1、(0).a a 代数式叫做二次根式(0).a a 代数式叫做二次根式2. a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.1.二次根式的两个特征：二次根式的两个特征：（1）根指数为）根指数为2（2）被开方数大于等于零）被开方数大于等于零形形质质如如222212,1,4(4),(2)32abac bacxx等都是二次根式都是二次根式说一说说一说: 下列各式是二次根式吗下列各式是二次根式吗? ?4223(8)11(9) 4 2(10)3x3 32 22 2( (1 1) ) 3 32 2 ( (2 2) ) 1 12 2 ( (3 3) ) 8 8( (4 4) ) a a ( (5 5) ) - -m
2、 m ( (m m0 0) ) ( (6 6) ) 2 2a a - -1 1 ( (7 7) ) a aa a 被开方数被开方数a0有意义有意义 ，a被开方数被开方数a可以是数也可以是式可以是数也可以是式例例1 x取取何值时何值时,下列根式有意义下列根式有意义?21(1) 21(2) 2(3)(4) 1xxxx-+解解 (1)由由x得得x.所以，当所以，当x .时，有意义时，有意义21x-(2)由由x得得x所以，当所以，当x 时，有意义时，有意义2x-(3)由由及及x得得x1x所以当所以当x时，有意义时，有意义1x(4)不论不论x为何实数，都有为何实数，都有x 2所以，当所以，当x取任何实数
3、时，有意义取任何实数时，有意义21x+求二次根式中字母的取值范围的基本依据是什么求二次根式中字母的取值范围的基本依据是什么？被开方数大于等于零；被开方数大于等于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。说一说说一说练习：练习： x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?xx3)2(1) 1 (1x0 x为全体实数x0 xxx1)4(4)3(23)5(x0 x21)6(x0 x求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数大于等于零；被开方数大于等于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母
4、不为零。12a 0)a (a0)=0 (a=0)0 (a=0)?)(22有区别吗与 aa2.从取值范围来看, 2a2a a0a0a a取任何实数取任何实数1:从运算顺序来看,2a2a先开方先开方, ,后平方后平方先平方先平方, ,后开方后开方22()aa与3.3.从运算结果来看从运算结果来看: :=a=aa (aa (a 0) 0)2a2a-a (a-a (a0)0)= a a _,4)4(2的取值范围是则思考：若mmm4m例求下列二次根式的值例求下列二次根式的值22(1) (3)(2)21(3)xxxp-+= -2(3)|3|pp-=-解解：(1)30p-2(3)3pp-=-(2)2221(
5、1)|1|xxxx-+=-=-当当x 时，时，x0)a (a0)-a (a-a (a0)0)= a a 2a=二次根式的性质二次根式的性质0 (a=0)0 (a=0)1、练习册、练习册16.12、一课一练、一课一练P1-2已知已知 有意义有意义,那那A(a, )在在 象限象限.a二二 ?a1由题意知由题意知a a0 0点点A(A(, ,) )_2162取值范围是的中字母下列式子xxx03x ?2x+602x+60-2x-2x0 0 x-3x-3x x0 0.,12的值求自然数为一个整数nnn12n = 3，8，11，12 ?若若a.b为实数为实数,且且求求 的值的值022ba1222bba解解
6、: 20a，02 b022ba而20a ，02b22ab ， 31212212222ba原式实数实数p在数轴上的位置如图所示，化简在数轴上的位置如图所示，化简 222)1 (pp121)2(1pppp ?在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式:243x 233 （）2224323xx（） （）解解: :(23)(23)xx已知已知x，化简，化简2211()4()4xxxx-+-+-2已知已知416210 xyxy-+-=+求求 的值的值2011(2)xy-11|xxxx+-112xxxxx=+-=141426290 xxyy- -+-+=22(12)(23)0 xy-+-=x=5，y=11
7、2011(2)1xy-= -八年级下册二次根式学习目标掌握二次根式的概念，并利用 （a0）的意义解答具体题目.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.12a2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数正的平方根叫做它的算术平方根.1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.0的算术平方根和平方根都是0.a的平方根是 .a用 (a0)表示.a情境引入正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是0；负数没有平方根.3.平方根的性质：4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.情境引入50米a米塔
8、座所形成的这个直角三角形的斜边长为_米.25002a?米情境引入S 圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为_.S情境引入2331xx04221xyxy探究点一、二次根式的概念问题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、解：二次根式有： （x0，y0）不是二次根式的有： .233x0422xy、（x0）、（x0，y0）1x1xy、-活动探究二次根式的定义理解要点： 两个必备特征外貌特征：含有“ ”内在特征：被开数a 0一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式.“ ”称为二次根号，a叫做被开方数.a活动探究a请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！2.二次根
