1、22.1 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数二次函数R九年级上册九年级上册 问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落落到池中央到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？之间有什么关系？ 上面问题中变量之间的关系上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？哪些联系？ （1）会列二次函数表示实际问题中
2、两个变量）会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系的数量关系.（2）能判断所给函数是否是二次函数，）能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数能说出二次函数的项和各项系数. 正方体的表面积正方体的表面积y与棱长与棱长x的关系式为的关系式为 ，y是是x的函数吗？的函数吗？知识点1y=6x2是是 显然，对于显然，对于x的每一个值，的每一个值，y都有一个对应值，即都有一个对应值，即y是是x的函数的函数，它们，它们的函数关系式为的函数关系式为y=6x2. . 我们再来看几个问题。我们再来看几个问题。问题问题1 n个球队参加比赛，个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比每两队之间进
3、行一场比赛，比赛的场次数赛的场次数m与球队数与球队数n有什么关系？有什么关系？ 分析：分析：每个队要与其他每个队要与其他 个个球队各比赛一场，而甲队对乙球队各比赛一场，而甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛是同一场比赛. .(n-1) 112mn n（）m是是n的函数吗？的函数吗？211-22mnn 即即所以比赛的场次数为所以比赛的场次数为 表示比赛的场次数表示比赛的场次数m与球队数与球队数n的关系，对的关系，对于于n的每一个值，的每一个值，m都有一个对应值，即都有一个对应值，即m是是n的函数的函数.211-22mnn 某种产品现在的年产量为某种产品现在的年
4、产量为20t，计划今后两，计划今后两年增加产量年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加如果每年都比上一年的产量增加x倍，倍，那么两年后这种产品的年产量那么两年后这种产品的年产量y将随计划所定的将随计划所定的x值而确定，值而确定，y与与x之间的关系应怎样表示？之间的关系应怎样表示？问题问题2 产品原产量是产品原产量是20t，一年后的产量是原产量的，一年后的产量是原产量的 倍；倍；两年后的产量是一年后的产量的两年后的产量是一年后的产量的 倍倍.于是两年后的产于是两年后的产量量y与增加的倍数与增加的倍数x的关系式为的关系式为 .(1+x)(1+x)y=20(1+x)2y是是x的函数吗？的函数吗？y
5、=20(1+x)2y=20 x2+40 x+20 表示两年后的产量表示两年后的产量y与计划增产的倍数与计划增产的倍数x的关的关系，对于系，对于x的每一个值，的每一个值，y都有一个对应值，即都有一个对应值，即y是是x的函数的函数.y=20 x2+40 x+20 函数函数y=6x2 , , y=20 x2+40 x+20 , 有什有什么共同点么共同点?nnm21122 上述三个函数都是用自变量的二次式表示的上述三个函数都是用自变量的二次式表示的.一般地，一般地， 形如形如y=ax+bx+c（a，b，c为常数，为常数，a0） 的函数，叫做的函数，叫做二次函数二次函数。其中。其中x是自变量，是自变量，
6、a，b，c分分 别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次项二次项一次项一次项常数项常数项 y=6x2 , 21122mnn,y=20 x2+40 x+20 . 分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项及各项系数。及各项系数。 2222224222221 211111()()= ()yxyxxxyxxyxxxxy x xyx = =下列函数中是二次函数的有下列函数中是二次函数的有 。 二次函数：二次函数：y=ax+bx+c （a，b，c为常数，为常数，a0）a=0最高次数是最高次数是4=x2 运用定
7、义法判断一个函数是否为二次函数的运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：步骤：（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；数式，左边是函数（因变量）的形式；（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；）判断右边含自变量的代数式是否是整式；（3）判断自变量的最高次数是否是）判断自变量的最高次数是否是2；（4）判断二次项系数是否不等于）判断二次项系数是否不等于0. 222123mmymm xmxmx()() 已知是关于 的二次函数，求出它的解析式。解：解：根据二次函数的定义可得根据二次函数的定义可得mmmm222120 解得解得m
