，各抒己见，总结规律变形变形套公式套公式计算计算将算式变形为两数和与两数差的积的形式将算式变形为两数和与两数差的积的形式套用公式，将结果写成两数平方差的形式套用公式，将结果写成两数平方差的形式套用平方差公式时，结果为套用平方差公式时，结果为( (完全相同项完全相同项) )2 2-(-(互互为相反数的项为相反数的项) )2 2不管形式怎么变，不变的是公式的结构 即万变不离其宗！【规律总结【规律总结】学有所思 感悟新知(a+b)(ab)=a2b2运用平方差公式进行计算的运用平方差公式进行计算的“三步法三步法”分层训练 强化新知1.下列计算对不对？若不对，应怎样改正。下列计算对不对？若不对，应怎样改正。（1）（2）（3）（4）（5）2、参照平方差公式“(a+b)(a-b)=a2-b2”填空。 （1）、(1x)( 1x)1 （2）、(-3a)(-3 ) a2 （3）、(xa)(a )a2 x2 （4）、(0.3x2)( )40.09 x23.3.已知已知a-b=1a-b=1，a+b=2a+b=2 013013，则，则a a2 2-b-b2 2的值为的值为_._. 情景问题情景问题：4 4. .孙嘉宏同学去商店买了单价是9.8元千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，孙嘉宏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”孙嘉宏同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。”大家说是什么公式？ 你能快速算出来吗？你能快速算出来吗？5 5. . 计算19982-199719996 6. . 计算(2+1)(22+1)(24+1).(232+1)的值试用语言表述平方差公式试用语言表述平方差公式 (a+b)(ab)= a2b2.应用平方差公式时要注意一些什么？应用平方差公式时要注意一些什么？两数和与这两数差的积，等于它们的平方差两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.变成公式标准形式后，再用公式变成公式标准形式后，再用公式. 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的找出相等的“项项”和符号相反的和符号相反的“项项”，然后应用公式，然后应用公式. 要利用加法交换律，要利用加法交换律，对于不符合平方差公式标准形式者，对于不符合平方差公式标准形式者，课堂小结 回味新知1北师大版七年下册北师大版七年下册1.51.5 平方差公式（平方差公式（1 1） 我的教学设计主要围绕以下几点：1.教材分析、2.学情分析、3.教学任务分析、4.教法与学法分析、5.教学过程分析、6.简述教学设计总体思路一、教材分析教材分析：平方差公式是北京师范大学出版社义务教育教科书七年级下册，第一章第 5 节的内容。平方差公式共分两课时，第一课时，主要是利用多项式乘法法则推导平方差公式，运用公式进行计算；第二课时，主要是了解平方差公式的几何背景，运用公式进行稍复杂的计算和数的简便运算平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式化简等的基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。二、学情分析二、学情分析学生的知识技能基础：七年级上册，学生已经学过数的运算、字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法.本章前面幂的运算、整式乘法等知识的学习，为本节课奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法.学生活动经验基础：学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，培养了一定的符号感和推理能力.同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力.但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，理解平方差公式的推导过程和结构特点可能会有一定困难.所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出平方差公式的探索过程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力.三、教学任务分析三、教学任务分析学生已经学过“有理数及运算”“字母表示数”“合并同类项”“去括号”“整式乘法”等内容，经历了实际问题符号化的过程，具有一定的符号感.平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，让学生经历从一般到特殊的过程.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便运算，而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习2提供了方法.基于此教材提出了本节课的具体学习任务：经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，并能运用平方差公式，进行简单的计算，以及实际问题的解决.本节课的教学目标是：1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.