1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 3.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式 知识梳理 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C( ? )： cos( ? ) cos cos sin sin . (2)S( )： sin( ) sin cos cos sin . (3)T( )： tan( ) tan tan 1?tan tan ? ? ， ， 2 k ， k Z . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2 ： sin2 2sin cos . (2)C2 ： cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 . (3)T2 ： tan2 2tan1 tan2 ? 4 k ，且
2、 k 2 ， k Z . 3公式的常用变形 (1)tan tan tan( )(1?tan tan ) (2)cos2 1 cos22 ， sin2 1 cos22 . (3)1sin2 (sin cos )2， sin cos 2sin? ? 4 . (4)asin bcos a2 b2sin( )， 其中 cos aa2 b2， sin ba2 b2，tan ba(a0) 特别提醒： (1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间 的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解对角变换时： 可以通过诱导公
3、式、两角和与差的三角公式等； 注意倍角的相对性； 注意拆角、拼角技巧，例如， 2 ( ) ( )， ( ) ( ) ， 2 2 ( 2 ) ( )， =【 ;精品教育资源文库 】 = ( ) ( )， 15 45 30 ， 4 2 ? ? 4 等 (2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如， sin4x cos4x (sin2x cos2x)2 2sin2xcos2x 1 12sin22x. 诊断自测 1概念思辨 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的 ( ) (2)存在实数
4、， ，使等式 sin( ) sin sin 成立 ( ) (3)在锐角 ABC 中， sinAsinB 和 cosAcosB 大小关系不确定 ( ) (4)公式 tan( ) tan tan1 tan tan 可以变形为 tan tan tan( )(1tan tan )，且对任意角 ， 都成立 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A4P131T5)sin20cos10 cos160sin10 ( ) A 32 B. 32 C 12 D.12 答案 D 解析 原式 sin20cos10 cos20sin10 sin(20 10) sin30 12.故选 D.
5、 (2)(必修 A4P146A 组 T3)已知 tan? ? 6 12， tan? ? 6 13， 则 tan( )_. 答案 1 解析 ? ? 6 ? ? 6 ， tan( )tan? ? 6 tan? ? 61 tan? ? 6 tan? ? 612131 16 1. 3小题热身 (1)sin7 cos15sin8cos7 sin15sin8 的值为 ( ) A 2 3 B 2 3 C 2 D.12 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 原式 sin?15 8 ? cos15sin8cos?15 8 ? sin15sin8 sin15cos8cos15cos8 tan15 ta
6、n(45 30) tan45 tan301 tan45tan30 1 331 33 3 13 1 2 3.故选 B. (2)若 sin( )sin cos( )cos 45，且 是第二象限角，则 tan? ? 4 等于 ( ) A 7 B 7 C.17 D 17 答案 C 解析 sin( )sin cos( )cos 45， cos 45. 又 是第二象限角， sin 35，则 tan 34. tan? ? 4 tan 4 tan1 tan 4tan1 341 34 17.故选 C. 题型 1 求值问题 典例 已知 cos?4 x 35，若1712 0， sin 0)， 由 sin2 cos2
7、 1， 解得 cos sin ?cos sin ?2 4sin cos 125 4825 75， 即有 sin 35， cos 45，则 t sin2 925； (2)若 t 1，且 a b 1，即有 4cos sin sin2 1， 即有 4cos sin 1 sin2 cos2 ， 由 为锐角，可得 cos (0,1)，即有 tan sincos 14， 则 tan2 2tan1 tan2 121 116 815， tan? ?2 4 tan2 11 tan2 1 8151 815 237. 方法技巧 三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有
8、关的条件，并结合简单的向量运算进行化简 =【 ;精品教育资源文库 】 = 冲关针对训练 (2017 南通模拟 )已知向量 m ? ?sinx2， 1 ， n ? ?1， 3cosx2 ，函数 f(x) m n. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 f? ? 23 23，求 f? ?2 3 的值 解 (1)f(x) sinx2 3cosx2 2sin? ?x2 3 ， f(x)的最小正周期 T 212 4. (2) f? ? 23 2sin 2 23， sin 2 13， cos 1 2sin2 2 79， f? ?2 3 2sin? ? 2 2cos 149. 1 (2016 全国
9、卷 )若 cos? ? 4 35，则 sin2 ( ) A.725 B.15 C 15 D 725 答案 D 解析 解法一： cos? ? 4 22 (cos sin ) 35?cos sin 3 25 ?1sin2 1825， sin2 725.故选 D. 解法二： sin2 cos? ? 2 2 2cos2? ? 4 1 1825 1 725.故选 D. 2 (2014 全国卷 )设 ? ?0， 2 ， ? ?0， 2 ，且 tan 1 sincos ，则 ( ) A 3 2 B 3 2 C 2 2 D 2 2 答案 C 解析 解法一：由 tan 1 sincos 得 sincos 1 s
10、incos ， 即 sin cos cos sin cos ，所以 sin( ) cos ，又 cos sin? ? 2 ，所以 sin( )=【 ;精品教育资源文库 】 = sin? ? 2 ，又因为 ? ?0， 2 ， ? ?0， 2 ，所以 2 2 ， 0 2 2 ，因此 2 ，所以 2 2.故选 C. 解法二： 1 sincos ? ?sin 2 cos 2 2cos2 2 sin2 2sin 2 cos 2cos 2 sin 2 tan? ? 4 2 tan . ? ?0， 2 ， ? ?0， 2 ， 4 2 ? ? 4 ， 2 ， 4 2 ，即 2 2.故选 C. 3 (2014
11、全国卷 )函数 f(x) sin(x 2 ) 2sin cos( x )的最大值为_ 答案 1 解析 f(x) sin(x ) 2sin cos(x ) sin(x )cos cos(x )sin 2sin cos(x ) sin(x )cos sin cos(x ) sin(x ) sinx， f(x)的最大值为 1. 4 (2017 全国卷 )函数 f(x) sin2x 3cosx 34? ?x ? ?0， 2 的最大值是 _ 答案 1 解析 f(x) 1 cos2x 3cosx 34 ? ?cosx 32 2 1. x ? ?0， 2 ， cosx0,1， 当 cosx 32 时， f(
12、x)取得最大值，最大值为 1. 重点保分 两级优选练 A 级 一、选择题 1计算 sin43cos13 sin47cos103 的结果等于 ( ) A.12 B. 33 C. 22 D. 32 答案 A 解析 原式 sin43cos13 cos43sin13 sin(43 13) sin30 12.故选 A. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2.sin47 sin17cos30cos17 ( ) A 32 B 12 C.12 D. 32 答案 C 解析 sin47 sin(30 17) sin30cos17 cos30sin17 ， 原式 sin30cos17cos17 sin30 12.故选 C. 3 (2017 云南一检 )已知过点 (0,1)的直线 l： xtan y 3tan 0 的斜率为 2，则tan( ) ( ) A 73 B.73 C.57 D 1 答案 D 解析 由题意知 tan 2， tan 13. tan( ) tan tan1 tan tan 2 131 2 ? ? 13 1. 故选 D. 4 cos 9 cos 29 cos ? ? 239 ( ) A 18 B 116 C.116 D.18 答案 A 解析 cos 9 cos 29 cos ? ? 239 cos20cos40cos100 cos20cos40cos80 sin20cos20cos40
