1、第十九章第十九章 一次函数一次函数人教版八年级下册人教版八年级下册CONTENT 目 录1、函数2、一次函数19.1.1变量与函数变量与函数 第第 1 课时课时19.1函数函数 当我们用数学的眼光来分析现实世界的各种现象时,会遇到各种各样的量,如物体运动中的速度、时间和距离;圆的半径、周长和圆周率;购买商品的数量、单价和总价;某城市一天中各时刻变化着的气温等.在某一个过程中,有些量固定不变,有些量不断改变.为了更好地认识和了解这些变化现象中所隐含的变化规律,从本节课开始我们将学习这一部分知识.问题:汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶时间为t h. 1.填写下表,s的值随t的值的变化而变化
2、吗?学学 习习 新新 知知2.在以上这个过程中,不变化的量是 .变化的量是 . t/h12345s/kmt/h12345s/km60120180240300行驶里程s与时间t速度60 km/h 3.试用含t的式子表示s.s=60t.s随t的增大而增大. 问题:电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票,票房收入为y元,y的值随x的值的变化而变化吗?1.电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,则第一场电影的票房收入为元; 第二场售出205张票,则第二场电影的票房收入为元; 第三场售出310
3、张票,则第三场电影的票房收入为元. 150020503100 2.设一场电影售票x张,票房收入y元,则用含x的式子表示y为 . y=10 x且y随x的增大而增大问题:你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10 cm,20 cm,30 cm时,圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗? (1)填表:(2) S与r之间满足下列关系:S=. 半径r(cm)102030圆面积S(cm2)半径r(cm)102030圆面积S(cm2)314 1256 2826 r2圆的半径越大,它的面积就越大. 问题:用10 m长的绳子围成一个矩形,当矩形的一边长x分别
4、为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,它的邻边长y分别为多少?y的值随x的值的变化而变化吗?一边长为3 m,则它的邻边长为5-3=2(m).一边长为3.5 m,则它的邻边长为5-3.5=1.5(m).一边长为4 m,则它的邻边长为5-4=1(m).一边长为4.5 m,则它的邻边长为5-4.5=0.5(m).若矩形一边长为x m,则它的邻边长为y=5-x(m),y随x的增大而减小.小结小结变量和常量的定义变量和常量的定义:在某个变化过程中在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量我们称数值发生变化的量为变量为变量;数值始终不变的量叫做常量数值始终不变的量叫做常量.问题(1):下图是某地一天的
5、气温变化图象,任意给出这天中的某一时刻t,你能说出这一时刻的气温T吗? 这一问题中涉及哪几个量? 它们变化吗? 问题(3):你能举出生活中类似的例子吗?可以小组讨论.问题(2):弹簧原长22 cm,弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有如下关系:在这个问题中变化的量是什么?不变化的量是什么?x/kg0123456y/cm22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 弹簧的原长不变,为22 cm,弹簧伸长的长度随着物体质量的变化而变化.因此,弹簧的总长=原长+伸长的长度.知识拓展知识拓展(1)常量与变量是相对而言的,是相对某个变化过程来说 的,换句话
6、说,在这个变化过程中是变量,而在另一个 变化过程中有可能以常量身份出现.(2)判断一个量是常量还是变量关键是看这个量所在的 变化过程中,该量的值是否发生变化.(3)常数也叫常量,如S=r2,其中常量是. 例：例：(补充) 若球体体积为V,半径为R,则V= R3.其中变量是、,常量是. 解析根据变量和常量的概念进行求解,解题时注意是一个常量.43VR343R 例：例：(补充) 写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:(1)圆的周长C与半径r的关系式; 解析先根据实际问题确定所给问题的关系式,再根据变量和常量的概念进行求解. (2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所