四、教法与学法分析四、教法与学法分析教法与学法教法与学法 采用“情境探究猜想归纳验证应用拓展”的教学方法，让学生在观察、猜想、归纳、概括、中总结出平方差公式五、教学过程设计五、教学过程设计基于对教材以及教学任务的分析，本节课设计了六个教学环节：创设情境 引入新知；自主探索 形成新知；运用公式、巩固新知；意犹未尽、拓展新知；学有所思、感悟新知；分层训练、强化新知；课堂小结、回味新知；第一环节第一环节 创设情境创设情境 引入新知引入新知 孙嘉宏同学去商店买了单价是 9.8 元千克的糖块 10.2 千克，售货员刚拿起计算器，孙嘉宏就说出应付 99.96 元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”孙嘉宏同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。”你知道孙嘉宏同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后，你就能很快解决这个问题了。【设计意图】：激发求知欲活动活动 1 1：回顾整式乘法中多项式与多项式相乘的法则1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：（m+b)(n+a)= mn+ma+bn+ba【设计意图】：既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，3在复习过程中，学生从知识和心理等方面，做好探究新知识的准备，从而为本节课平方差的探究学习奠定了基础.第二环节第二环节 自主探索自主探索 形成新知形成新知活动内容活动内容 1：猜想公式：猜想公式计算下列各题，猜想规律，小组交流讨论。（1）( x + 2 ) ( x - 2 ) （2）( 1 + 3a ) ( 1 - 3a )（3）( x + 5y ) ( x - 5y )（4）( 2y + z ) ( 2y - z )观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？式子的左边具有什么共同特征？它们右边的结果有什么特征？能不能用字母表示你的发现？你能对发现的规律进行推导吗？【设计意图】：通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，初步得到猜想，总结规律.引出乘法公式-平方差公式。 活动内容活动内容 2：验证猜想：验证猜想类比活动 1 中归纳的规律，学生自己再举一些类似的多项式相乘的情形，并计算验证自己的猜想.活动目的：活动目的：在“活动 1”中，学生通过计算能够初步感受结果的“平方差”形式，但仅仅这样就总结、得到结论，部分学生难免心存疑惑，因此让学生再次举例验证.学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程，在这一活动中让学生充分经历“观察猜想验证”的过程，从而验证猜想，得到规律，安排学生合作学习，分组验证，经历平方差公式推导归纳的过程，从而突出了本节课的重点，得到平方差公式：a a a2 2 2 ab+abab+abab+abb b b2 2 24 (a+b)(ab) =a2b2活动内容活动内容 3：学习公：学习公式 【设计意图】 通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析 a、b 的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果1.1.找一找找一找 填一填填一填(a+b)(a-b) a（相同） b（相反） a2-b2（平方差） 最后结果(1+x)(1-x)1x(-3+a)(-3-a)-3a(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2相同相同项为项为a 相反相反项为项为b相同项的平方相同项的平方相反项的平方相反项的平方相同项平方减去相反项相同项平方减去相反项的平方的平方平方差公式的结构特征：平方差公式的结构特征：(1)(1)左边是两个二项式相乘左边是两个二项式相乘( (两数和与两数差之积两数和与两数差之积) )，并且这两个二项式中有一项，并且这两个二项式中有一项完全相同完全相同，另一项，另一项互互为相反数为相反数. .可以简称为可以简称为“一同一同一不同一不同”，这是运用平方差公式的条件。，这是运用平方差公式的条件。(2)(2)右边是这两项的平方差，即用右边是这两项的平方差，即用完全相同项的平方完全相同项的平方减去减去互为互为 相反数的项的平方相反数的项的平方. .(3)(3)公式里的公式里的a a、b b可以是数，也可以是整式，注意添括号、去括号。可以是数，也可以是整式，注意添括号、去括号。5(1+xy)(-1+xy)xy1【设计意图】学生进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解2.2.抢答抢答 判断下列式子是否可用平方差公式，说明理由判断下列式子是否可用平方差公式，说明理由（1）（2a3b）（2a3b）=4a29b2 （ ）（2）（x+2）（x 2）=x22 （ ）（3）（3a2）（3a2）=9a24 （ ）（4） （ ）【设计意图】对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件第三环节第三环节 运用公式运用公式 巩固新知巩固新知活动内容：活动内容：例 1 利用平方差公式计算：（1） （5+6x）（56x）； （2）（x2y）（x+2y）（3） （m+n）（mn）随堂练习随堂练习利用平方差公式计算： （1） （a+2）（a2）； （2）（3a+2b）（3a2b） 【设计意图】在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能.活动内容：活动内容：例 2 利用平方差公式计算：（1）（mn+3）（mn3） （2）（ab+8）（ab8） 6第四环节第四环节 意犹未尽 拓展新知活动内容：活动内容：想一想（ab）（ab）=？你是怎样做的？