8、=3或或m=-1.当当m=3时，时，y=6x2+9;当当m=-1时，时，y=2x2-4x+1.综上所述，该二次函数的解析式为：综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或或y=2x2-4x+1. 练习练习11ayaxa()是是二二次次函函数数，求求常常数数 的的值值。解：依题意，得解：依题意，得aa1210解得解得a=-1. 223223yxxxx- .-已已知知函函数数(1)当时，函数的值为多少?(2)当 为多少时，函数值为0？2222812323339xy- （），解解：当当时时2202320yxx,（ ）当当时时，12122xx,. 解解得得 知识点2根据实际问题建立二次函数模型的一
9、般步骤：根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言；化为符号语言；根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式；并化成一般形式；联系实际，确定自变量的取值范围联系实际，确定自变量的取值范围. 已知圆的面积已知圆的面积y(cm2)与圆的半径与圆的半径x(cm)，写出，写出y与与x之间的函数关之间的函数关系式；系式；王先生存入银行王先生存入银行2万元万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期自
10、动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为设一年定期的存款年利率为x，两年，两年后王先生共得本息和后王先生共得本息和y万元万元,写出写出y与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式；一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径与半径r之间的之间的关系式关系式.y=x2y=2(1+x)2S=4r2做一做做一做: :(x0)(x0)(r0)说一说以上二次函数解析式的各项系数。说一说以上二次函数解析式的各项系数。 1. 下列函数是二次函数的是（下列函数是二次函数的是（ ） A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y= x-22. 二
11、次函数二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（的二次项系数与常数项的和是（ ） A.1 B.-1 C.7 D.-63.已知函数已知函数y=(a-1)x2+3x-1，若若y是是x的二次函数，则的二次函数，则a的取值的取值范围是范围是 .C基础巩固基础巩固12Ba1 4.某种商品的价格是某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是百分率都是x，则经过两次降价后的价格，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次（单位：元）与每次降价的百分率降价的百分率x的函数关系式是的函数关系式是 .5. 正方形的边长为正方形的边长为10cm，
12、在中间挖去一个边长为，在中间挖去一个边长为xcm的正方形，的正方形，若剩余部分的面积为若剩余部分的面积为ycm2，则，则y与与x的函数关系式是的函数关系式是y=100-x2，x的取值范围为的取值范围为 .6. 一辆汽车的行驶距离一辆汽车的行驶距离s（单位：（单位：m）与行驶时间）与行驶时间t（单位：（单位：s）的函数关系式为的函数关系式为s=9t+0.5t2，则经过，则经过12s汽车行驶了汽车行驶了 m，行，行驶驶380m 需需 s.y=2(1-x)20 x10180 20 综合应用综合应用7.如图，在如图，在ABC中，中，B=90，AB=12，BC=24，动点，动点P从从点点A开始沿边开始沿
13、边AB向终点向终点B以每秒以每秒2个单位长度的速度移动，动个单位长度的速度移动，动点点Q从点从点B开始沿边开始沿边BC以每秒以每秒4个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点C移动，移动，如果点如果点P、Q分别从点分别从点A、B同时出发，写出同时出发，写出PBQ的面积的面积S与与出发时间出发时间t（s）的函数关系式及）的函数关系式及t的取值范围的取值范围.解：依题意，得解：依题意，得AP=2t, BQ=4t.AB=12, PB=12-2t, t的取值范围为的取值范围为0t6.SPB BQtttt211(12-2 ) 4-424 .22 拓展延伸拓展延伸解：由题意可得解：由题意可得 解得解得m
14、=1.25684mmmymxmxx-().-.为何值时，函数是关于 的二次函数256240,mmm25614mmmymxmxx-(- ).当时，函数是关于 的二次函数 问题导入，问题导入，列关系式列关系式 探索二次关探索二次关系式共同点系式共同点总结二次总结二次函数概念函数概念二次函数二次函数y=ax+bx+c（a，b，c为常数，为常数，a0）二次函数的判别二次函数的判别: :含未知数的代数式为整式；含未知数的代数式为整式；未知数最高次数为未知数最高次数为2 2；二次项系数不为二次项系数不为0.0.确定二次函数解确定二次函数解析式及自变量的析式及自变量的取值范围取值范围 1.从课后习题中选取；
15、从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 22.1 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质22.1.2 二次函数二次函数y=ax2的图象和性质的图象和性质R九年级上册九年级上册 问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？ 那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们来学习最简单的二次函数课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图象的图象.列表；描点；连线列表；描点；连线一条直线一条直线 （1）用描点法画二次函数y=ax2的图象，知道抛物线y=ax2是轴对称图形，知道抛