9、式实质上是非负数的算术平方根.3. a既可以是一个数，也可以是一个式子.1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.aa活动探究316345)0(3aa12x1.试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？，解析：根指数不是2，是3.316345)0(3aa12x，均是二次根式，其中 属于“非负数+正数”的形式一定大于零.12x不是，是因为在实数范围内，负数没有平方根.举一反三1. 如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是 .b-322500a3b s表示一些正数的算术平方根2.你认为所得的各代数式有哪些共同特点？3b 探究点二：探究二次根式的定义及有意义的条件活动探究xx
10、121a0a 3在式子中，解：由 得： .2、利用“3、结论：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.x的取值范围是_.注意：1、形如（a0）的式子是二次根式的概念；即含有根号，根指数要为2.，且（a0）”解决具体问题120,10 xx1,12且xx 活动探究解：由x-10，得x1 1.当x取何值时, 二次根式有意义?1x当x1时， 在实数范围内有意义.1x试求当x=9时，二次根式 的值.1x 当x=9时，19 182 2x 思考：当x是怎样的实数时 ， 在实数范围内有意义？ 呢？2x3x前者x为全体实数；后者x为正数和0.举一反三43 x223x12x2.x取何值时，下列各
11、二次根式有意义？ 43x 3x 2x 举一反三2x2xxy1a1b探究点三、小组活动、讨论、典型例题+5，求的值 +=0，求a2019+b2104的值.1.已知y=2.若252活动探究随堂检测1.下列各式一定是二次根式的是（ ）2.若2a3， 则 等于（ ） A.52a B.12a C.2a1 D.2a53.关于 的下列说法中错误的是（ ） A. 是无理数 B.3 4 C. 是12的算术平方根 D. 不能化简C D D 2223aa4.若 ，则x的取值范围是（ ） A.x1 B.x1 C.x1 D.x15.在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ） A.x2且x0 B.x2且x0 C.x0 D
12、.x26.若1x3，则 的值为（ ）A.2x4 B.2 C.42x D.27.函数y= 中自变量x的取值范围是（ ） A.x2 B.x2且x1 C.x2且x1 D.x1DA DB 211xx 23xx231xx121xx随堂检测（1）二次根式的概念（2）根号内字母的取值范围（3）二次根式的值抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.课堂总结一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式.“ ”称为二次根号，a叫做被开方数.a个性化作业1.如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 解：由数轴可得：a0，b0，ab0，则 =ab+（ab）=2b222abab222abab个性化作业2、已知三角形
13、的三边x、y、z的长满足x24+ + =0，求这个三角形的周长.解：x240， 0， 且 x24+ + =0，x24= 0，x2=4，y3=0，z-4=0.x=2（负值舍去），y=3，z=4 所以三角形的周长为2+3+4=9.再见再见第十六章 二次根式16.1 二次根式PPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 第一课时一、导入新课：一、导入新课： 唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪
14、八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.猪八戒很好奇，通过查阅资料算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t= ,你知道式子 表示的什么?式子t= 中 表示什么意义？让我们带着这些疑问开始本章的学习吧！导入导入1 1PPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 一、导入
15、新课：一、导入新课：导入导入2 21.填空：(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是. (2)5的平方根是;5的算术平方根是. 2.用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为. (2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为m. (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为. 20没有553S655hPPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历：
16、试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 二、二次根式的概念二、二次根式的概念问题问题1 1上面问题中，得到的结果分别是： ； ； ；（1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？3S655hPPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 问题