平方差公式常见变形1. 1. 1.位置位置位置位置变变变变化：化：化：化：（b+a)(-b+a)= （a+b)(a-b) =a a a2 2 2 b b b2 2 22. 2. 2.符号符号符号符号变变变变化：化：化：化：（-a-b)(a-b)=-( (a+b)(a-b) =b b b2_2_2_a a a2 2 23. 3. 3.系数系数系数系数变变变变化：（化：（化：（化：（3 3 3a+a+a+2b)(32b)(32b)(3a a a2 2 2b b b)=()=()=(3a)3a)3a)2 2 2(2(2(2b)b)b)2 2 2=9a a a2 2 2444b b b2 2 24. 4. 4.指数指数指数指数变变变变化：化：化：化：（a a a3 3 3+ + +b b b2 2 2)(a a a3 3 3 b b b2 2 2)=( ( (a a a3 3 3) ) )2 2 2(b b b2 2 2) ) )2 2 2=a a a6 6 6 b b b4 4 45. 5. 5.增增增增项变项变项变项变化：化：化：化：（a-b+c)(a-b-c)=( ( (a-b)a-b)a-b)2 2 2 _ _ _c c c2 2 26. 6. 6.连用公式连用公式：（：（a+b)(a-b)a+b)(a-b)( (a a a a2 2 2 2+ + + +b b b b2 2 2 2) )= =（a a a a2 2 2 2- - - -b b b b2 2 2 2)()(a a a a2 2 2 2+ + + +b b b b2 2 2 2)=)=a a a a4 4 4 4 b b b b4 4 4 4 【设计意图】例 2 是对例 1 内容的拓展与延伸，使学生从不同的角度来认识平方差公式，从符合平方差公式运算的不同形式的多项式相乘中，确定平方差公式中的 a 和 b，巩固平方差公式，进一步体字母 a、b 可以是数，也可以是整式，加深对字母含义广泛性的理解.第五环节第五环节 分层训练分层训练 强化新知强化新知活动内容：活动内容：1. 判断下列计算是否正确：（1）（2a3b）（2a3b）=4a29b2 （ ）（2）（x+2）（x 2）=x22 （ ）（3）（3a2）（3a2）=9a24 （ ）（4） （ ）2、参照平方差公式“(a+b)(a-b)=a2-b2”填空。（1）(1x)( 1x)1 （2）(-3a)(-3 ) a2（3）(xa)(a )a2 x2（4）(0.3x2)( )40.09 x2【设计意图】对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件7【设计意图】：为学生提供自我检测的机会，教师针对学生反馈情况，及时调整授课，查漏补缺. 第六环节第六环节 课堂小结、回味新知课堂小结、回味新知 活动内容：活动内容： 1.平方差公式：（a+b）（ab）=a2b2 公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.2应用平方差公式的注意事项： 1）注意平方差公式的适用范围 2）字母 a、b 可以是数，也可以是整式 3）注意计算过程中的符号和括号活动目的：活动目的：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中，遇到的挫折以及积累的经验，提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识目的. 布置作业布置作业1. 必做题：教材习题 1.9 2. 选做题：你能用图形来验证平方差公式吗？教学设计总体思路教学设计总体思路: : 本节课是数与代数中平方差公式的新授课，该公式是在学生学习了多项式乘法的基础上，把具有特殊形式的多项式相乘的式子与其结果写成公式形式。它在整式乘法、因式分解、分式化简及其它代数式的变形中无处不在，起着十分重要的作用，它是建构学生3.已知 a-b=1，a+b=2 013，则 a2-b2的值为_.【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式，由结果追溯算式中的相同项和相反项，关键在于理解公式结构特征，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫 情景问题：情景问题：4.孙嘉宏同学去商店买了单价是 9.8 元千克的糖块 10.2 千克，售货员刚拿起计算器，孙嘉宏就说出应付 99.96 元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”孙嘉宏同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。”大家说是什么公式？5. 计算 19982-199719996. 计算(2+1)(22+1)(24+1).(232+1)的值8有价值的数学体系并形成相应数学技能的重要内容。因此本节课我都是让学生自己去发现，自己去总结。本节课大的研究思路就是 采用“情境探究猜想归纳验证应用拓展-总结”的教学方法，本课让学生经历自主探索平方差公式的推到过程，采用自学为主的导学设计，在教学方法上采用以问题的形式，引导学生独立思考、探索，再通过讨论、交流、发现平方差公式的特点，接着，教师适当的引导，使学生理解掌握平方差公式的推导过程，通过练习巩固，力求突出重点、突破难点，使学生运用平方差公式解决问题的能力得到进一步提高.在整个教学过程中，分层次地培养学生数学思想和方法，养成良好的思维习惯。七年级学生的思维十分活跃，课上以“学生为主导” 的指导思想，主要采用导学探究法.让学生先独立思考，再与同伴交流各自的发现，然后归纳其中的规律，获得新的认识，同时重点体验规律的探索过程.感知从特殊到一般的数学思想方法，善于培养学生观察、概括与抽象的能力。从而灵活的应用平方差公式解决问题,使数学走进生活，学以致用，激发学生学习数学的兴趣。