16、物线y=ax2的开口方向与a的符号有关.（2）能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点. 先画二次函数先画二次函数y = x2的图象的图象知识点1x-3-2-10123y = x294101491.列表列表 在在y = x2中，自变量中，自变量x可以是任意实数，列表表可以是任意实数，列表表示出几组对应值：示出几组对应值： 2.描点描点 根据表中根据表中x，y的数值在坐标平面的数值在坐标平面中描出对应的点中描出对应的点.3.连线连线 用平滑曲线顺次连接各点，就得用平滑曲线顺次连接各点，就得到到y = x2的图象的图象.369yO
17、-33x 369yO-33x 观察：观察：二次函数二次函数y = x2的图象像什么？的图象像什么？ 事实上，二次函数的图象都是事实上，二次函数的图象都是抛物线抛物线， 它们的开口或者向上或它们的开口或者向上或者向下者向下 一般地，二次函数一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a0）的图象叫做）的图象叫做抛物抛物线线y = ax2 + bx + c.抛物线抛物线y = x2知识点2 369yO-33x函数函数y = x2的图象的图象开口开口_.向上向上抛物线与对称轴抛物线与对称轴的交点叫做抛物的交点叫做抛物线的线的顶点顶点。这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称，轴对称，y轴就是轴就
18、是它的它的对称轴对称轴.顶点坐标是顶点坐标是_._.顶点是图象的最顶点是图象的最_点点. .（0，0）低低 在抛物线在抛物线y = x2上上任取一点（任取一点（m，m2），），因为它关于因为它关于y轴轴的对称的对称点（点（-m，m2）也在抛）也在抛物线物线y = x2上，所以抛上，所以抛物线物线y = x2关于关于y轴对称。轴对称。 实际上，每条抛实际上，每条抛物线物线都有对称轴都有对称轴，抛，抛物线与对称轴的交点物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的顶点是抛物线的最低最低点或最高点点或最高点 369yO-33x当当x0 (在对称轴在对称轴的右侧的右侧)时，时，y随
19、随着着x的增大而增大的增大而增大. 268y4O-22x4-4解：解：分别列表，再画出它们的图象，如图分别列表，再画出它们的图象，如图. .x-4-3-2-10123484.520.500.524.58x-2-1.5-1 -0.500.511.52y = 2x284.520.500.524.58212yxy=2x2221xy 例例1 在同一直角坐标系中，画出函数在同一直角坐标系中，画出函数 ，y =2x2的图象的图象.yx 212 a值越大，抛物线的开口越小增减性相同：当x0时，y随x增大而增大.268y4O-22x4-4212yxy=2x2顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点；开口都
20、向上；对称轴都是y轴； 函数 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？yxyx221=22， 一般地，当一般地，当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴的开口向上，对称轴是是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛越大，抛物线的开口越小物线的开口越小.268y4O-22x4-4212yxy=2x2 画出函数画出函数y=-x2, , y=-2x2的图象，并思考这些抛的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点物线有什么共同点和不同点212yx x-3-2-10123y = -x2-9-4-10-1-4-9-20-2y
21、= -2x2 -18-8-20-2-8-18212yx y=-2x2y=-x22129221xy2129-3-6-9yO-33x 212yx y=-2x2y=-x2-3-6-9yO-33x开口都向下；对称轴都是y轴；a值越小，抛物线的开口越小顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；增减性相同： 当x0时，y随x增大而减小. 一般地，当一般地，当a0时，抛物线的开口向时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的上，顶点是抛物线的最低点最低点; 当当a0基础巩固基础巩固 （1）其中开口向上的是）其中开口向上的是_（填序号）；（填序号）；（2）其中开口向下且开口最大的是）其中开口向下且开口最大的是_（
22、填序号）；（填序号）；（3）有最高点的是）有最高点的是_（填序号）（填序号）.2. 已知下列二次函数已知下列二次函数y=-x2；y= x2；y=15x2；y =-4x2；y = 4x2. 35a0a0，|a|越大，开口越小越大，开口越小.开口向下开口向下a0 3. 分别写出抛物线分别写出抛物线y=4x2与与 的开口方向、对称的开口方向、对称轴及顶点坐标轴及顶点坐标.解：解：抛物线抛物线y=4x2的开口向上，对称轴的开口向上，对称轴为为y轴，顶点坐标（轴，顶点坐标（0，0）；）； 抛物线抛物线 的开口向下，对的开口向下，对称轴为称轴为y轴，顶点坐标（轴，顶点坐标（0，0）.yx214 214 y