7、用时间t(小时)的关系式.解:C=2r,2是常量,r,C是变量. 解：s=60t,60是常量,t,s是变量. 寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤：1.确定事物变化中的变量与常量.变量和常量的定义:在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量叫做常量.2.尝试运算寻求变量间存在的规律.3.利用学过的有关知识公式确定关系式.课堂小结课堂小结 检测检测反馈反馈 1.学校购买某种型号的钢笔作为学生的奖品,钢笔的价格是4元/支,则总金额y(元)与购买支数x(支)的关系式是,其中变量是,常量是. 解析解析:钢笔的价格是4元/支,总金额y(元)与购买支数x(支)的关系式是y=4
8、x,变量为x,y,常量为4.y=4xx,y42.在圆的周长公式 C=2R 中,下列说法正确的 是()A.,R是变量,2 是常量B. R是变量,C,2,是常量C.C是变量,2,R是常量D. C,R是变量,2,是常量解析解析:C=2R,变量为C,R,常量为2,. 故选D.D3.分别指出下列各关系式中的变量与常量.(1)三角形的一边长为5 cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是S= h;解:S= h,变量为S,h,常量为 . 525252(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为(度),则另一个锐角(度)与(度)间的关系式是=90-.解:=90- ,变量为,常量为-1,90.4.要画
9、一个面积为10 cm2的圆,圆的半径应取多少?圆的面积为20 cm2呢?怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径r?解:根据圆的面积公式S=r2 ,得r = ,面积为10 cm2的圆半径r = 1.78(cm).面积为20 cm2的圆半径r = 2.52(cm).用圆面积S的式子表示圆半径r的关系式为r = .s1 020s19.1.1变量与函数变量与函数 第第 2 课时课时19.1函数函数 想一想想一想 你听说过“两个铁球同时落地”的故事吗?站在比萨斜塔顶部,让两个铁球自由下落,在铁球下落的过程中,随着时间的变化,铁球下落的速度是怎样变化的?铁球下落的速度v随下落的时间t的变化而变化.这就是我们今
10、天要继续学习的内容. (1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?学学 习习 新新 知知对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应. (2)在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与y,对于表中每一个确定的年份(x),都对应着一个确定的人口数(y)吗?对于表中每个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y.年份人口数/亿198410.34198911.06199411.76199912.52201013.71小结小结 一般地一般地,在一个变化过程中在一个变化过程
11、中,如果有两个变如果有两个变量量x与与y,并且对于并且对于x的每个确定的值的每个确定的值,y都有唯都有唯一确定的值与其对应一确定的值与其对应,那么我们就说那么我们就说x是自变是自变量量,y是是x的函数的函数.如果当如果当x=a时时,y=b,那么那么b叫做叫做当自变量的值为当自变量的值为a时的函数值时的函数值.知识拓展知识拓展 (1)当已知函数解析式时,给出自变量的值,求相应函数值,就是将自变量x的值代入函数解析式,求代数式的值. (2)当已知函数解析式时,给出函数值,求相应自变量x的值,就是解方程. (3)已知函数解析式,当自变量确定时,函数值也唯一确定;当函数值确定时,自变量不一定唯一确定.
12、 例：例：(教材例1)汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶路程x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为0.1 L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子;解:行驶路程x是自变量,油箱中的油量y是x的函数, 它们的关系为y=50-0.1x.(2)指出自变量x的取值范围.解：仅从式子y=50-0.1x看,x可以取任意实数. 但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程,因此x不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x,它不能超过油箱中现有汽油量50,即0.1x50.因此,自变量x的取值范围是0 x500. (3)汽车行驶200 km时,油箱中还有多少汽油?解：汽车
