1、1.1 锐角的三角函数第一章 直角三角形的边 角关系导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（BS） 教学课件第1课时 正切与坡度1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点）2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算； (重点)3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.（难点）学习目标智者乐水，仁者乐山 图片欣赏导入新课导入新课思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 梯子与地面的夹角称为倾斜角 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯
2、子的水平宽度ACB讲授新课讲授新课正切的定义一相关概念问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？合作探究1ABCDEF倾斜角越大倾斜角越大梯子越陡梯子越陡问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡甲甲乙乙问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡3m6mDEFC2mB4mA问题4:你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.3m2m6m5mABCDEF倾斜角越大，梯子越陡.总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的
3、大小都可用来判断梯子的倾斜程度. 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？ A AC C1 1C C2 2B B2 2B1 1合作探究2两个直角三角形相似(1)RtAB1C1和RtAB2C2有什么关系? (3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?思考：由此你得出什么结论?AB1C2C1B2112212(2)?BCB CACAC和有什么关系C3B3想一想相等相似三角形的对应边成比例 在RtABC中,如果锐角A确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做A的正切,记作tanA,即ABCA的对边A的邻边A
4、A的 对 边的 邻 边tanA=归纳总结结论：tanA的值越大，梯子越陡.邻对定义中的几点说明：1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， A是一个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示A的正切.但BAC的正切表示为:tanBAC.1的正切表示为:tan1.3.tanA0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角A的对边与邻边的比（注意顺序： ）.4.tanA不表示“tan”乘以“A ”.5.tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.对邻ABC 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ 对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.解：可
5、以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.议一议例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 解:甲梯中,6m乙8m5m甲13m 乙梯中,.1255135tan22.4386tantantan,乙梯更陡.提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.典例精析 1. 在RtABC中，C=90，AC=7，BC=5，则 tan A=_，tan B =_练一练5775互余两锐角的正切值互为倒数互余两锐角的正切值互为倒数. .2.下图中ACB=90，CDAB,垂足为D.指出A和B的对边、邻边.ABCD(1) tanA = =AC( )CD( )(2) tanB=
6、=BC( )CD( ) BCADBDAC4.如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定ABCC3.已知A,B为锐角，(1)若A=B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则A B.= 正切通常也用来描述山坡的坡度.坡度、坡角二坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.w例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tan)就是:坡角：坡面与水平面的夹角称为坡角；坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切.603tan.1005100
7、m60m概念学习例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1 3，坝高BC2米，则斜坡AB的长是()解析：ACB90，坡度为1 3，1.3BCAC6 . D54 C. 102 B.52 A.B223642 10.ABACBC方法总结:理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键BC2米，AC3BC326(米)B C A(1)在RtABC中C=90，BC=5, AC=12,tanA=( ).(2)在RtABC中C=90，BC=5, AB=13,tanA=( ),tanB=( ).(3)在RtABC中C=90，BC=5,tanA= , AC=( ).431.完成下列填空：当堂练习当堂练习512