23、xyOxyOx yOx4. 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：yx21;3yx21.3 x-3-2-10123303yx21343131343x-3-2-10123-30-3yx213 43131343yx213 yx213 综合应用综合应用5. 已知一次函数已知一次函数y=ax+b和二次函数和二次函数y=ax2，其中，其中a0，b0，则下面选项中，图象可能正确的是（则下面选项中，图象可能正确的是（ ）Cy=ax+b与与y轴交点（轴交点（0，b）b0， y=ax+b单调递增单调递增故故A错；错；y=ax2开口向上开口向上a0， y=ax+b单调递减单调
24、递减故故C对对.y=ax2开口向下开口向下 6. m为何值时，函数为何值时，函数 的图象是开口向下的抛物线？的图象是开口向下的抛物线？mmymx 2解：解：由题意得由题意得 解得解得m=-1当当m=-1时，函数时，函数 的图象是开口向下的抛物线的图象是开口向下的抛物线.mmm 220，mmymx 2a0）y = ax2（a0）顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴在在x轴的上方（除顶点外）轴的上方（除顶点外）在在x轴的下方（除顶点外）轴的下方（除顶点外）向上向上向下向下当当x = 0时，最小值为时，最小值为0.当当x = 0时，最大值为时，最大值为0.当当x0 0
25、时时，y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 当当x0 0时，时，y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 22.1.3 二次函数二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质的图象和性质第第1课时课时 二次函数二次函数y=ax2+k的图象和性质的图象和性质R九年级上册九年级上册 问题问题:说说二次函数说说二次函数y=ax2的图象的特征的图象的特征.268y4y=ax2-8-4-2-6O-22x4-4（2）当）当a0时，抛物线的开口时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的顶点是抛物线的 ; 当当a0时，抛物线的开
26、口时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的顶点是抛物线的 ;|a|越大，抛物线的开口越大，抛物线的开口 .（1）抛物线）抛物线y=ax2的对称轴是的对称轴是 ，顶点是顶点是 .y轴轴原点原点向上向上最低点最低点向下向下最高点最高点越小越小那么那么y=ax2+k 呢？呢？ （1）会用描点法画二次函数）会用描点法画二次函数y=ax2+k的图象的图象.（2）能说出抛物线）能说出抛物线y=ax2+k与抛物线与抛物线y=ax2的相互关系的相互关系.（3）能说出抛物线）能说出抛物线y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点的开口方向、对称轴、顶点. 知识点1例例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数在同一直角坐标系中
27、，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。的图象。解：解：先列表：先列表：x -2-1.5-1-0.500.511.52 y =2x2+1 95.531.511.535.59 y = 2x2 -1 73.51-0.5-1-0.513.57 x-2-1.5-1-0.500.511.52y = 2x2+195.531.511.535.59y = 2x2 -173.51-0.5-1-0.513.57然后描点画图：然后描点画图：268y4O-22x4-4 y = 2x2 -1y = 2x2+1-1 抛物线抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方的开口方向、
28、对称轴和顶点各是什么？向、对称轴和顶点各是什么？ 268y4O-22x4-4 y = 2x2 -1y = 2x2+1-1开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y = 2x2+1y = 2x2 -1上上上上y轴轴y轴轴（0,1）（0,-1）相同点：相同点：不同点：不同点：开口方向相同、形状相同，开口方向相同、形状相同，对称轴都是对称轴都是y轴。轴。顶点坐标发生了改变。顶点坐标发生了改变。知识点2 抛物线抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 与抛物线与抛物线y=2x2 有什么关系？有什么关系？268y4O-22x4-4 y = 2x2 -1y = 2x2+1-1 y = 2x2
29、 观察图象可发现：观察图象可发现： 把把抛物线抛物线y=2x2 平移平移 个单位就得到个单位就得到抛物线抛物线y=2x2+1;把抛物线把抛物线y=2x2 平移平移 个个单位就得到抛物线单位就得到抛物线y=2x2-1.向上向上1向下向下1 所以，所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线的图象还可以由抛物线y = 2x2+1 平移平移 个单位得到个单位得到. 向下向下 2 抛物线抛物线y = ax2+k 与抛物线与抛物线y=ax2 有什么关系？有什么关系？yOx y = ax2 +k(k0) y = ax2 k k 结论结论： 抛物线抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线的图象相当于把抛物
