第14章 勾股定理-14.1 勾股定理-直角三角形三边的关系-ppt课件-(含教案)-市级公开课-华东师大版八年级上册数学(编号：c11b3).zip

14.1 勾股定理勾股定理( (1 1) )勾股定理（勾股定理（gou-gugou-gu theorem)theorem)如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为斜边为c，那么，那么 a2+b2=c2 即即 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方abc勾勾股股弦弦在西方又在西方又称称毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理！在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 勾勾 ，下半部分称为，下半部分称为 股股 。我国古代学者把直角三角形。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为较短的直角边称为“勾勾”，较长的直角边称为，较长的直角边称为“股股”，斜边称为斜边称为“弦弦”. .勾勾股股 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955勾勾 股股 世世 界界国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，股等于四，那么弦就等于五，即即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中。中。青出青出朱入朱入朱朱出出朱方朱方青方青方青入青入青青入入青出青出青青出出华罗庚华罗庚青青朱朱出入图出入图朱入朱入朱朱出出cabcabcabcab c2=b2-2ab+a2+ 2ab =a2+b2 a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为c2 该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作勾股圆方图。证明证明1：cabcabcabcab (a+b)2 = a2+2ab+b2 = 2ab +c2a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)2C2证明证明2：C2 1876年年4月月1日，伽菲尔日，伽菲尔德在德在新英格兰教育日新英格兰教育日志志上发表了他对勾股上发表了他对勾股定理的这一证法。定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任年，伽菲尔德就任美国第美国第20任总统。后来任总统。后来，人们为了纪念他对勾，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把懂、明了的证明，就把这一证法称为这一证法称为“总统证总统证法法”。 勾股定理的证明方法证法一证法二证法三（邹元治证明）（邹元治证明）（赵爽证明）（赵爽证明） 赵爽赵爽:我国古代数学家我国古代数学家走进数学史勾股定理的证明方法证法四证法五证法六（加菲尔德证明）（加菲尔德证明） 加菲尔德加菲尔德:第二十任总统第二十任总统（梅文鼎证明）（梅文鼎证明） 梅文鼎梅文鼎:清代天文、数学家清代天文、数学家（项明达证明）（项明达证明） 项明达项明达:清代数学家清代数学家走进数学史比比一一比比看看看看谁谁算算得得快快！2.2.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020 x x12125 5x x11美丽的勾股树美丽的勾股树1.在等腰ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,求ABC的面积2.欲做一块矩形展板，将由一小型货车运载（附此货车数据：车厢长3cm,宽1.5m,高2cm,）为防止运送途中展板的损坏，要求展板的一边紧贴车厢侧门底边，问：这块展板的长宽如何设计，才能使它的面积最大？小结今天我们学习了学习了一个定理勾股定理一个思想以形证数的思想一次探索由特殊到一般的探索过程增添了增添了一份自豪中国的自豪勾股定理的教学设计（第一课时）勾股定理的教学设计（第一课时）一、教案背景一、教案背景（一）教材分析（一）教材分析这节课是初中教材华师大版八年级上册第十四章第一节勾股定理第一课时：直角三角形三边的关系。勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它是直角三角形的一条重要性质，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问题，勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中有着广泛的作用。是初中数学教学内容重点之一。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。也可了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。（二）学情分析（二）学情分析 1通过初一一年的数学学习，初二学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。2.考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。3.以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对勾股定理的认识，能激发学生的学习兴趣。（三）教学设想（三）教学设想1课型：新授课2设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。3教学思路：探索结论-得出结论-历史介绍-初步应用结论-应用结论解决简单的实际问题。