8、5121252032.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，则tanA= （ ）A. B.C. D.53544334D这个图呢？3.如图,P是 的边 OA 上一点，点 P的坐标为 ，则 =_. 12,5tanM记得构造直角三角形哦！5124.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).ABC22550 28620055tan A.解：5.在等腰ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
9、ACBD.512tanBDADB解：如图，过点A作ADBC交BC于点D， 在RtABD中， 易知BD=5，AD=12.6.在RtABC中,C=90, AB=15,tanA= ,求AC和BC.434kACB1543tan,:ACBCA如图解.1543222kk.225252k. 3k.12344, 9333kACkBC3k.43kk7.如图,正方形ABCD的边长为4,点N在BC上,M、N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tanADN的值.ADBNMC解：由正方形的性质可知， ADN=DNC，BC=DC=4，4tantan.3DCADNDNCNC M、N两点关于对角线AC对称, BN=DM=
10、1. 如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点, 点A(5,0)，O是坐标原点，PAO 的面积为S.（1）求S与x的函数关系式；（2）当S=10时,求tanPAO 的值. M能力提升解：(1)过点P作PMOA于点M，15.22SOAPM=y（2）当S=10时,求tanPAO 的值. M解：510,2Sy=Q4.y=又点P在直线y=-x+6上，x=2.AM=OA-OM=5-2=3.4tan.3PMPAOAM课堂小结课堂小结正切定 义坡 度A越大，tanA越大,梯子越陡与梯子倾斜程度的关系tan铅直高度水平宽度EE1.1 锐角三角函数第一章 直角三角形的边 角关系导
11、入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（BS） 教学课件第2课时 正弦与余弦1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计 算；（重点、难点）2.在直角三角形中求正弦值、余弦值. (重点)学习目标导入新课导入新课复习引入1.分别求出图中A，B的正切值.2.如图，在RtABC中，C90，当锐角A确定时，A的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ABC邻边b对边a斜边c任意画RtABC 和RtABC，使得CC90，AA，那么 与 有什么关系你能试着分析一下吗？ABBCBACBABCABC讲授新课讲授新课正弦的定义一合作探究 在图中，由于CC90，AA，所以AB
12、CABC 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比也是一个固定值ABCABC A的对边与斜边的比叫做A的正弦（sine），记作sinA ， 即ABCcab对边斜边在图中A的对边记作aB的对边记作bC的对边记作c概念学习典例精析例1 如图，在RtABC中，B=90，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.解： 在RtABC中，sin,BCAAC即 0.6,200BC BC=2000.6=120. ABC变式：在RtABC中,C=90,BC=20,求:ABC的周长和面积.解: 在RtABC中,.54sinA20ABC204.5AB5 2025,4
13、AB22252015.AC 2520 1560.ABCC20 15150.2ABCSBC4sin A,BC20,AB5Q余弦的定义二合作探究任意画RtABC 和RtABC，使得CC90，AA，那么 与 有什么关系你能试着分析一下吗？ABCABCABACACA BABCABC 在图中，由于CC90，AA，所以ABCABC 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的邻边与斜边的比也是一个固定值 A的邻边与斜边的比叫做A的余弦（cosine），记作cosA，即ABCcab对边斜边在图中A的对边记作aB的对边记作bC的对边记作c概念学习锐角A的正弦、余弦和正切都是A的三
14、角函数（trigonometric function）.当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.三角函数的定义三 定义中应该注意的几个问题:w 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).w 2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示A的正弦,余弦 (习惯省去“”号).w 3.sinA,cosA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA均0,无单位.w 4.sinA,cosA的大小只与A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.w 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.例2：如图:在等腰ABC中
15、,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB.提示:过点A作ADBC于D.556ABCD:,AADBCDRt ABD解 过 作于则在中5,3,4.ABBDAD易知4sin,5ADBAB3cos,5BDBAB4tan.3ADBBD 如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？AsinA的值越大,梯子越 _ ;cosA的值越 _ ,梯子越陡.陡陡小小8 810106 68 810106 6A议一议例3：在RtABC中,C=90,如图,已知AC=3,AB=6,求sinA和cosB.BCA363 33cos.62BCBAB3 33sin.62BCAAB22633 3.BC:Rt