30、线y=ax2的图象的图象 （k0）或）或 （k0）平移平移 个单位个单位.向上向上向下向下|k| 在同一坐标系中，画出二次函数在同一坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线和顶点坐标，指明抛物线 通通过怎样的平移可得到抛物线过怎样的平移可得到抛物线 . . 212yx 2122yx2122yx 2122yx 2122yx 212yx -4-2y-6O-22x4-42122yx + 2122yx - 如图所示如图所示 a的符号的符号a0a0k0开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标函数的增减性函数
31、的增减性最值最值当x0时，y随x增大而减小.当x0时，y随x增大而增大.向上向上向下向下y轴（直线轴（直线x=0）y轴（直线轴（直线x=0）（0，k）（0，k）x=0时，时，y最小值最小值=kx=0时，时，y最大值最大值=k 1.抛物线抛物线y2x23可以由抛物线可以由抛物线y2x2向向 平移平移 个单个单位得到位得到2.抛物线抛物线y- x2+1向向 平移平移 个单位后，会得到抛物线个单位后，会得到抛物线y=- x23.抛物线抛物线y-2x2-5的开口方向的开口方向 ，对称轴是，对称轴是 ，顶点坐，顶点坐标是标是 .基础巩固基础巩固上上3下下11212向下向下y轴轴（0，-5） 4.下列各组
32、抛物线中能够互相平移彼此得到对方的是下列各组抛物线中能够互相平移彼此得到对方的是( )A.y2x2与与y3x2 B.y x2+2与与y 2x2+C.y2x2与与yx2+2 D.yx2与与yx225.对于二次函数对于二次函数y- x2+2，当，当x为为xl和和x2时，对应的函数值时，对应的函数值分别为分别为y1和和y2，若，若x1x20，则，则y1与与y2的大小关系是的大小关系是( )A.y1y2 B.y10,开口向上开口向上a0a0k0开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标函数的增减性函数的增减性最值最值当x0时，y随x增大而减小.当x0时，y随x增大而增大.向上向上向下向下y轴（直线轴
33、（直线x=0）y轴（直线轴（直线x=0）（0,k）（0,k）x=0时，时，y最小值最小值=kx=0时，时，y最大值最大值=k （1）会用描点法画二次函数）会用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象的图象.（2）能说出抛物线）能说出抛物线y=a(x-h)2与抛物线与抛物线y=ax2的相互关系的相互关系.（3）能说出抛物线）能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点的开口方向、对称轴、顶点. 知识点1yxyx 22112112 在同一直角坐标系中，画出二次函数- （） ，- （ - ） 的图象。探究探究解：解：先分别列表：先分别列表： x-2-101234-4.5-2-0.50-0.
34、5-2-4.5然后描点画图：然后描点画图：21-12yx （）x-4-3-2-1012-4.5-2-0.50-0.5-2-4.521-+12yx （）-8-4-2y-6O-22x4-421-+12yx （）21-12yx （） -8-4-2y-6O-22x4-421-+12yx （）21-12yx （） 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？21-+12yx （）21-12yx （） 开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标下下下下x=-1x=1（-1,0）（1,0）相同点：相同点：不同点：不同点：开口方向相同、形状相同。开口方向相同、形状相同。对称轴、顶点坐标发生了改变。对称轴、
35、顶点坐标发生了改变。知识点2-8-4-2y-6O-22x4-421-+12yx （）21-12yx （）21-+12yx （）21-12yx （）记作记作x=-1x=1 所以，所以， 的图象还可以由抛物线的图象还可以由抛物线 平移平移 个单位得到个单位得到. 21-12yx （）21-+12yx （）向向左左1向向右右1向向右右2 222111-+1-1-222yxyxyx ，抛抛物物线线（）（）与与抛抛物物线线有有什什么么关关系系？-8-4-2y-6O-22x4-421-+12yx （）21-12yx （）21-2yx 观察图象可发现：观察图象可发现： 把把抛物线抛物线 平移平移 个单位就得
36、个单位就得到抛物线到抛物线 ;把抛物线把抛物线 平平移移 个单位就得到抛物线个单位就得到抛物线 .21-2yx 21-+12yx （）21-2yx 21-12yx （） 抛物线y = a(x-h)2 与抛物线y=ax2 有什么关系？yOx y = a(x-h)2 (h0)y = a(x-h)2 (h0a0h0开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标函数的增减性函数的增减性最值最值当xh时，y随x增大而减小.当xh时，y随x增大而增大.向上向上向下向下直线直线x=h直线直线x=h（h,0）x=h时，时，y最小值最小值=0 x=h时，时，y最大值最大值=0（h,0） 1.抛物线抛物线y3(x2
