1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识梳理 1两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有 几类不同的方案 在第 1 类方案中有 m1种不同的方法，在第 2类方案中有 m2种不同的方法 ? 在第 n类方案中有 mn种不同的方法 完成一件事需要 n 个步骤 ，做第 1步有 m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法 ? 做第 n 步有 mn种不同的方法 结论 完成这件事共有 N m1 m2 ? mn种方法 完成这件事共有 Nm1 m2? mn种方法 2两个计数原理的区别与联系 诊断自测 1概念思辨 (1)在分类加法计数原理
2、中，两类不同方案中的方法可以相同 ( ) (2)在分步乘法计数原理中，只有各个步骤都完成后，这件事情才算完成 ( ) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 ( ) (4)如果完成一件事情有 n 个不同的步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i1,2,3， ? ， n)，那么完成这件事共有 m1m2m3? mn种方法 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) =【 ;精品教育资源文库 】 = 2教材衍化 (1)(选修 A2 3P10T4)某公共 汽车上有 10 名乘客，沿途有 5 个车站，乘客下车的可能方式有 ( ) A 510种 B 105种 C 50
3、 种 D以上都不对 答案 A 解析 要完成这件事可分 10 步，即 10 名乘客分别选一个车站下车，由于每个乘客都有5 个 车 站 进 行 选 择 ， 由 分 步 乘 法 计 数 原 理 知 ， 乘 客 下 车 的 可 能 方 式 有 N 510(种 )故选 A. (2)(选修 A2 3P10T1)某种彩票规定：从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注，每注2 元，某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号，从 11 到 20 中选 2 个连续的号，从 21 至 30 中选 1个号，从 31至 36中选 1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花 ( ) A 3
4、360 元 B 6720 元 C 4320 元 D 8640 元 答案 D 解析 这种特殊要求的号共有 89106 4320(注 )，因此至少需花费 43202 8640(元 )，所以选 D. 3小题热身 (1)(2018 杭州质检 )从集合 1,2,3， ? ， 10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为 ( ) A 3 B 4 C 6 D 8 答案 D 解析 当公比为 2时，等比数列可为 1,2,4或 2,4,8； 当公比为 3时，等比数列可为 1,3,9；当公比为 32时，等比数列可为 4,6,9.同理，公比为 12， 13， 23时，也有 4 个故根据分类
5、加法计数原理共有 8 个等比数列故选 D. (2)现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 ( ) A 24 种 B 30 种 C 36 种 D 48 种 答案 D 解析 需要先给 C 块着色，有 4 种结果；再给 A 块着色，有 3 种结果；再给 B 块着色 ，有 2 种结果；最后给 D 块着色，有 2 种结果，由分步乘法计数原理知共有 4322 =【 ;精品教育资源文库 】 = 48(种 )故选 D. 题型 1 分类加法计数原理的应用 典例 三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 4 次传递后，毽子
6、又被踢回给甲，则不同的传递方式共有 ( ) A 4 种 B 6 种 C 10 种 D 16 种 本题用树状图法 答案 B 解析 分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有 3 种方法 (如图 )，甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲 同理，甲先传给丙时，满足 条件有 3 种踢法 由分类加法计数原理，共有 3 3 6 种传递方法故选 B. 方法技巧 1分类加法计数原理的用法及要求 (1)用法：应用分类加法计数原理进行计数时，需要根据完成事件的特点，将要完成一件事的方法进行 “ 分类 ” 计算 (2)要求：各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事 2使用分类加法计数
7、原理遵循的原则 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循 “ 标准要明确，不重不漏 ” 的原则 提醒：对于分类类型较多，而其对立事件包含的类型较 少的可用间接法求解 冲关针对训练 (2018 信阳期末 )用 10元、 5元和 1元来支付 20元钱的书款，不同的支付方法有 ( ) A 3 种 B 5 种 C 9 种 D 12 种 答案 C 解析 用 10 元、 5 元和 1 元来支付 20 元钱的书款，有以下几类办法： 用 2 张 10 元钱支付； 用 1 张 10 元钱和 2 张 5 元钱支付； 用 1 张 10 元钱、 1 张 5 元钱和 5 张 1 元钱支付； 用 1 张