16、 ABC,AB6,AC3,解 在中VQ想一想:我们发现sinA=cosB,其中有没有什么内在的联系有没有什么内在的联系? ?正弦、余弦和正切的相互转化四求:AB,sinB.10ABC.1312cosA变式：如图:在RtABC中,C=90,AC=10,10 1365.126AB1012sin.65136ACBAB1012.13AB思考:我们再次发现sinA=cosB,其中的内在联系你可否掌握?AC12:cosA,AC10,AB13 解如图：在Rt ABC中，C90，sinAaAc的对边=斜边cosBaBc的邻边=斜边要点归纳sinA=cosBsintancosaa cAAbc bAsintanc
17、osAAA2.在RtABC中，C=90，sinA= ，则tanB的值为_.针对训练1351251.在RtABC中，C=90，则下列式子一定成立的是（）AsinA=sinB BcosA=cosB CtanA=tanB DsinA=cosB D1.如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定2.已知A,B为锐角(1)若A=B,则sinA sinB;(2)若sinA=sinB,则A B.ABCC=当堂练习当堂练习.3.如图, C=90CDAB.4.在上图中,若BD=6,CD=12.则cosA=_.ACBDBsi
18、n( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CDBCACABADAC2 555.如图：P是边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cos =_,tan =_.3543xyo34PA6. 如图，在RtABC中，C90，AB =10，BC6，求sinA、cosA、tanA的值解：又ABC610变式1：如图，在RtABC中，C90，cosA ，求sinA、tanA的值1517解：ABC设AC=15k，则AB=17k变式2：如图，在RtABC中，C90，AC8，tanA ，求sinA、cosB的值43ABC8解：7如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sinECM.解：设正方形
19、ABCD的边长为4x，M是AD的中点，BE=3AE，AMDM2x,AEx,BE3x由勾股定理可知，222222(2 )5EMAMAExxx,AMEDBC222222(2 )(4 )20CMDMDCxxx,222222(4 )(3 )25ECBCBExxx,222.ECEMCM7如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sinECM.55sin.55EMxECMECxAMEDBC由勾股定理逆定理可知，EMC为直角三角形.8如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sinBOA (1)求点B的坐标； (2)求cosBAO的值53ABH
20、解：(1)如图所示，作BHOA， 垂足为H在RtOHB中，BO5，sinBOA ,BH=3，OH4， 35点B的坐标为(4，3) 8如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sinBOA (2)求cosBAO的值53ABH (2)OA10，OH4，AH6在RtAHB中，BH=3，2222365ABBHAH=3,62 5cos.55AHBAOAB31.在RtABC中课堂小结课堂小结2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小,梯子越陡.sinsincostancosAABAA，DE1.2 30,45,6
21、0角的三角函数值第一章 直角三角形的边角关系导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（BS） 教学课件1.运用三角函数的概念，自主探索，求出30、 45、60角的三角函数值；（重点）2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加 以运用.(难点)学习目标猜谜语一对双胞胎，一个高，一个胖，3个头,尖尖角,我们学习少不了 思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？导入新课导入新课情境引入454590603090思考：你能用所学知识，算出图中各角度的三角函数值吗？ 下图两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值30604545讲授新课讲授新课30
22、、45、60角的三角函数值一合作探究设30所对的直角边长为a，那么斜边长为2a另一条直角边长2223aaa1sin3022aa33cos3022aa3tan3033aa3033sin6022aa1cos6022aa3tan603aa设两条直角边长为a，则斜边长222aaa2cos4522aatan451aa2sin4522aa604530、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 304560sin acos atan a12归纳总结三角函数锐角 a1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角
23、函数的增减性规律吗？锐角三角函数的增减性：当角度在090之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _ ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _ .增大（或减小）减小（或增大）两点反思1.如果是等边三角形的一个内角，则cos=_. 2.在ABC中，C=90，若B=2A,则tanA=_.1233练一练例1 计算:(1)sin30+cos45; (2) sin260+cos260-tan45.注意事项:sin260表示(sin60)2,cos260表示(cos60)2解: (1)sin30+cos4512222231122(2)sin260+cos260-tan453114412.20.