13、行驶200 km时,油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x 在x=200时的函数值. 将x=200代入y=50-0.1x,得y=50-0.1200=30.故汽车行驶200 km时,油箱中还有30 L汽油.归纳总结当函数关系式表示实际问题时,自变量的取值必须使实际问题有意义. 例：例：(补充) 求下列函数中自变量x的取值范围. (1)y=3x-1；(2)y=2x2+7；解: x为任意实数.解：根据题意，得x+20,则x-2.解: x为任意实数. 13=2yx； 4=2.yx解： 根据题意，得x-20,则x2. 含分式的函数,自变量的取值范围应满足的条件是:分母不为0;含二次根式的函数,自变量的取
14、值范围应满足的条件是:被开方数为非负数;既含分式又含二次根式的函数,自变量的取值范围应满足的条件是:分母不为0且被开方数为非负数.归纳总结归纳总结 解析式解析式 在例1中,像y=50-0.1x这样,用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法.这种式子叫做函数的解析式.(1)在变化过程中有两个变量x,y,如果对于x的取值范围内的每一个确定的值y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.(2)函数解析式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义.可分为下列几种情况: 解析式解析式当函数解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数. 当函数解析式是分式(分母中含
15、有字母)时,自变量的取值范围要使分母不为零.当函数解析式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数是非负数. 在实际问题中,自变量的取值范围除使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义. 自变量的取值范围可以是有限或无限的,也可以是几个数或单独的一个数. 函数解析式是等式,指明了哪个是自变量,哪个是函数,书写函数解析式是有顺序的.例如y=x-4表示y是x的函数;若x=y+5,则表示x是y的函数,也就是说求y关于x的函数解析式,必须用含自变量x的代数式表示y,即等式的左边是一个变量y,右边是一个含x的代数式.解解析析 1.在变化过程中有两个变量x,y,如果对于x的取值范围内的每一个确定的值y都
16、有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结2.函数解析式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义.(1)当函数解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数.(2)当函数解析式是分式(分母中含有字母)时,自变量的取值范围要使分母不为零.(3)当函数解析式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数是非负数.(4)在实际问题中,自变量的取值范围除使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义. 检测检测反馈反馈 1.下表表示y与x的函数关系,则此函数的解析式为. 解析解析:根据表格中的数据知:y是x的一半的相反 数,故y=-0.5x.故填y=-0.5x.y=0
17、.5xx6420-2-4y-3-2-10122.自来水的收费标准是每月不超过10吨,每吨水1.2元,超过部分每吨水1.8元,小王家5月份用水x吨(x10),应交水费y元,则y与x的函数关系式为 . 解析解析:小王家的水费=10吨的水费+超过10吨部分的水费.即y=101.2+1.8(x-10)=12+1.8x-18=1.8x-6.故填y=1.8x-6.y=1.8x-63.甲车速度为20米/秒,乙车速度为25米/秒.现甲车在乙车前面500米,设x秒后两车之间的距离为y米.求y随x(0 x100)变化的函数解析式.解:由题意可知x秒后两车行驶路程分别是:甲车为20 x米,乙车为25x米.两车行驶路
18、程差为25x-20 x=5x(米),两车之间距离为(500-5x)米,所以y随x变化的函数关系式为y=500-5x(0 x100).19.1.2函数的图象函数的图象第第 1 课时课时19.1函数函数 想一想想一想 下图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息?1.一天中每时刻t都有唯一的气温T与之对应.可以认为,气温T是时间t的函数. 2.这天中4时气温最低,为-3 ;14时气温最高,为8 . 3.从0时至4时气温呈下降状态,即温度随时间的增加而下降.从4时至14时气温呈上升状态,从14时至24时气温又呈下降状态. 4.我们可以从图