37、)2可以由抛物线可以由抛物线y3x2向向 平移平移 个个单位得到单位得到2.二次函数二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向是的图象开口方向是 ，顶点坐标，顶点坐标是是 ，对称轴是，对称轴是 .3.要得到抛物线要得到抛物线y= (x4)2，可将抛物线，可将抛物线y= x2( )A.向上平移向上平移4个单位个单位 B.向下平移向下平移4个单位个单位C.向右平移向右平移4个单位个单位 D.向左平移向左平移4个单位个单位基础巩固基础巩固13右右2向下向下（1，0）x=113C 4.对于任意实数对于任意实数h，抛物线，抛物线y=(x-h)2与抛物线与抛物线y=x2( ) A.开口方向相同开口方向相同
38、B.对称轴相同对称轴相同 C.顶点相同顶点相同D.都有最高点都有最高点5.抛物线抛物线y= x2向左平移向左平移3个单位所得抛物线是个单位所得抛物线是( ) A.y= (x+3)2B.y= (x-3)2 C.y= (x+3)2D.y= (x-3)2AA232323 23 23 6.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点.（1）y=- (x+2)2； （2）y=3(x-1)2.解：（解：（1）开口向下，对称轴为）开口向下，对称轴为x=-2，顶点为（，顶点为（-2，0）. （2）开口向上，对称轴为）开口向上，对称轴为x=1，顶点为（，顶点为（1，0
39、）.14 综合应用综合应用7.在同一坐标系中，画出函数在同一坐标系中，画出函数y2x2与与y2(x-2)2的图象，的图象，分别指出两个图象之间的相互关系分别指出两个图象之间的相互关系解：图象如图解：图象如图.函数函数y=2(x-2)2的图象由函数的图象由函数y=2x2的图象的图象向右平移向右平移2个单位得到个单位得到.yOxy = 2(x-2)2 y = 2x2 2 拓展延伸拓展延伸8.在直角坐标系中画出函数在直角坐标系中画出函数y (x-3)2的图象的图象(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)说明该函数图象与二次函数说明该函数图象
40、与二次函数y x2的图象的关系；的图象的关系；(3)根据图象说明，何时根据图象说明，何时y随随x的增大而减小，何时的增大而减小，何时y随随x的增大而增大，何时的增大而增大，何时y有最大有最大(小小)值，是多少值，是多少?1212 解：（解：（1）开口向上，对称轴为）开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（顶点坐标为（3，0）.（3）当）当x3时，时，y随随x的增大而增大，的增大而增大，当当x3时，时，y随随x的增大而减小，当的增大而减小，当x=3时，时，y有最小值，为有最小值，为0.-224yO-22x4-421-32yx （）12 （2）该函数图象由二次函数）该函数图象由二次函数y= x2的图
41、象向右平移的图象向右平移3个单位得到个单位得到.212yx 复习复习y=ax2+k探索探索y=a(x-h)2的图象及性质的图象及性质图象的画法图象的画法图象的特征图象的特征描点法描点法平移法平移法开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴平移关系平移关系直线直线x=h（h,0）a0,开口向上开口向上a0a0a0图象图象h0开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标函数的增减性函数的增减性最值最值当xh时，y随x增大而减小.当xh时，y随x增大而增大.向上向上向下向下直线直线x=h直线直线x=h（h,k）x=h时，时，y最小值最小值=kx=h时，时，y最大值最大值=k（h,k） y=a(x-
42、h)2+ky=ax2平移关系平移关系？这些图象与抛这些图象与抛物线物线y=ax2有有什么关系？什么关系？ 结论结论： h0，将抛物线，将抛物线y=ax2向右平移；向右平移； k0，将抛物线，将抛物线y=ax2向上平移；向上平移； k0)或向左或向左(h0)或或向向下下(k0)或向左或向左(h0)或或向向下下(k0)或向左或向左(h0)或向或向下下(k0）yOx2yxbxca2bxa （a0）二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象：的图象：增减性？增减性？最小值最小值最大值最大值2424bacbaa ，顶顶点点坐坐标标 21 2()yxx 的的顶顶点点坐坐标标是是1.抛物线基础巩固基础巩固B
43、111A. 1B.1C., 1D.(1 0)222， 2.李玲用李玲用“描点法描点法”画画二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象时，的图象时，列了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函列了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函数数y=ax2+bx+c，当当x=3时，时，y= 1 3.确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.（1）y=3x2+12x3；（；（2）y=4x224x+26；（3）y=2x2+8x6； （4）y=12x248x+45. 开口向上，开口向上，对称轴为对称轴为x=3，顶点为（顶点为（3，-10）.开口向下，开口向