17、问题2 2二、二、二次根式的概念二次根式的概念二次根式的定义： 一般地,我们把形如 (a0)的式子叫做二次根二次根式式,“ ”称为二次根号，a称为被开方数.a提问：在二次根式的概念中,为什么要强调“a0”?回答： 表示a的算术平方根，只有正数和零才有算术平方根，故被开方数必须是非负数.aPPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 练习练习1 1二、二、二次根式的概念二次根式的概念
18、指出下列哪些是二次根式？（1） （2） （3） （4） （5） （6）53-32112x)2(2aa)(babaPPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 三、三、二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件问题问题3 3例1当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？1x解：要使 在实数范围有意义，必须x+20， x-21x由定义可知，二次根式 有意义的条件是：a0.aPPT模板：
19、 PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 三、三、二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件练习练习2 2a取值时，下列根式有意义？（1） ；（2） ；（3） .1aa2-112) 1( x解：（1）由a+10，得a-1；（2）由1-2a0，得a ；（3）由(x-1)20，得x为任何实数21PPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载
20、： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 四、巩固练习四、巩固练习练习练习3 3下列式子中，二次根式的个数是（ ）（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） A. 1 B.2 C.3 D. 431522x3x35练习练习4 4当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？2x3xPPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学
21、课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 四、巩固练习四、巩固练习练习练习5 5当x 是什么实数时，下列各式有意义（1） ；（2） ；（3） ；（4） .x4-31xx2-xxx22PPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 五、课堂小结五、课堂小结知识要点关键点注意事项二次根式的概念形如0(a0)的式子叫做二次根式,其中被开方数是a被开方数也可以是含有
22、字母的单项式、多项式、分式等二次根式有意义的条件被开方数必须是非负数求解二次根式中字母的取值范围,要注意根号下的式子整体不小于零PPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 第二课时一、导入新课：一、导入新课： 在上节课的学习中，我们学习了二次根式的概念，以及二次根式有意义的条件。现在，我们来复习一下吧。 1.判断下列各式中哪些是二次根式？；）（04. 01；）（22a；）（5-3
23、；）（14a；）（385PPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 一、导入新课：一、导入新课： 2.填空：当a0时， 表示 ，因此 0；当a=0时， 表示 ，因此 0.综上所述，当a0时， 0.即 （a0）是 数.aaaaaa正数的算术平方根零的算术平方根=非负PPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载：
24、手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 二、新课讲解：二、新课讲解： 根据算术平方根的意义填空：探究 （a0）的值.2)( a问题问题1 12)4( ； 2)2( ； 2)31( ； 2)0( ； 42031PPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 把上述计算结论推广到一般，
25、并用字母表示： = （a0）.你能说说 =a（a0)的依据吗？二、新课讲解：二、新课讲解：2)( a探究探究2)( aa例1计算下列各式：2)52(2）（2)5 . 1(1）（1.520PPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 化简： 练习1；）（2)18(1；）（2)0(2；）（2)874(3；）（2)53(41801445PPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载
26、： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 探究 的值.二、新课讲解：二、新课讲解： 填空：2a问题问题2 222 ； 21 . 0 ； 232）（ ； 20 ； PPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 把上述计
27、算结论推广到一般，并用字母表示： = （a0）.二、新课讲解：二、新课讲解：2a探究探究PPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 例2计算下列各式：二、新课讲解：二、新课讲解：21 . 02）（221）（2-103）（PPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件