19、象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少. 5.如果长期观察这样的气温图象,我们就能得到更多信息,掌握更多气温变化规律.正方形的边长x与面积S的函数关系是什么?其中自变量x的取值范围是什么?计算并填写下表:学学 习习 新新 知知x00.511.522.533.54S 思考表示x与S的对应关系的点有多少个?如果全在坐标纸中描出的话是什么样子?可以讨论一下,然后发表你们的看法,建议大家不妨动手画画看. 图中每个点都代表x的值与S的值的一种对应关系.如点(2,4)表示x=2时S=4.小结小结 一般地一般地,对于一个函数对于一个函数,如果把自变量与如果把自变量与函数的每对对应值分别作为
20、点的横、纵坐标函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是就是这个函数的图象这个函数的图象.上图中的曲线即为函数上图中的曲线即为函数S=x2(x0)的图象的图象. 想一想：要做一个面积为12 m2的长方形小花坛,该花坛的一边长为 x m,周长为 y m.(1)变量 y 是变量 x 的函数吗?如果是,写出自变量的取值范围; 由于面积一定的长方形,当一条边长为x m时,另一条边长可以用x表示出来,那么长方形的周长y随着x的变化而变化,由函数的定义可知,y 是 x 的函数,自变量 x 的取值范围是x0.(2)能求出这个问题的函数解析式
21、吗? 解：由长方形的面积公式可得,另一条边长为 m,周长为y=2 m.1 2x12xx (3)当 x 的值分别为1,2,3,4,5,6 时,请列表表示变量之间的对应关系;(4)能画出函数的图象吗?x/m123456y/m2616141414.816用描点法画函数图象的一般步骤:归纳总结归纳总结 第一步:列表表中给出一些自变量的值及其对应的函数值; 第二步:描点在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点; 第三步:连线按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑曲线连接起来.知识拓展知识拓展 画实际问题的图象时,必须先考虑函数自变量的取值范围.有时为了
22、表达的方便,建立直角坐标系时,横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致. 例：例：(教材例3)在下列式子中,对于x的每一个确定的值,y有唯一的对应值,即y是x的函数. 画出这些函数的图象:(1)y=x+0.5; 解：从式子y=x+0.5可以看出,x取任意实数时这个式子都有意义,所以x的取值范围是全体实数. 从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表（计算并填写表中空格）.从函数图象可以看出,直线从左向右上升,即当x由小变大时,y=x+0.5随之增大.x -3 -2-10123y -0.5 0.51.52.5根据表中数值描点（x,y),并用平滑曲线连接这些点.(1)y= 解：列表(计算并填写
23、表中空格).x0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 456y6321.560 xx根据表中数值描点(x,y),用平滑曲线连接这些点. 例：例：(补充)王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习,在某处按函数关系式y= 击球,球正好进洞.其中,y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离.(1)试画出高尔夫球飞行的路线; 解析高尔夫球飞行的路线,也就是函数y= 的图象,用描点法画出图象.在列表时要注意自变量x的取值范围,因为x是球飞出的水平距离,所以x不能取负数.在建立直角坐标系时,横轴(x轴)表示球飞出的水平距离,纵轴(y轴)表示球的飞行高度.x012345678y0 1.42.4 3 3
24、.2 3 2.41.4 021855xx21855xx解：列表如下：在直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致图象，如图所示. (2)从图象上看,高尔夫球的最大飞行高度是多少?球的起点与洞之间的距离是多少?解析高尔夫球的最大飞行高度就是图象上最高点对应的y值(如图点P),球的起点与球进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点,如图点O和点A,点O和点A横坐标差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离.解：高尔夫球的最大飞行高度是3.2 m,球的起 点与洞之间的距离是8 m. 例：例：(教材例2)如图(1)所示,小明家、食堂、图书馆在同一条直线上. 小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,
