1、30.4 二次函数的应用二次函数的应用导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 第2课时 实际问题中二次函数的最值问题第三十章 二次函数学习目标1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）2. 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点)3.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）4.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）导入新课导入新课情境引入如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的面积为ym2，那么yx(202x)试问：x为何值时，才能使y的值最
2、大？同学们，你们会算吗？思考：在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.解决生活中面积的实际问题时，你会用到了什么知识？商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.那怎么获取最大利润呢？二次函数与几何图形面积的最值一例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？解:根据题意得S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0l30).因此，当 时， S有最大值 301522( 1)bla 2243022544(1)acba 也就是说，当l是1 15m时，场地的面积S最大.讲授新课讲授新课变式1 如图，用一段长为6
3、0m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3 面积S的函数关系式是什么？问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5 如何求最值？最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.问题1 变式1与例题有什么不同？设垂直于墙的边长为x米，Sx(602x)2x260 x.0602x32，即14x30.变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2
4、x问题1 变式2与变式1有什么异同？问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则26013022xSxxx 问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 如何求自变量的取值范围？0 0 x 18. 18.问题6 如何求最值？由于30 30 1818，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378. 不正确.变式3 用总长度为24m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架，其横档和竖档分别与AD，AB平行.设AB=x m,当x为多少是，矩形框架ABCD的面
5、积最大，最大面积是多少？22444(3)12,33xSxx 解：40,3a 当x=3时，S有最大值，且S最大=12m2.ADBC 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查
6、反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020+x300-10 xy=(20+x)(300-10 x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10 x),即：y=-10 x2+100 x+6000.利用二次函数解决销售问题中的最值问题二6000典例精析 自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10 x 0，且x 0,因此自变量的取值范围是0
7、x 30.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10 x2+100 x+6000，当 时,y=-1052+1005+6000=6250.10052 ( 10)x 即定价65元时，最大利润是6250元.w=12+2(x1)804(x1) =(10+2x)(844x) =8x2+128x+840 =8(x8)2+1352. 例3 一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？解：设生产x档次的产品时，
8、每天所获得的利润为w元，则当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352.知识要点求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .28m32.如图2，在ABC中， B=90 ,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B
9、以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.图1ABCPQ图23当堂练习当堂练习3. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解： （1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0 x6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;当x
10、=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为91000=9000（元）4.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 x 30)出售，可卖出（30020 x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.255.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100)w=2000-5(x-100)(x-80)6. 某种商品每天的
11、销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？xy516O7解：(1)由题中条件可求y=-x2+20 x-75-10,对称轴x=10,当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；(2)由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7 x 13时，利润不低于16元.课堂小结课堂小结最 大 利润 问 题建立 函数关 系 式总利润=单件利润销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取 值 范 围涨价:要保证销售量0；降件：要保证单件利润0.确 定 最 大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.课堂小结课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依 据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定见本课时练习课后作业课后作业