28、： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 二、新课讲解：二、新课讲解： 填空：问题问题2 22)2(- ； 2) 1 . 0-（ ； 232-）（ ； 2)20( ； PPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 把上述计算结论推广到一般，并用字母表示： = （a0)；a-1=6；3x-50； ；66.其中代数式的个数是(
29、) 练习325A.2个 B.3个 C.4个 D.5个a5CPPT模板： PPT素材： PPT图表： PPT下载： PPT教程： 资料下载： 个人简历： 试卷下载： 教案下载： 手抄报： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件： 五、课堂小结五、课堂小结：回顾本节课所学主要内容:知识要点关键点注意事项 =a(a0) 任何非负数的算术平方根的平方,其结果仍然是它本身被开方数a是非负数 =|a| 任何实数的平方的算术平方根是它的绝对值底数a可以是任何实数 代数式 用基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子
30、叫代数式式子中不能出现“=,”;单个的数字或单个的字母也是代数式2a2)( a16.1 16.1 二次根式二次根式第 十六章 二次根式（第1课时）理解二次根式的概念.（重点）掌握二次根式有意义的条件.（重点）会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）123问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2 什么叫做算术平方根?问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.25的平方根是_；5的算术平方根是_.思考14的平方根是_；0的平方根是_.思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
31、(1)若面积为3 的正方形,则边长为 _m；若面积 为S 的正方形的边长为_m (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2， 则它的宽为_m （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时 间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m） 满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ， 那么t为_问题1 这些式子分别表示什么意义？根指数都为2;被开方数为非负数.问题2 这些式子有什么共同特征？二次根式的概念1 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “”称为二次根号.具有两个特征：外貌特征：含有“ ”.内在特征：被开方数a 0.注意：a可以是数，也可以是式子.1.二次根
32、式 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：23(1)3 2 ;(2 ) 6;(3)1 2 ;(4 )-0(5),;(6 )1;(7 )5 .mmxyxya；异 号 例1二次根式有、无意义的条件二次根式有意义的条件：二次根式无意义的条件：被开方数（式）为非负数.被开方数（式）为负数.2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义?解：由x-20，得 x2.练一练 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？例2（2）由题意，得3+x0，解得x-3.x-10，解得x1. 归纳：归纳：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
33、被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.解：（1）由题意，得x-10，解得x1.练一练 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 归归纳：纳：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.A.x2 B.x2 C.x2 D.x21. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）CA-104.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：解：由题意，得m-20且m2-m-20，解得m2且m-1，m2，m2解：由题意，得x2+6x+m0，即(x+3)2+m-90.(x+3)20，m-90，即m9.
34、x 0,x-10,x 0,x-10,二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集被开方数为非负数本本节课学习了哪些主要内容？节课学习了哪些主要内容？教科书第教科书第5页习题页习题16.1第第1题题教科书第教科书第3页练习第页练习第1，2题题二根次式第十六章 二次根式第1课时 二次根式的概念学习目标1.理解二次根式的概念.（重点）2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点） 在学习中，我们会遇到这样的表达式： ， ， 2S5h讲授新课讲授新课二次根式的概念及有意义的条件一根指数都为2;被开方数为
35、非负数.问题： 这些式子有什么共同特征？归纳总结 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.(0)aa 两个必备特征外貌特征：含有“ ”内在特征：被开方数a 0注意：a可以是数，也可以是式.例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？23(1)32;(2) 6;(3)12;(4)-0(5),;(6)1;(7)5.mmxyx ya；异 号 解：(1)(4)(6)均是二次根式（其中a2+1属于“非负数+正数”的形式，一定大于零）.(3)(5)(7)均不是二次根式.典例精析两个必备特征外貌特征：含有“ ”内在特征：被开方数a 0例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有 意义?2