25、然后回家. 图(2)反映了这个过程中,小明离家的距离y与时间x之间的对应关系. 根据图象回答下列问题:(1)食堂离小明家多远?小明从家到食堂用了多少时间?解析小明离家的距离y是时间x的函数. 由图象中有两段平行 于x轴的线段可知,小明离家后有两段时间先后停留在 食堂与图书馆里.解:由纵坐标看出,食堂离小明家0.6 km;由横坐标看出, 小明从家到食堂用了8 min. (2)小明吃早餐用了多少时间?解：由横坐标看出,25-8=17,小明吃早餐用了17 min.(3)食堂离图书馆多远?小明从食堂到图书馆用了多少时间?解：由纵坐标看出,0.8-0.6=0.2,食堂离图书馆0.2 km;由横坐 标看出
26、,28-25=3,小明从食堂到图书馆用了3 min.(4)小明读报用了多少时间?解：由横坐标看出,58-28=30,小明读报用了30 min.(5)图书馆离小明家多远?小明从图书馆回家的平均速度是多少?解：由纵坐标看出,图书馆离小明家0.8 km;由横坐标看出, 68-58=10,小明从图书馆回家用了10 min,由此算出平均 速度是0.08 km/min. 在观察实际问题的图象时,先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义.然后观察图形,分析两变量的相互关系,结合题意寻找对应的现实情境.归纳总结归纳总结 1.一般地,对于一个函数,若把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标,
27、则坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.课堂小结课堂小结 2.函数的图象(1)用描点法画函数图象的一般步骤是: 列表;描点;连线.(2)当函数图象从左向右上升时,函数值随自变量的变大而变大;当函数图象从左向右下降时,函数值随自变量的变大而变小. 检测检测反馈反馈 1.在某次试验中,测得两个变量m与v之间的4组对应数据如下表:则m与v之间的关系最接近于下列各关系中的()A.v=2m-2 B.v=m2-1 C.v=3m-3D.v=m+1解析解析:将试验中的数据依次代入A,B,C,D四个关系式中检验.故选B.Bm1234v0.01 2.9 8.03 15.1解析解析:根据图象可以看出乙比
28、甲晚出发18分钟,但比甲早到12分钟,正确;甲的平均速度是 =15(千米/时),正确;乙的平均速度是 =60(千米/时),设甲出发x小时后与乙相遇,则 24(分钟),故乙出发24-18=6(分钟)后追上甲,正确;相遇时,乙走了 =6(千米),错误.故正确的有,共3个.故选B.2.甲、乙两人以相同路线前往距离单位10千米的培训中心参加学习. 图中l甲、l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s(千米)与时间t(分钟)的函数关系.以下说法:乙比甲提前12分钟到达;甲的平均速度为15千米/时;乙走了8千米后遇到甲;乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个B2
29、103110632 21560(),60105 5xxx解得2360 ()5103.16个月的婴儿生长发育得非常快,他们的体重y(克)和月龄x(月)之间的关系可以用y=a+700 x表示,其中a是婴儿出生时的体重.若一个婴儿出生时的体重是4000克,请用表格表示在16个月内,这个婴儿的体重y与x之间的关系:解析解析:由题意知函数关系式是y=4000+700 x,然后把x的值分别代入即可求y的值.月龄月龄/月月123456体重体重/克克月龄月龄/月月123456体重体重/克克4700 5400 6100 6800 7500 82004.已知矩形的周长是8 cm,设一边长为x cm,与其相邻的一边
30、长为y cm.(1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;解解:矩形的周长是8 cm,2x+2y=8, y=4-x,自变量x的取值范围是0 x0时,图象经过第一、三象限,从左向右上 升,y随x的增大而增大(递增).(3)当k0时,直线从左到右呈上升趋势,经过第一、三象限;当k0,反之,k0等. 例：(补充) (1)已知一个正比例函数的图象经过点(-1,3),则这个正比例函数的表达式是. 解析设正比例函数的解析式为y=kx,把点(-1,3)代入解析式求出k的值即可. 解:(1)设正比例函数的解析式为y=kx,正比例函数的图象经过点(-1,3),-k=3,k=-3,这个正比例函数的表达
31、式是y=-3x.y=-3x(2)函数y=5x-b2+9的图象经过原点,则b=. 解析把原点坐标(0,0)代入函数解析式列方程进行求解.解：函数y=5x-b2+9的图象经过原点(0,0), -b2+9=0,b2=9,b=3.3直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,2k-30,k故k的取值范围是k解析根据正比例函数性质列不等式进行求解. (3)直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,则k的取值 范围是. 3.23.232k 例：(补充) 已知点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上.（1）求k的值;解:点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上, 2k=-4, k=-2.解析把点(-1,m)代