二、教学目标二、教学目标（一）知识目标（一）知识目标1理解回顾直角三角形中三角之间的关系，掌握新知即三边之间关系。2理解勾股定理的内涵，并能用勾股定理进行简单的计算 3通过画图实验，让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。（二）能力目标（二）能力目标1. 掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关计算，即已知两边，运用勾股定理列式求第三边。2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题） 。3. 经历探索勾股定理内容的过程，学会简单的合情推理与数学说理。4通过勾股定理的简单应用，能用数学的眼光观察现实世界和有条理思考与表达的能力，感受勾股定理的价值，也能写出简单的推理格式，以培养学生的逻辑思维能力。三三情感与价值观情感与价值观培养学生参与的积极性，及合作交流的意识。学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，逐步体验数学说理的重要性。在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气。引导学生积极探索，注意观察生活，体验生活中的数学。通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。 三、重点难点剖析三、重点难点剖析（一）重点（一）重点1体验勾股定理的发现过程，勾股定理的内涵。2勾股定理的简单应用，即在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。（二）难点（二）难点1勾股定理的发现过程。2应用勾股定理时斜边或直角的确定，推理格式的正确书写。3灵活运用勾股定理。（三）难点成因（三）难点成因在勾股定理的探索和验证过程中，体现了数形结合的思想，而学生已有的知识能力水平很难从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，这对学生具有一定的挑战性。（四）难点突破（四）难点突破为了突出重点，突破难点，在探索勾股定理的过程中，按特殊到一般的思想，引导学生先由特殊的直角三角形开始研究，然后从正方形的面积联想 a2、b2、c2；得出结论后，不把重点放在勾股定理的验证过程中，而只是简单介绍勾股历史，简单提到古今中外对勾股定理有很多证明方法，而对于怎样证明则作为课后阅读留给学生自己探索。然后直接进入勾股定理的应用。在教学中，给学生提供充分实践、探索和交流的时间，鼓励他们积极思考解决问题的办法，并与他人进行合作与交流。另外对练习的精选，也选择学生易错的题型，让他们养成先确定斜边或直角再利用定理的习惯。四、教学策略及教法设计四、教学策略及教法设计（一）教学策略（一）教学策略课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，以熟悉的学习工具三角板为导入，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握勾股定理探索的方法。学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握勾股定理。辅助策略：借助多媒体课件，使学生直观形象地观察、动手操作。（二）教法设计（二）教法设计探索法：探索法：让学生在探索直角三角形三边关系的活动中，积累数学活动经验。讨论法：讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。练习法：练习法：教学中通过对形的计算，使学生了解数对形的意义，使数形结合在勾股定理教学中得到充分的展示。并精心设计随堂变式练习，巩固和提高学生的认知水平。 五、教学过程五、教学过程 师生双边教学活动师生双边教学活动教学手记教学手记 教学过程教学过程学生活动学生活动 1、情景创设由身边熟悉的工具-三角板开始新课根据三角板拓展思维回答相关问题 （1）情景导入同学们，当你每天手握三角尺绘制自己的宏伟蓝图时，你是否仔细研究过三角尺，它作为工具在数学学习中作用非凡，同时，它又可以作为直角三角形家族的典型代表。那么，从数学的角度来看，你对这两位老朋友了解多少呢？角:(1)有一个角是直角C= (2)两个锐角互余；A+B=边:(1) 三角形两边的和大于第三边；a+bc(2)在直角三角形中，斜边大于任意一条直角边； ca, c b(3)对于比较特殊的直角三角形，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半这不是本课重点，学生回答时教师也简略而过，不必板书和过多延伸。（2）设置问题一般的直角三角形，三边之间究竟具有怎样的等量关系呢？今天我们就来探索这一小秘密。（板书课题：直角三角形三边关系）直角三角形三边关系）学生渴求直角三角形的新知，积极期待。 2、合作探究 探索 讨论 交流 （1）尝试作图画直角ABC，使两直角边的长分别是 3cm、4cm，用直尺量出斜边的长度同学们发现正好斜边正好是 5 （2）发现猜想找出这三条边有什么等量关系？ 学生基于这个特殊的直角三角形，发现了很多特殊的关系。如（3+5）2=43+42=5不能否定，因此再要求画一个直角三角形 （如果再画一个直角三角形，使两直角边的长分别是 5cm、12cm，用 两个直角三角形比较，同学自然直尺量出斜边的长度。再找出这三条边有什么等量关系。）明白上面的式子仅符合第一个直角三角形，而它们共有的规律就是“两直角边的平方和，等于斜边的平方。 ”在学生画图的前提下，再展示几何画板课件，动画演示直角三角形三边关系。巩固（3）提示帮助 如图，以这个直角三角形三条边的长度为边长，作三个正方形，计算这三个正方形的面积，并观察这三个正方形的面积有何等量关系。 3、师生互动 （1）总结特殊规律我们可以得到下面的结论：（1）以这个直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。