1、第七章第七章 复数复数7.1 复数的概念复数的概念（第1课时）7.1.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念对于一元二次方程 ，当 时，没有实数根因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决 20axbxc2=40bac一、创设情境，一、创设情境，引入问题引入问题引入引入那么，如何解决数学家在研究解方程问题时遇到的负实数开平方问题呢？23x ，3321212121x 4 x 3154.xx解方程方法方法1：用三次方程求根公式（卡丹公式）解得解得16世纪数学家的困惑得到：负数是否可以开平方？2(4)(41)0 xxx方法方法2：用因式分解23x ，一、创设情境，一、
2、创设情境，引入问题引入问题3321212121=4问题问题1 从方程的角度看，负实数能不能开平方，实际上就是方程x2=-a（a0）有没有解的问题能不能把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程x2+1=0有没有解的问题呢？一、创设情境，一、创设情境，引入问题引入问题追问追问 x2+1=0在实数集中无解，能否引入新数，适当地扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？（1）在自然数集中求方程 x+1=0 的解；（2）在整数集中求方程 2x-1=0 的解；（3）在有理数集中求方程 x2-2=0 的解.二、回顾历史，发现扩充规则二、回顾历史，发现扩充规则
3、问题问题2 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系.回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？ 自然数集整数集有理数集实数集刻画相反意义的量引入了负数解决测量等分问题引入了分数解决度量正方体对角线等问题引入了无理数自然数负整数整数无理数有理数分数实数u 从社会实践来看随着社会发展，数系在不断扩充二、回顾历史，发现扩充规则二、回顾历史，发现扩充规则计数的需要引入了自然数u从数学发展的角度来看（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R无解有解无解有解有解无解（3）在有理数集中求x2-2
4、=0方程的解； 数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题（4）在实数集中求x2+1=0方程的解无解有解？引入引入新数新数（1）在自然集中求方程x+1=0的解；二、回顾历史，发现扩充规则二、回顾历史，发现扩充规则如果没有运算，数只是孤立的符号！有理数集有理数集实数集实数集运算运算运算律运算律交换律交换律结合律结合律分配律分配律交换律交换律结合律结合律分配律分配律数系扩充规则：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律引入了引入了无理数无理数（）（）（）（）（）（）二、回顾历史，发
5、现扩充规则二、回顾历史，发现扩充规则问题问题3 数系扩充后，在运算上遵循了什么规则？问题问题4 类比从自然数集到实数集的扩充过程，特别是从有理数集到实数集的扩充过程，你能设想一种方法，使方程x2+1=0有解吗？历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的. 我们可以引入一个数“i”，使i2=-1，这样x=i就是方程x2+1=0的解 三、依据规则，引入复数概念三、依据规则，引入复数概念实数新数i加法运算乘法运算a+ibia+bi(a，bR)3+i2i3+2i依据规则：在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的
6、加法和乘法运算协调一致三、依据规则，引入复数概念三、依据规则，引入复数概念问题问题5 根据上述规则，你能说出实数集经过扩充后，得到的新数集由哪些数组成吗？你能写出新数的一般形式吗？i=iacabcdbd，=+=(a，b，c，dR)三、依据规则，引入复数概念三、依据规则，引入复数概念问题问题6 我们知道复数集是由形如a+bi(a，bR)的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，请阅读教科书，说说两个复数相等的含义判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等！虚数集虚数集纯虚数集纯虚数集实数集实数集复复数数集集000000babbab实数
7、()纯虚数(，)虚数()非纯虚数(，)复数z=a+bi三、依据规则，引入复数概念三、依据规则，引入复数概念问题问题7 我们已经将实数集扩充到复数集，你能对复数a+bi(a，bR)进行分类，并用韦恩图表示它们之间的关系吗？N，Z，Q，R，C四、依据概念，四、依据概念，解决问题解决问题10 0.618 2+73i 2+i 5i+8i(i3)3-， ，例例1 请你说出下列集合之间的关系： 例例2 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数例例3 当实数m取什么值时，复数 是下列数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数 1(1)izmm例例4 已知 求实数x，y的值？()(1
8、)i(23 )(21)ixyyxyy，五、反思总结，提炼学习收获五、反思总结，提炼学习收获通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈 数系扩充的基本规则复数的基本概念两个复数相等的含义复数的分类实数系扩充到复数系运用了类比的研究方法.解决复数相等问题运用了转化的数学思想.方法方法教科书习题7.1第1，2，3题六、布置作业六、布置作业七、目标检测七、目标检测1.a=0是复数a+bi （a,b R）为纯虚数的（ ）.（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分条件也非必要条件2.当实数m取什么值时，复数 是下列数？（1）实数；（2）纯虚数；（3）0.3.求适合下列方程的实数x与y的值:（1） ；（2） .(3)(4)i=0 xyx()(2 )i(25)(3)ixyxyxxy再再 见见