44、下，对称轴为对称轴为x=2，顶点为（顶点为（2，9）.开口向上，开口向上，对称轴为对称轴为x=-2顶点为（顶点为（-2，-14）.开口向上，开口向上，对称轴为对称轴为x=2，顶点为（顶点为（2，-3）. 4.从地面向上抛出一个小球，小球的高度从地面向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：单位：m)与与小球的运动时间小球的运动时间t(单位：单位：s)之间的关系式是之间的关系式是h=30t-5t2.小球小球运动到最高点时，所花时间是多少？最高点的高度是多运动到最高点时，所花时间是多少？最高点的高度是多少？少？解：小球在顶点时达到最大高度解：小球在顶点时达到最大高度.所花时间是所花时间是3s，最高点的
45、高度是最高点的高度是45m.2230430345242545bac b,aa（）（） 综合应用综合应用5.已知函数已知函数y=-2x2+x-4,当当x= 时，时，y有最大值有最大值 .6.已知二次函数已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（，那么它的图象大致为（ ）14318 B 拓展延伸拓展延伸7.二次函数二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：的部分对应值如下表：二次函数二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为图象的对称轴为x= ，x=2对对应的函数值应的函数值y= 1-8 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与系数的图象特征与系数a,b,c及及b2-4ac
46、的符号之间的关系的符号之间的关系:224()24bacba xaay 1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 22.1.4 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的图象和性质第第2课时课时 用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式R九年级上册九年级上册 问题：如果一个二次函数的图象经过问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？三点，能求出这个二次函数的解析式吗？ 会用待定系数法求二次函数的解析式会用待定系数法求二次函数的解析式. . 思考思考 回忆
47、一下用待定系数法求一次函数的解析式的回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤求二次函数一般步骤求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是的解析式的关键是什么？什么？知识点1 我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？二次函数？ 已知一个二次函数的图象过点已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这，求这个函数的解析式个函数的解析式.
48、第一步第一步: :设出解析式的形式；设出解析式的形式；第二步第二步: :代入已知点的坐标；代入已知点的坐标；第三步：解方程组。第三步：解方程组。解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得：由已知得：a-b+c=10a+b+c=4三个未知数，两个三个未知数，两个等量关系，这个方等量关系，这个方程组能解吗？程组能解吗？ 已知一个二次函数的图象过点已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式求这个函数的解析式.第一步第一步: :设出解析式的形式；设出解析式的形式；第二步第二步: :代入已知点的坐标；代入已知点的坐标；第三
49、步：解方程组。第三步：解方程组。解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得：由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7三个未知数，三个三个未知数，三个等量关系，这个方等量关系，这个方程组能解吗？程组能解吗？ a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7?由由-可得：可得：2b=-6b=-3由由-可得：可得：3a+3b=-3a+b=-1a=2将将a=2，b=-3代入代入可得：可得：2+3+c=10c=5解方程组得：解方程组得： a=2, b=-3, c=5 已知一个二次函数的图象过点已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2
50、,7)， 求这个函数的解析式求这个函数的解析式.第一步第一步: :设出解析式的形式；设出解析式的形式；第二步第二步: :代入已知点的坐标；代入已知点的坐标；第三步：解方程组。第三步：解方程组。解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得：由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程组得：解方程组得：因此，所求二次函数是：因此，所求二次函数是：a=2, b= -3, c=5y=2x2-3x+5. 求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定的解析式，关键是求出待定系数系数a，b，c的值。的值。 由已知条件（如二次函数图像上