32、入(1)中函数解析式列方程进行求解.解析把点(2,-4)代入y=kx中列方程进行求解. (2)若点(-1,m)在函数y=kx的图象上,试求出m的值;解：由k=-2得y=-2x, 点(-1,m)在函数y=-2x的图象上,m=-2(-1)=2.解：y=-2x,k=-20,y随x的增大而减小,A B(-2,y2),C(1,y3)都在函数y=-2x的图象上,-2 1,y3y10时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即:随着x的增大y也增大;当k0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即:随着x的增大y反而减小. 检测检测反馈反馈1.下列函数解析式中,不是正比例函数的()A.xy=-
33、2B.y+8x=0 C.3x=4yD.y= - x解析解析:根据正比例函数的定义:一般地,两个变量x,y之间的解析式可以表示成形如y=kx(k为常数,且k0)的形式,那么y就叫做x的正比例函数.不是正比例函数的是A.故选A.A122.函数y=(1-k)x中,如果y随着x增大而减小,那么常数k的取值范围是()A.k1 C.k1D.k1B解析解析:函数y=(1-k)x中,y随着x的增大而减 小,1-k1.故选B.3.我国是一个严重缺水的国家,大家应倍加珍惜水资源,节约用水.据测试,拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05 mL.小红同学在洗手后,没有把水龙头拧紧,当小红离开x h后水龙头滴
34、了y mL水.则y关于x的函数解析式为. y=360 x解析解析:因为水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05 mL,所以当小红离开x h后水龙头的滴水量y=360020.05x=360 x.故填y=360 x.4.直线y= x经过(0,),( ,2),且过 第 象限,y随x的增大而. 023解析解析:由y= x可知当y=2时,x=3,故直线y= x经过(0,0),(3,2).由k= 0可知直线y= x过第一、三象限,y随x的增大而增大.2323233一、三增大235.已知函数y=(k+3)x|k|-4是正比例函数,且 y随x的增大而减小,那么k=. 解析解析: 函数y=(k+3)x|k|-4
35、是正比例函数,且y随x的增大而减小, k=-5.故填-5.4=130.kk，-56.已知某种小汽车的耗油量是每100 km耗油15升.所使用的93汽油今日涨价到5元/升.(1)写出汽车行驶途中所耗油费 y(元)与行程 x(km)之间的函数关系式;15=5= 0.75100yxx.解 ：(2)在平面直角坐标系内描出大致的函数图象;解：列表，得：描点,连线,得到函数y=0.75x的图象(如图).x01y=0.75x00.75(3)计算娄底到长沙220 km所需油费是多少?当x=220时,y=0.75220=165(元)19.2.2一次函数一次函数第第 1 课时课时19.2一次函数一次函数 想一想想
36、一想下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是,请写出函数解析式,这些函数解析式有哪些共同特征?(1)有人发现,在2025 时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t()有关,即c的值约是t的7倍与35的差. (2)一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是:以厘米为单位量出身高值h,再减常数105,所得差是G的值.c=7t-35(20t25).G=h-105.(3)某城市的市内电话的月收费额y(元)包括月租费22元和拨打电话x min的计时费(按0.1元/ min收取).y=0.1x+22.(4)把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少x cm,宽不变,长方形的面积y(cm2)随x的值而变化
37、. y=-5x+50(0 x0时,向上平移;当b0时,直线y=kx+b从左向右上升;当k0时,y随x的增大而增大;当k0.解:y的值随x的增大而增大, 2m-10, 解得m .(2)当n为何值时,此一次函数也是正比例函数;12解：由题意知n+3=0,解得n= -3.解析:一次函数为正比例函数时,n+3=0; (3)若m=1,n=2,写出函数解析式,求函数图象与x轴和y轴的交点坐标;画出图象,根据图象求x取什么值时,y0?解析:若m=1,n=2时,可确定一次函数解析式,再求函数图象与x轴、y轴的交点;再根据图象判断y0时,x的取值范围.解: 若m=1,n=2,则一次函数的解析式为y=x-5,令y