24、典例精析1.求下列各式的值：（1）cos260sin260 （2） 45tan45sin45cos解： （1） cos260sin2601（2）0针对训练由特殊三角函数值确定锐角度数二填一填A=A=A=A=A=A=A=A=A=21sinA21cosA33tanA03023sinA06022cosA0303tanA22sinA23cosA1tanA060045045030060045逆向思维逆向思维例2： 如图，在RtABC中，C90， ，求A的度数3, 6BCAB解： 如图，ABC36典例精析BC32sin AAB266,3ABBC1.如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍，求 3
25、tan3AOOB,OBOB解： 在图中，ABO3练一练2.sincos，则锐角取值范围（ ）A 30 45 B 0 45 C 45 60 D 0 90 B特殊三角函数值的运用三例3 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.0016030 ,2AOD OD=2.5m, ACOBD解:如图,根据题意可知,0cos 30,OCODQAC=2.5-2.1650.34(m). 03cos302.52.165(m).2OCOD例4 已
26、知为锐角，且tan是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2+cos2- tan（+15）的值3解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3，tan0，tan=1，=45.2sin2+cos2- 3 tan（+15）=2sin245+cos245- 3 tan602222323222 3(13).22.在ABC中，若 ，则C=（）A30 B60 C90 D120 213sincos022AB 1. tan(+20)1，锐角的度数应是（）A40 B30 C20 D10 3DD当堂练习当堂练习3.已知cos ，锐角取值范围（ ）A 60 90 B 0 60 C 30 90 D 0 30
27、 21A4.求下列各式的值：（1）12 sin30cos30（2）3tan30tan45+2sin60（3）30tan160sin160cos解：(1)12 sin30cos30(2)3tan30tan45+2sin605.如图，在ABC中，A=30， 求AB.3tan,2 3,2BACABCD解：过点C作CDAB于点D，A=30，1sin2CDAACQ，3cos2ADAACQ，3tan2CDBBDQ，6. 在RtABC中，C90， 求A、B的度数721BC,AC,BAC721解： 由勾股定理得： A=30B = 90 A = 9030= 60 20mtantan45,DCEBACADCDC
28、解：由已知得，tan45 ,ACDCDABE1.6m20m45C7.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？20 tan451.6ABACCB=20+1.6=21.6（m）30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 304560sin acos atan a对于sin与tan，角度越大，函数值也越大；对于cos，角度越大，函数值越小.课堂小结课堂小结锐角 a三角函数DDD1.4 解直角三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第一章 直角三角形的边角关系九年级数学
29、下（BS） 教学课件1.掌握解直角三角形的概念；（重点）2.掌握解直角三角形的依据并能熟练解题. (重点、难点)学习目标ACBcba(1) 三边之间的关系:a2+b2=_；(2)锐角之间的关系：A+B=_；(3)边角之间的关系：sinA=_，cosA=_，tanA=_. 在RtABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中C=90，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？c290acbcab导入新课导入新课复习引入讲授新课讲授新课已知两边解直角三角形一问题1 如果已知RtABC中两边的长，你能求出这个三角形其他的元素吗？例1 如图，在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ,
30、求这个直角三角形的其他元素.15,5ab解：在RtABC中，a2+b2=c2,222 5.cab 30B，90903060 .ABABC515典例精析15,5,ab在RtABC中，51sin.22 5bBc在如图的RtABC中，根据AC2.4，斜边AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC62.4练一练已知一边及一锐角解直角三角形二问题2 如果已知RtABC中一边和一锐角，你能求出这个三角形其他的元素吗？例2 如图，在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=30，B25,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1）.ABCb30ca25解：3064.tantan2
31、5baBsin,30,bBbc3071.sinsin25bcB在RtABC中，C=90，B=25，A=65.tan,30,bBba 在图中的RtABC中，根据A75，斜边AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABCsinsin6 sin755.8BCABCABAABcoscos6 cos751.6ACAACABAAB675）练一练 事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素ABabcC 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形归纳总结构造直角三角形解
32、决问题三例3 如图，在ABC中，B=30，C=45，AC=2，求BC.DABC解：过点 A作 ADBC于D.在ACD中，C=45，AC=2，CD=AD=sinCAC=2sin45= .在ABD中，B=30，BD=BC=CD+BD= +练一练 如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC=4， sinB ，则菱形的周长是（） A10 B20 C40 D28 45C1.如图，在RtABC中，C=90，B=30， AB=8，则BC的长是（）4 3A.4B.4C.8 3D.4 3 D当堂练习当堂练习2.在ABC中，AB=AC=3，BC=4，则cosB 的值是_.233.如图，已知RtABC中，斜边BC
