1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2 6 对数与对数函数 知识梳理 1对数 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2对数函数的概念、图象与性质 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3反函数 概念：当一个函数的自变量和函数值成一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数 4对数函数与指数函数的关系 指数函数 y ax(a0 且 a1) 与对数函数 y logax(a0 且 a1) 互为反函数 (1)对数函数的自变量 x 恰好是指数函数的函数值 y，而对数函数的函数值 y 恰好是指数函数的自变量 x， 即二者的定义域和值
2、域互换 (2)由两函数的图象关于直线 y x 对称，易知两函数的单调性、奇偶性一致 特别提示：底数 a 对函数 y logax(a0 且 a1) 的图象的影响 (1)底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的 “ 升降 ” ：当 a1 时，对数函数的图象 “ 上升 ” ；当 01 还是 01 时，若 logaxlogbx，则 a0且 a1) 的图象过定点 (1,0)，且过点 (a,1)， ? ?1a， 1 .( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A1P72例 8)设 a log36， b log510， c log714，则 ( ) A cba B bc
3、a C acb D abc 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 解法一：由对数运算法则得 a log36 1 log32， b 1 log52， c 1 log72，由对数函数图象得 log32log52log72，所以 abc，故选 D. 解法二：由对数运算法则得 a 1 log32， b 1 log52， c 1 log72， log27log25log230， 1log27bc.故选 D. (2)(必修 A1P75T11)(lg 5)2 lg 2lg 50 _. 答案 1 解析 原式 (lg 5)2 lg 2lg (25 2) (lg 5)2 2lg 5lg 2 (lg 2
4、)2 (lg 5 lg 2)2 1. 3小 题热身 (1)(2017 衡阳八中一模 )f(x)? ?13x?x0 ?，log3x?x0?，则 f? ?f? ?19 ( ) A 2 B 3 C 9 D 9 答案 C 解析 f(x)? ?13x?x0 ?，log3x?x0?， f? ?19 log319 2， f? ?f? ?19 f( 2) ? ?13 2 9.故选 C. (2)(2018 郑州模拟 )已知 lg a lg b 0(a0 且 a1 ， b0 且 b1) ，则 f(x) ax与g(x) logbx 的图象可能是 ( ) 答案 B 解析 lg a lg b 0， a 1b，又 g(x
5、) logbx log1bx logax(x0)， 函数 f(x)与 g(x)的单调性相同，故选 B. 题型 1 对数的运算 典例 1 (2017 郑州二检 )若正数 a， b 满足 2 log2a 3 log3b log6(a b)，则1a=【 ;精品教育资源文库 】 = 1b的值为 ( ) A 36 B 72 C 108 D.172 用转化法 答案 C 解析 设 2 log2a 3 log3b log6(a b) k，可得 a 2k 2， b 3k 3， a b 6k，所以 1a 1b a bab 6k2k 23k 3 108.故选 C. 典例 2 (2018 镇江模拟 )已知 log18
6、9 a,18b 5，求 log3645. 将指数式统一为对数式 解 因为 log189 a,18b 5，所以 log185 b，于是 log3645 log1845log1836 log18?95 ?1 log182 a b1 log18189 a b2 a. 方法技巧 对数运算的一般思路 1对于指数式、对数式混合型条件的化简求值问题，一般可 利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解见典例 2. 2在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运
7、算对于连等式，注意设等式为 k，见典例 1. 冲关针对训练 1已知 3a 4b 12，则 1a 1b ( ) A.12 B 1 C 2 D. 2 答案 C 解析 因为 3a 4b 12， 所以 a log3 12， b log4 12， 1a log 123，1b log 124， 所以 1a 1b log 123 log 124 log 1212 2.故选 C. 2 (log32 log92)(log 43 log83) _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 54 解析 原式 ? ?log3212log32 ?12log2313log23 32log3256log23325654.