38、=0,得x=5,令x=0,得y=-5,故函数图象与x轴、y轴的交点分别为(5,0),(0,-5),其函数图象如图所示.由图象知当x5时,y0.知识拓展 (1)由由k,b的符号可确定直线的符号可确定直线y=kx+b的位置的位置.反过来反过来,由直线由直线 y=kx+b的位置也可以确定的位置也可以确定k,b的符号的符号.不画图象不画图象,由由k,b的符号的符号 直接判定直线的位置直接判定直线的位置,k的符号决定直线的倾斜方向的符号决定直线的倾斜方向,b的符号的符号 决定直线与决定直线与y轴交点的位置轴交点的位置. (2)|k|的大小决定直线的倾斜程度的大小决定直线的倾斜程度,即即|k|越大越大,直
39、线与直线与x轴相交成轴相交成 的锐角越大的锐角越大;|k|越小越小,直线与直线与x轴相交成的锐角越小轴相交成的锐角越小.b决定直决定直 线与线与y轴交点的位置轴交点的位置,b0,直线与直线与y轴的交点在轴的交点在y轴的正半轴轴的正半轴 上上;b0k0,b0k0,b0k0 k0,b0时,y随x的增大而增大, 当k0时,向上平移;当b0时,向下平移).3.一次函数的图象的画法.由于一次函数的图象是直线,因此只要确定两个点就能画出它,一般选取直线与x轴、y轴的交点. 检测检测反馈反馈1.下列一次函数中y随x值的增大而减小的是()A.y=2x+1 B.y=3-4x C.y= x+2 D.y=(5-2)
40、x解析解析:根据一次函数的性质可知:当k0时,y随x的增大而减小,寻找k0的一次函数即可.B2 2.y=3x与y=3x-3的图象在同一坐标系中的位置关系是()A.相交B.互相垂直C.平行D.无法确定解析解析:一次函数y=kx+b(k0)的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.因此,当k相同时,两条直线互相平行.故选C.C 3.将直线y= x+3向平移个单位长度可得到直线y= x-2. 下解析解析:直线y= x+3可以看作是由直线y= x向上平移3个单位长度得到的,直线y= x-2可以看作是由直线y= x向下平移2个单位长度得到的.因此,将直线y= x+3向下平移5个单位长度可得到直线
41、y= x-2.512121212121212124.若一次函数y=(1-2m)x+3的图象经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点.当x1y2,则m的取值范围是什么?解:由x1y2可知y随x的增大而减小, 因此1-2m .1219.2.2一次函数一次函数第第 3 课时课时19.2一次函数一次函数 想一想想一想已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度内是所挂物质量x(千克)的一次函数.现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂质量是4千克的重物时,弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式. 不挂物体时弹簧的长度是6厘米和挂质量是4千克的重物时,弹簧的长度是7.2厘米,相当于知道了两对对应值:当
42、x=0时,y=6;当x=4时,y=7.2. 提问:已知一个一次函数当自变量x=-2时,函数值y=-1,当x=3时,y=-3.能否写出这个一次函数的解析式呢?学 习 新 知 由已知条件x=-2时,y=-1,得-1=-2k+b;由已知条件x=3时,y=-3,得-3=3k+b.两个条件都要满足,即解关于k,b的二元一次方程组: 解得所以一次函数的解析式为 1=23=3kbkb.，2=59=.5k-b-，29=.55yx 像上述过程,先设出解析式,再根据条件确定解析式中的未知系数,从而得到解析式的方法,叫做待定系数法. 探究:求一次函数y=kx+b的解析式,需要具备几个条件才可以求出k和b的值?(1)
43、设出函数解析式的一般形式为y=kx+b.(2)把自变量x与函数y的对应值(可能是以函数图象上点的坐标的形式给出)代入函数解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组.(3)解方程或方程组,求出待定系数的值.(4)写出所求函数的解析式. 例例:(补充)已知一次函数y=kx+b,当x=5时,y=4,当x=-2时,y=-3,求这个一次函数的解析式.解析:由于一次函数y=kx+b有k和b两个待定系数,因此用待定系数法,把x = 5时,y = 4和x=-2时,y=-3分别代入函数解析式,得到两个关于k和b的二元一次方程组成的二元一次方程组.解方程组后就能确定一次函数的解析式.解:由题意可知 解得这个一次函数