33、上的高AD=3，cosB= ，则AC的长为（） A3 B3.75 C4.8 D5 45 B4.在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形；（1）a = 30 , b = 20 ;解：根据勾股定理得ABCb=20a=30c (2) B72，c = 14.ABCbac=14解：sin14 sin7213.3bcBogcos14 cos724.3acBog5. 如图，在RtABC中，C90，AC=6， BAC的平分线 ，解这个直角三角形.4 3AD DABC64 3解：AD平分BAC，6. 如图，在RtABC 中，C=90，cosA = ， BC = 5， 试求AB的长.13解：ACB190
34、cos3CA，1.3ACAB设1,3ABx ACx，222ABACBC，222153xx1215 215 2,.44xx （舍去）AB的长为15 2.47. 如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米?解：如图所示，依题意可知，当B=600 时，答：梯子的长至少4.62米.CAB图当ABC为锐角三角形时，如图，BC=BD+CD=12+5=17.图解：cosB= ，B=45，22当ABC为钝角三角形时，如图，=12 2=45ABB，=cos12.AD BD ABB AC=13，由勾股定理得CD=5BC=BD-CD=1
35、2-5=7；BC的长为7或17.当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论.8. 在ABC中，AB= ，AC=13，cosB= ，求 BC的长.12 222解直角三角形依据解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素勾股定理两锐角互余锐角的三角函数课堂小结课堂小结（2）两锐角之间的关系 AB90（3）边角之间的关系（1）三边之间的关系 （勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：1.5 三角函数的应用导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第一章 直角三角形的边角关系九年级数学下（BS） 教学课件1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；（
36、重点）2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角 的问题.(难点)学习目标情境引入我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？泰坦尼克号.mp4引例 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25的C处。之后，货轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？BAC60与方位角有关的实际问题一讲授新课讲授新课D【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于 10 n mile
37、.北东解：由点A作ADBC于点D,设AD= x , 则在RtABD中，在RtACD中，解得20.7910 x 所以，这船继续向东航行是安全的.BACD2555北东tantan55BDADBADxtantan25CDADCADx由BC=BD-CD,得tan552520,BCxx 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？6534PBCA试一试解：如图 ，在RtAPC中，PCPAcos（9065）80cos25800.91=72.8在RtBPC中，
38、B34sinPCBPB72.8130.19sinsin34PCPBB当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约130.19海里6534PBCA利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案方法归纳例1 如图，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30，ACBC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45,求山高(结果保留根号)分析：求AC，无论是在RtAC
39、D中，还是在RtABC中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代数式表示BC和DC，由BD1000m建立关于AC的方程，从而求得AC.仰角和俯角问题二解：在RtABC中，3= tan= tan30 =,3ACBBC=3.BCAC 在RtACD中，= tan= tan45 = 1,ACADCDC=.DCACBDBCDC=3-ACAC()=3 -1= 1000AC()()1000= 5003 +1m .3 -1AC例2 如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30，则地面目标B，C之间的距离是_解析：由题意可知，在R
40、tABC中，B90，CCAD30，AB1000m，()1000=1000 3 m .tantan30ABBCC【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，=30,=60.RtABD中，=30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BCABCD仰角水平线俯角解
41、：如图， = 30,= 60， AD120tan,tanBDCDADADQtan120 tan30BDAD312040 33tan120 tan60CDAD1203120 340 3120 3BCBDCD160 3277.1答：这栋楼高约为277.1m.ABCD建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54，观察底部B的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1m）.ABCD40m5445ABCD40m5445解：在等腰三角形BCD中ACD=90，BC=DC=40m.在RtACD中，AB=ACBC=55.240=15.1答：旗杆的高度为15.1m.练一练tanACADCD
42、CtanACADC DCtan54 40 55.1利用坡角解决实际问题三例4 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45和30，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）. 45304米12米ABCD414. 12,732. 13解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F由题意可知 DECF4（米）， CDEF12（米） 在RtADE中， 在RtBCF中，同理可得 因此ABAEEFBF=4126.9322.93（米）答： 路基下底的宽约为22.93米45304米12米ABCEFD4tan 45DEAEAE Q，44().tan 45AE米46.93( )ta