8、题型 2 对数函数的图象及应用 典例 (2018 长 春模拟 )当 0 x12时， 4x logax，则 a 的取值范围是 ( ) A.? ?0， 22 B.? ?22 ， 1 C (1， 2) D ( 2， 2) 用数形结合法，排除法 答案 B 解析 解法一：构造函数 f(x) 4x和 g(x) logax，当 a 1 时不满足条件，当 0 a 1时，画出两个函数在 ? ?0， 12 上的图象，可知 f? ?12 g? ?12 ，即 2 loga12， a 22 ，则 a 的取值范围为 ? ?22 ， 1 .故选 B. 解法二： 0 x 12， 1 4x2 ， logax 4x 1， 0 a
9、 1，排除选项 C、 D；取 a 12， x 12， 则有 412 2， log1212 1，显然 4x logax 不成立，排除选项 A.故选 B. 条件探究 若典例变为：若不等式 x2 logax1 时，显然不成立； 当 00 且 a1) 的值域为 y|y1 ，则函数 y loga|x|的图象大致是 ( ) 答案 B 解析 由于 y a|x|的值域为 y|y1 ， a1，则 y logax 在 (0， ) 上是增函数， 又函数 y loga|x|的图象关于 y 轴对称 =【 ;精品教育资源文库 】 = 因此 y loga|x|的图象应大致为选项 B.故选 B. 2 (2017 青岛统考 )
10、已知函数 g(x) |x k| |x 1|，若对任意的 x1， x2 R，都有 f(x1) g(x2)成立，则实数 k 的取值范围为 _ 答案 k 34或 k 54 解析 对任意的 x1 ， x2 R，都有 f(x1) g(x2)成立，即 f(x)max g(x)min ，由的图象 (如图 )可知，当 x 12时， f(x)取最大值，f(x)max 14；因为 g(x) |x k| |x 1| x k (x 1)| |k 1|，所以 g(x)min |k 1|，所以 |k 1| 14，解得 k 34或 k 54，故答案为 k 34或 k 54. 题型 3 对数函数的性质及应用 角度 1 比较对
11、数值的大小 典例 设 a log3 ， b log2 3， c log3 2，则 ( ) A abc B acb C bac D bca 借助中间值 1 比较 a， b 的大小，用作商法比较 b， c大小 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 因为 a log3log 33 1， b log2 3b，又 bc12log2312log32(log23)21， b0，所以 bc，故 abc.故选 A. 角度 2 解对数不等式 典例 (2017 江西名校联考 )设函数 f(x) log12(x2 1) 83x2 1，则不等式 f(log2x) f(log12x)2 的解集为 ( ) A
12、(0,2 B.? ?12， 2 C 2， ) D.? ?0， 12 2， ) 利用函数的奇偶性，单调性结合换元法解不等式 答案 B 解析 f(x)的定义域为 R， f( x) log12(x2 1) 83x2 1 f(x)， f(x)为 R 上的偶函数 易知其在区间 0， ) 上单调递减， 令 t log2x，则 log12x t， 则不等式 f(log2x) f(log12x)2 可化为 f(t) f( t)2 ，即 2f(t)2 ，所以f(t)1. 又 f(1) log122 83 1 1， f(x)在 0， ) 上单调递减，在 R 上为偶函数， 1 t1 ，即 log2x 1,1， x
13、? ?12， 2 ，故选 B. 角度 3 对数函数性质的综合应用 典例 已知函数 f(x) loga(3 ax) (1)当 x 0,2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间 1,2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由 =【 ;精品教育资源文库 】 = 根据复合函数单调性求解 解 (1) a0 且 a1 ，设 t(x) 3 ax， 则 t(x) 3 ax 为减函数， x 0,2时， t(x)的最小值为 3 2a， 当 x 0,2时， f(x)恒有意义， 即 x 0,2时， 3 ax0
14、 恒成立 3 2a0， a0 且 a1 ， a (0,1) ? ?1， 32 . (2)t(x) 3 ax， a0， 函数 t(x)为减函数 f(x)在区间 1,2上为减函数， y logat 为增函数， a1， x 1,2时， t(x)最小值为 3 2a， f(x)最大值为 f(1) loga(3 a)， ? 3 2a0，loga?3 a? 1， 即 ? alogab 的不等式，借助 y logax 的单调性求解，如果 a的取值不确定，需分 a1 与 0b 的不等式，需先将 b 化为以a 为底的对数式的形式 4对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如 y logaf(x)的复合函数的单调区间，其一般步骤为： 求定义域，即满足 f(x)0 的 x 的取值集合； 将复合函数分解成基本初等函数 y logau 及 u f(x)； 分别确定这两个函数的单调区间； 若这两个函数同增或同减，则 y logaf(x)为增函数，若一增 一减，则 y logaf(x)为减函数，即 “ 同增异减 ” 冲关针对训练 1 (2018 河南模拟 )设 a 60.4， b log0.40.5， c log80.4，则 a， b， c 的大小关系是