8、 10 元钱和 10 张 1 元钱支付； 用 1 张 5 元钱和 15 张 1 元钱支付； 用 2 张 5 元钱和 10 张 1 元钱支付； 用 3 张 5 元钱和 5 张 1 元钱支付； 用 4 张 5 元钱支付； =【 ;精品教育资源文库 】 = 用 20 张 1 元钱支付 故共有 9 种方法故选 C. 题型 2 分步乘法计数原理 典例 1 从 2,3,4,5,6,7,8,9 这 8 个数中任取 2 个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为 ( ) A 56 B 54 C 53 D 52 答案 D 解析 第一步选取 1 个数作为底数有 8 种选择方法，第二步选取
9、 1 个数作为真数有 7种方法，共有 87 56 个对数，其中对数值相等的有 log24 log39， log42 log93， log23 log49， log32 log94 共 4 个，故选 D. 结论探究 典例 1 中条件不变，将结论 “ 可以组成不同的对数值 ” 改为 “ 可以组成不同的分数值 ” ，则结果如何，其中有多少个不同的真分数？ 解 第一步，从 8 个数中选取 1 个作为分母第二步，再从剩下的 7 个数中选取 1 个作为分子，共有 87 56 个分数，其中重复出现的为 12 个，故可构成 56 12 44 个不同的分数值，其中真分数有 22 个 典例 2 定义集合 A 与
10、B 的运 算 A*B 如下： A*B (x， y)|xA ， yB ，若 A a， b，c， B a， c， d， e，则集合 A*B 的元素个数为 _(用数字作答 ) 答案 12 解析 显然 (a， a)， (a， c)等均为 A*B 中的关系，确定 A*B 中的元素是 A 中取一个元素来确定 x， B 中取一个元素来确定 y，由分步计数原理可知 A*B 中有 34 12 个元素 方法技巧 1分步乘法计数原理的用法及要求 (1)用法：应用分步乘法计数原理时，需要根据要完成事件的发生过程进行 “ 分步 ” 计算 (2)要求：每个步骤相互依存，其中的任何一 步都不能单独完成这件事，只有当各个步骤
11、都完成，才算完成这件事 2应用分步乘法计数原理的注意点 (1)明确题目中所指的 “ 完成一件事 ” 是什么事，必须要经过几步才能完成这件事 (2)解决分步问题时要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选取 冲关针对训练 (2018 浙江杭州质检 )用 1,2,3,4,5 组成不含重复数字的五位数，数字 2 不出现在首位和末位，数字 1,3,5 中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是_ (用数字作答 ) 答案 48 解析 根据题意，可以 分为两步：第一步将 1,3,5 分为两组且同一组的两个数排序，共有 6 种方法；第二步，将第一步的两组看成两个元素，与 2
12、,4 排列，其中 2 不在两边且第一=【 ;精品教育资源文库 】 = 步两组 (记为 a， b)之间必有元素，即 4， a,2， b； a,2,4， b； a,4,2， b； a,2， b,4，其中 a，b 可以互换位置，所以共有 8 种根据分步乘法计数原理知，满足题意的五位数共有 68 48 个 . 题型 3 两个计数原理的综合应用 角度 1 组数、组队、抽取问题 典例 (2018 贵阳模拟 )已知集合 M 1， 2,3， N 4,5,6， 7)，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内多少个不同点 ( ) A 18 B 10 C 16 D 14 答
13、案 B 解析 第三、四象限内点的纵坐标为负值，分 2 种情况讨论 取 M 中的点作横坐标，取 N 中的点作纵坐标，有 32 6(种 )情况； 取 N 中的点作横坐标，取 M 中的点作纵坐标，有 41 4(种 )情况 综上共有 6 4 10(种 )情况故选 B. 角度 2 涂色问题 典例 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法种数 解 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论由题设，四棱锥 S ABCD 的顶点 S， A， B 所染的颜色互不相同
14、，它们共有 543 60 种染色方法 当 S， A， B 染好时，不妨设其颜色分别为 1、 2、 3，若 C 染 2，则 D 可染 3 或 4 或 5，有 3 种染法；若 C 染 4，则 D 可染 3 或 5，有 2 种 染法；若 C 染 5，则 D 可染 3 或 4，有 2种染法可见，当 S， A， B 已染好时， C， D 还有 3 2 2 7 种染法，故不同的染色方法有607 420 种 角度 3 与计数原理有关的新定义问题 典例 (2018 湖北模拟 )回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数如22,121,3443,94249 等显然 2 位回文数有 9 个： 11,22,33， ? ， 99.3 位回文数有 90 个：101,111,121， ? ， 191,202， ? ， 999. 则： (1)4 位回文数有 _个； (2)2n 1(n N*)位回文数有 _个 答案 (1)90 (2)910 n =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)4 位回文数相当于填 4 个方格，首尾相同，且不为 0，共 9 种填法；中间两位一样，有 10 种填法共计 910 90(种 )填法，即 4 位回文数有 90 个 (2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格由计数原理，共有 910 n种填法 方法技巧 1组数、组点、组线、组队及