S1+S2=S3（2）这个直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。如32+42=52 学生总结出来，教师板书（2）提出一般规律是不是所有直角三角形都有这个性质呢？世界上许多数学家，先后用不同方世界上许多数学家，先后用不同方法证明了这个结论法证明了这个结论. 我国把它称为我国把它称为“勾股定理勾股定理” 4、定理展示勾股定理（勾股定理（gou-gu theorem)：文字语言：文字语言：在一个直角三角形中：两直角边的平方和等于斜边的平方。学生思考，讨论，总结板书“勾股定理勾股定理”内容 5、勾股史话人们对勾股定理的认识经历了从特殊到一般的过程，这在世界许多地区的数学原始文献中都有反映 （1）三边古称同学们知道勾股定理这个名称的由来吗？这是源于直角三角形的三边古称 在古汉语里，人们将手臂弯曲成直角，上半部分称为勾，下半部分称为股我国古代学者又把直角三角形看作一把弓箭，所以，在直角三角形中，我们一般把较短的直角边叫做勾勾，较长的直角边叫做股股，斜边叫做弦弦 （2）商高定理 早在几千年前西周时期，商高就发现了这个结论，商高定理即为勾股定理勾股定理在我国古代数学中占有十分重要的地位，千百年来逐渐形成了一门以勾股定理及其应用为核心的中国式的几何学 当时学生很激动，为祖国的历史感到骄傲（3）百牛定理勾股定理在国外，尤其在西方被称为毕达哥拉斯定理或百牛定理他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做百牛定理1955 年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成这张邮票也是为了纪念勾股定理这个伟大的发现可毕达哥拉斯要比商高晚 500 多年，就因为我国那时没能流传出去，所以国外只承认毕达哥拉斯定理 学生很专心的听着老师的讲解学生听完这个介绍后，叹声一片，纷纷为祖国道不平，我顺势做起了思想工作，“现在科学如此发达，我们的学习条件又如此的好，我们更应努力学习，继续去完成前人未完成的事业，把祖国的贡献发扬光大，为祖国争光！”学生都会意地笑了。6、达标反馈 （1）新知应用 例 1、在 RtABC 中，ABc,BCa，ACb, B=90 .(1) 已知 a=6,b=10,求 c； (2) 已知 a=24,c=25,求 b。寻找已知条件列式求解强调先确定直角或斜边的重要性 练习 1、(1) 在 RtABC 中，ABc,BCa，ACb, B=90 已知 a=3,b=4,求 c(2)在 RtABC 中，ABc,BCa，ACb, C=90 已知 a=3,b=4,求 c(3)如果一个直角三角形的两条边长分别是 3 厘米和 4 厘米，那么这个 在前两个练习的铺垫下，学生很容易理解练习 3的用意。三角形的周长是多少厘米？（2）拓展引申例 2、将长为 5.41 米的梯子 AC 斜靠在墙上，BC 长为 2.16 米，求梯子上端 A 到墙的底端 B 的距离AB.（精确到 0.01 米） 勾股定理简单的实际应用，体会数学源于生活、用于生活的意义。强调要画图，以转化到直角三角形中解题。 练习 2、将长为 5 米的梯子 AC 斜靠在墙上，梯脚与墙的距离 BC 长为 2 米，若将梯脚与墙的距离拉到3 米，求梯子的垂直高度下降多少米？（精确到 0.01 米） 是例 2 的变式练习，体会数学的乐趣。（3）巩固练习（1）直角三角形一条直角边与斜边分别长为 3cm、5cm，则第三边长为_cm（2）在ABC 中,CRt.若a2、b3，则 c_；若 a5、c13，则 b_；若 c61、b11，则 a_. （3）如果等边三角形的周长为12cm，则它的面积为_cm（4）如图,隔湖有两点 A、B，从与 BA 方向成直角的BC 方向上的点 C,测得CA=50m,CB=40m.求 AB. 可根据时间随机而定。 课外课外延伸延伸 这个部分供学生课后探索，感受数学情趣7、定理证明 世界上很多数学家用多种方法证明了勾股定理，据说至今已经找到的证明方法有五百多种，且每年还会有所增加。下面我们就借助拼图的方法，探究证明的思路 （1）赵爽弦图 上图称为“弦图” ，或“勾股圆方图” ，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的.下图是在北京召开的 2002 年国际数学家大会（TCM2002）的会标，其图案正是“弦图” ，它标志着中国古代的数学成就.设问:你能用不同方法表示大正方形 的面积吗?用四个准备好的完全相同的直角三角形，如图所示的图形.大正方形的面积可以表示为_又可以表示为_对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论.（2）总统证法 勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠，它的证明在数学史上屡创奇迹，从毕达哥拉斯到现在，吸引着世界上无数的数学家、物理学家、数学爱好者对它的探究，甚至政界要人美国第 20 任总统加菲尔德，也加入到对它的探索证明中，如图是他当年设计的证明方法。设问:你能用不同方法表示大正方形的面积吗? 大梯形的面积可以表示为_又可以表示为_.对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论. 8、勾股之树 这个不起眼的图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家 毕达哥拉斯就是利用这个图形也证明了勾股定理你能利用勾股定理的图形设计出一棵勾股树吗？用这美丽的数学图形来装饰我们的教室吧！ 让学生感受数学的美。 六教学总结：六教学总结：（一）内容总结（一）内容总结1、本节课学习的勾股定理用语言叙述是什么，几何语言怎么书写？2、运用勾股定理时有什么注意点？3、勾股定理有什么用途？（二）方法总结（二）方法总结1、研究问题可以从特殊到一般，总结一般性规律。2、学会探索、猜想的方法，了解数形结合的思想。七课后作业七课后作业（一）课堂作业（一）课堂作业教材第 1、2、3、4 题。（二）课外延伸（二）课外延伸1.继续收集、整理有关勾股定理的证明方法的探索问题并交流。