36、x 解：由x-20，得x2.当x2时， 在实数范围内有意义.2x 【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？111x （ ）；解：由题意得 x-10，x1时，这个代数式在实数范围内有意义.3(2).1xx解：被开方数需大于或等于零，3+x0，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-3 且x1时，该式子有意义.分析0-31【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？221;xx解：(1)当 在实数范围内有意义.221xx 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分解成含完全平方的形式，再进行分析讨论.归纳22211xxx 0即 x=1时(1)单个二次
37、根式如 有意义的条件：A0；A(2)多个二次根式相加如 有意义的 条件：.ABN00.0ABN ； ； ；(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A0；BA(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A0且B0.1AB归纳总结1.下列各式： . 一定是二次根式的个数有 （ ） 2233;5 ;112721axxxx；;A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_;12x (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是_.12xxx 1 x 0且x2 练一练 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次
38、根式 ，我们知道：a（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a0；（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 0. aa二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性二次根式的双重非负性二例3 若 ， 求a -b+c的值.223(4 )0abc解： 由题意可知 a-2=0，b-3=0，c-4=0, 解得 a=2，b=3，c=4. a-b+c=2-3+4=3. 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳典例精析例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根.338xx解：由题意得 x=3，y=8，3x+2y=25.25的算术平方根为
39、5，3x+2y的算术平方根为53030 xx ， ，当堂练习当堂练习2.式子 有意义的条件是 （ ） 236x A.x2 B.x2 C.x2 D.x23.当x=_时，二次根式 取最小值，其最小值 为_1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）CDa CA-11x 04.已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的值24xy解：由题意得|3x-y-1|+ =0练一练24xy 3x-y-1=0且2x+y-4=0解得x=1，y=2 x+4y =1+24=9，课堂小结课堂小结二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.被开方数为非负数二
40、次根式的双重非负性二次根式 中,a0且 0aa16.1 二次根式第 十六章 二次根式（第2课时）经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法. （重点）掌握二次根式的性质.（重点）会利用二次根式的性质进行化简及解决相关问题.（难点）123二次根式有意义的条件：二次根式无意义的条件：被开方数（式）为非负数.被开方数（式）为负数.总结：二次根式的性质二次根式的双重非负性二次根式的被开方数非负二次根式的值非负一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.注意：不要忽略a0这一限制条件计算： 2(1) ( 1.5) ;2(2) (2 5) ；解：(2
41、)可以用到幂的哪条基本性质呢？积的乘方：（ab）2=a2b2例12_1.322_;24_;20_;413201.直接写出结果.练一练解： 由题意可知，a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.归纳：归纳：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.例2练一练D 已知y= ,求3x+2y的算术平方根.解：由题意，得 x=3，y=8，3x+2y=25.25的算术平方根为5，3x+2y的算术平方根为5例3解：由题意，得3x-y-1=0且2x+y-4=0解得x=1，y=2x+4y=1+42=9，x+4y的平方根为3.练一练DBDD5.利用a （a
42、0），把下列非负数分别写成 一个非负数的平方的形式： (1) 9 ； (2)5 ； (3) 2.5 ； (4) 0.25 ； (5) ； (6)0 .2()a212( 9)2( 5)2522142122( 0)6.已知a、b为等腰三角形的两条边长，且a、b满足7.(1)已知a为实数，求代数式 的值.2242aaa (2)已知a为实数，求代数式 的值.249aaa本本节课学习了哪些主要内容？节课学习了哪些主要内容？二次根式性质 2()(0)aaa a (a 0)2a2a拓展性质 |a|（a为全体实数）教科书第教科书第5页习题页习题16.1第第2，3，4题题教科书第教科书第4页练习第页练习第1，2