43、n30BF米1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离BC=_米.2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，则建筑物CD的高为_米.100当堂练习当堂练习20 3图1图2BCBC3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45和30，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，CAB=45，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留） 100 13米图3图4222cm5.如图，港口A在观测站O的正东方
44、向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为_.解析：如图，过点A作ADOB于D在RtAOD中，ADO=90，AOD=30，OA=4km，AD= OA=2km在RtABD中，ADB=90，B=CAB-AOB=75-30=45，BD=AD=2km，AB= AD= km即该船航行的距离为 km1222 22 26. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成4
45、5角的方向继续飞行直到终点这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？解：过点C作CDAB于点D，=,=,tan30tan45CDCDADBDADBDAB，()()3 +1= 600,= 3003 -1 .CDCD在RtBCD中，ACBC()= 300 23 -1 .BC 在RtACD中，()= 6003 -1 .AC()()6003 -1 +300 23 -1750750600150(km)答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了150km.【方法总结】求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线(km).7.如下图，在一次数学课外活动中，测得
46、电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角BOA为60，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米（结果保留根号）解：在RtABO中，tanBOA= =tan60=AB=BO tan60=4 =4 （米）答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4 米.8.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度为13，斜坡CD的坡度为12.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）; （2）斜坡CD的坡角（精确到 1）.EFADBC1:2.52361:3解：(1)分别过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为点E、 F,由题意可知BE
47、=CF=23m ， EF=BC=6m.EFADBC 1:2.52361 3:在RtABE中13BEAE33 2369m AEBE在RtDCF中，同理可得2.52.5 2357.5mFDCFADAEEFFD=69+6+57.5=132.5m在RtABE中，由勾股定理可得2222692372.7mABAEBE12.5CFFD(2) 斜坡CD的坡度为tan=1：2.5=0.4，由计算器可算得22. 答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米斜坡CD的坡角约为22.课堂小结课堂小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三
48、角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案1.6 利用三角函数测高导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第一章 直角三角形的边角关系九年级数学下（BS） 教学课件1.能够设计活动方案、自制测倾器和运用测倾器进行实地测量以及撰写活动报告的过程；2.能够对所得的数据进行整理、分析和矫正；(重点)3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题(难点)学习目标导入新课导入新课 如果不告诉你这些高楼大厦的高度，你能想到办法测出它们的高度吗？ 通过这节课的学习，相信你就行.情境引入最高建筑物.mp4讲授新课讲授新课测量倾斜角
49、一0303060609090PQ度盘铅锤支杆问题1：如何测量倾斜角？测量倾斜角可以用测倾器， -简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成03030606090901.把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的0刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.PQ问题2：如何使用测倾器？03030606006902.转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数.M30测量底部可以到达的物体的高度二问题1：如何测量旗杆的高度？ACMNE 在现实生活中，我们可以直接在旗杆下来回行走，所以只需测量一次角度（如图中的）就可以确定旗杆的高度. 所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测
50、得测点与被测物体的底部之间的距离，如图CE的长度.ACMN1.在测点A安置测倾器，测得M的仰角MCE=；E 2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；3.量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度.MN=ME+EN=ltan+a问题2：测量旗杆的高度的步骤是怎么样的呢？例1 如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗经测量，得到大门的高度是m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30，而当时侧倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m).首页首页典例精析解：如图，作EM垂直CD于M点,根据题意，可知DEM=30,BC=EM=30m, CM=BE=1.4