44、的解析式为y=x-1.4=53=2kbkb.，=1=-1kb.， 例：(教材例4)已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),求这个一次函数的解析式.解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k0).因为y=kx+b的图象过点(3,5)与(-4,-9), 所以 解方程组得所以这个一次函数的解析式为y=2x-1.解析:求一次函数y=kx+b的解析式,关键是求出k,b的值.因为图象过点(3,5)与(-4,-9),所以这两个点的坐标适合解析式,从而得到关于k,b的二元一次方程组,解方程组求出k,b即可确定一次函数解析式. 5=39=4kbkb.，=2=-1kb.， 例：(补充)已知一次函数的图
45、象如图所示,写出函数的解析式.讨论:(1)根据图象你能得到哪些信息? (2)你能找到确定一次函数解析式的条件吗?解:设所求的一次函数的解析式为y=kx+b(k0).因为直线经过点(2,0),(0,4),所以把这两点坐标代入解析式,得解得所以所求的一次函数的解析式是y=-2x+4.0=24=kbb.，=-2=4kb.，思考: 前面我们学习了根据一次函数解析式画图象的方法,现在我们又学习根据一次函数的图象求一次函数的解析式,你认为两者有何关系? 已知一次函数的解析式画图象与已知一次函数的图象求解析式,二者的解题过程的关系如下:函数解析式y=kx+b 满足条件的两定点(x1,y1),(x2,y2)
46、一次函数的图象直线l. 例： (教材例5)“黄金1号”玉米种子的价格为5元kg, 如果一次购买2 kg以上的种子,超过2 kg部分的种子价格打8折.(1)填写下表: 探究:(1)付款金额与什么有关?种子价格是固定的吗?它与什么有关?种子的价格是如何确定的?购买量kg0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 付款金额元 付款金额与种子价格相关.问题中种子价格不是固定不变的,它与购买量有关. 设购买种子数量为x kg,当0 x2时,种子价格为5元/kg;当x2时,其中有2kg种子按5元/kg计价,其余的(x-2)kg即超出2kg的部分种子按4元/kg(即8折)计价.因此,写函数解析式与画函数
47、图象时,应对0 x2和x2分段讨论.购买量kg0.511.522.533.54付款金额元2.557.5 1012141618 根据函数图象思考:(1)一次购买1.5 kg种子,需付款多少元?(2)一次购买3 kg种子,需付款多少元?知识拓展 确定实际问题中的一次函数关系式时,首先要将实际问题转化为数学问题,即建立数学模型;其次是建立函数与自变量的关系式,要注意确定自变量的取值范围.课堂小结课堂小结1.求一次函数解析式的一般步骤有求一次函数解析式的一般步骤有:设出一次函数解析式设出一次函数解析式y=kx+b(k0),将两个点的坐标代入将两个点的坐标代入,得二元一次方程组得二元一次方程组,解方程组
48、求出解方程组求出k和和b的值的值,写出答案写出答案.2.一次函数解析式的确定通常有下列几种情况一次函数解析式的确定通常有下列几种情况:(1)利用待定系数法利用待定系数法,根据两对根据两对x和和y的值的值,列出方程组列出方程组确定确定k,b的值的值,进而求出一次函数的解析式进而求出一次函数的解析式.(2)根据图象上两点坐标求出一次函数的解析式根据图象上两点坐标求出一次函数的解析式. 检测检测反馈反馈1.已知一次函数y=kx+b,当x= - 4时y=9,当x=6时y=-1,则 此函数的解析式为. 解析解析:把x=-4,y=9和x=6,y=-1分别代入y=kx+b,得到关于k和b的二元一次方程组,解
49、方程组求出k和b的值即可确定函数解析式.故填y=-x+5.y=-x+5 2.一条平行于直线y=-3x的直线交x轴于点(2,0),则该直线与y轴的交点是. 解析解析:因为所求直线与直线y=-3x平行,所以可设直线的解析式为y=-3x+b,因为该直线与x轴交于点(2,0),所以点(2,0)适合解析式,求出b的值即可确定直线解析式.再求当x=0时y的值,即可求出直线与y轴的交点坐标.故填(0,6).(0,6) 3.如图所示,求直线AB对应的函数解析式. 解:设直线解析式为y=kx+b.因为直线过点(0,3),(2,0), 所以 解得 所以一次函数解析式为y=- x+3.0=23=kbb.，3=-2=
50、3.kb，324.如图所示,折线ABC是在某市乘出租车所付车费y(元)与行车里程x(km)之间的函数关系的图象.根据图象,写出该函数的解析式.解:根据图象可知:当0 x3时,y=7.当x3时,设y与x的函数解析式为y=kx+b,因为直线y=kx+b经过点(3,7),(8,14),所以解得 所以一次函数解析式为y= x+ . 故y与x的函数解析式合起来表示为y=757=314=8.kbk+b，1457 037143 .55xx+x ，7514.5kb，19.2.3一次函数与方程、不等式一次函数与方程、不等式19.2一次函数一次函数 想一想想一想问题1(1)解方程2x-4=0.(2)当自变量x为何