43、题题二根次式第十六章 二次根式第2课时 二次根式的性质情境引入学习目标1.理解二次根式的两个性质.（重点）2.运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点） 导入新课导入新课算一算：问题1：你能将下列数字顺利通过下面两扇门吗？ 10 14、数字旅行 问题2：两扇门交换位置，你还会走吗？ 22aaa140114-算术平方根之门算术平方根之门a0a为任意实数2)aaa (全部都能通过算术平方根 平方运算 0 100 11 2141a(a0)a2)(a 0 1观察：两者有什么关系？ （a0）的性质一2()a填一填：讲授新课讲授新课22242023113思考：根据前面得出的结论填一填，并说明理由 是2的
44、算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于2的非负数.22你能把所得的公式用字母表示出来吗？归纳总结 的性质：2()(0)aa 一般地， a (a 0).2()a典例精析例1 计算： 2(1) (1.5 ) ;2(2) (25 ) .解：2(1) (1.5 )1.5;222(2) (25 )2(5 )4520.想一想：此小题用到了幂的哪条基本性质呢？积的乘方：（ab）2=a2b2平方运算算术平方根 -4 0 1 -1a2a2a（-4）2=16 02=0 12=1（-1）2=1 161412 4 0 1 1观察：两者有什么关系？ 的性质二2(0)aa 填一填：222222=0.1 =0=
45、.3；20.1230如何用字母表示你所得的公式呢？思考：根据前面得出的结论填一填，并说明理由归纳总结 的性质2(0)aa 一般地， a (a0).2a思考：当a0时， =？2a例3：化简(1)162(2)(5)解：2(1)1644；2(2)(5)255.你还有其他解法吗？想一想：如何化简 呢？2a= (a 0)；2a (a0).=|=|a| |22(5)55.a-a辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错（ ）（ ）（ ）（ ）议一议：如何区别 与 ？2a2()a2()a2a从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a0a取任何实数a|a| 用基本运算符号（包括加、减、乘、
46、除、乘方和开方）把_ 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.概念学习数表示数的字母 想一想：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？代数式整式分式二次根式代数式的定义 三当堂练习当堂练习1.化简 得（ ）A. 4 B. 2 C. 4 D.-416C2. 当1x3时， 的值为（ ）A.3 B.-3 C.1 D.-12(3)3xxD3.化简：（1） ; （2） ; （3） ;（4） .2723.14 92(4)3.14-1012a4. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 .22(1)aa15.利用 a （ a 0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1) 9 ；
47、 (2)5 ； (3) 2.5 ；(4) 0.25 ； (5) ； (6)0 .2()a212(9 )2(5 )2522142122(0 )课堂小结课堂小结二次根式性质 2()(0 )aaa a (a 0).2a2a拓展性质 |a|（a为全体实数）第16章 二次根式 1.什么叫二次根式？什么叫二次根式？叫做二次根式。式子)0(aa2.两个基本性质两个基本性质:复习提问复习提问=a=aa (aa (a 0) 0)2a2a-a (a-a (a0)0)= a a (a(a 0) 0)探索发现：探索发现：._94_,94)1(2) 25 49_, 2549_663535于是我们得到：于是我们得到：)0
48、, 0(bababa特特别别提提醒醒1，这个二次根式的存在条件；，这个二次根式的存在条件；2，性质的逆运用；，性质的逆运用；121212.0)nnnaaaaaaaaa( 、3，推广式：，推广式：._94_;94) 1 (._22581_;22581)2(23233535于是我们得到：于是我们得到：(0,0)aaabbb特别注意：特别注意：1，条件；，条件；2，逆运用。，逆运用。探索发现：探索发现：(1) 若若 成立成立, 则则 满足条件满足条件_.(2)(3)23xxxxx-2x3(2) 若若 成立成立,则则 满足条件满足条件 .2233xxxxx3020 xx3020 xx-2x0102xx
49、将被开方数因式分解或因数分解，使出现将被开方数因式分解或因数分解，使出现“完全平方数完全平方数”或或“”化简的步骤化简的步骤1.把被开方数分解因式把被开方数分解因式(或因数或因数) ；2.把分解的因式把分解的因式(或因数或因数)尽可能尽可能写成几个写成几个平方数平方数 或式或式.（分母必须化为（分母必须化为平方数或式）平方数或式）4.将平方项应用将平方项应用 化简化简2aa 3.应用应用).0;0();0;0(bababababaab化简二次根式关键化简二次根式关键1. 化简：（1）12（3）324ba322343431223223442a babbab b（ ）解：（1）（2）3a3222a
50、aaaaa a（ ）) 0( a) 0, 0(ba(3):0,0?ab若的条件变为呢学生练习3. 化简：22175（）216 81（ ）32000（ ）2245328（ ）4. 化简23140,0)a bab（）（422(2)(0)xx yx1121 225（）247（ ） 1824 （6）349 121（ ）(4) 4y2. 化简：(5) 184.化简下列各式：16312)(4225(3)09xyy9(1 )16）（163124225x39y（ ）1691）（注意：如果被开方数是带分数，应先化成假分数。1691694316191619419解：4225x9y25x3y9721)(281(2)
