1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 33 讲 一元二次不等式及其解法 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 . 2017 江苏卷， 7 2016 江苏卷， 5 2015 山东卷， 1 对一元二次不等式的考查主要以考查解法为主，同时也考查一元二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等另外，以函数、数列为载体，以一元二次不等式的解法为手段求参数的取值范围 也是热点 . 分值： 5 分 三个二次之间的关系 判别式 b
2、2 4ac 0 0 0 二次函数 y ax2bx c(a 0)的图象 一元二次方程 ax2bx c 0(a 0)的根 有两相异实根x1， x2(x1 x2) 有两相等实根 x1 x2 b2a 没有实数根 ax2 bx c 0(a0)的解集 _x|x x1或 x x2_ _?x? x b2a _ _R_ ax2 bx c 0(a0)的解集 _x|x1 xx2_ _?_ _?_ 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)若不等式 ax2 bx c 0 的解集为 (x1， x2)，则必有 a 0.( ) (2)若不等式 ax2 bx c 0 的解集是 ( ， x1) (x2， ) ，则方程
3、ax2 bx c 0的两个根是 x1和 x2.( ) (3)若方程 ax2 bx c 0(a0) 没有实数根，则不等式 ax2 bx c 0 的解集为R.( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)不等式 ax2 bx c0 在 R 上恒成立的条件是 a 0 且 b2 4ac0.( ) (5)若二次函数 y ax2 bx c 的图象开口向下，则不等式 ax2 bx c 0 的解集一定不是空集 ( ) 解析 (1)正确由不等式解集为 (x1， x2)可知 a 0，故正确 (2)正确由不等式的解集可知命题正确 (3)错误当 a 0 时，不等式的解集为 ?，故错误 (4)错误不等式恒成立的条件为
4、? a 0， 0 或 ? a b 0，c0 ， 故错误 (5)正确图象开口向下，则一定有小于 0 的部分，故正确 2已知全集 U R，集合 A ? x? ?x 13 x 0 ， B x| y 4 2x ，则 A B ( D ) A (1,2) B (2,3) C 2,3) D (1,2 解析 x 13 x 0， (x 1)(x 3) 0， 1 x 3.又 4 2x0 ， 42 x， x2 ， A B x|1 x2 ，故选 D 3不等式 x(2 x) 0 的解集为 _(0,2)_. 解析 x(2 x) 0， x(x 2) 0， 0 x 2，故解集为 (0,2) 4关于 x 的不等式 ax2 bx
5、 2 0 的解集是 ? ? 12， 13 ，则 a b _ 14_. 解析 由 题意 可知 a 0 且 12和 13是 方程 ax2 bx 2 0 的 两个 根， ? 12 13 ba， 12 13 2a，解得? a 12，b 2. a b 14. 5不等式 x2 ax 40 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是 _( 4 4， ) _. 解析 由题意可知 a2 160 解得 a4 或 a 4. 一 含参数的一元二次不等式的解法 (1)二次项中若含有参数应讨论是小于零，等于零，还是大于零，然后将不等式转化为=【 ;精品教育资源文库 】 = 二次项系数为正的形式 (2)当不等式对应方程的根的
6、个数不确定时，讨论判别式 与零的关系 (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 【例 1】 解关于 x 的不等式： ax2 22 x ax(a R) 解析 原不等式可化为 ax2 (a 2)x 20. 当 a 0 时，原不等式化为 x 10 ，解得 x 1. 当 a 0 时，原不等式化为 ? ?x 2a (x 1)0 ，解得 x 2a或 x 1. 当 a 0 时，原不等式化为 ? ?x 2a (x 1)0. 当 2a 1，即 a 2 时，解得 1 x 2a； 当 2a 1，即 a 2 时，解得 x 1 满足题意； 当 2a 1，即 20，x a
7、2 2，g? 2?0 ，即? a2 4?3 a?0， a2 2，4 2a 3 a0? a2或 a0，x a2 2，g?2?0 ，即? a2 4?3 a?0， a2 2，7 a 0? a2或 aa2(a R) 解析 (1)原不等式等价于? x2 x 20，x2 x 24 ? x2 x 20，x2 x 60 ? ?x 2?x 1?0，?x 3?x 2?0 ? x2或 xa2， 12x2 ax a20，即 (4x a)(3x a)0， 令 (4x a)(3x a) 0，得 x1 a4， x2 a3. 当 a0 时， a4a3； 当 a 0 时， x20，解集为 x|x0 ； 当 aa3，解集为 |x
8、 x a4. 综上所述，当 a0 时，不等式的解集为 |x xa3； 当 a 0 时，不等式的解集为 x|x0 ； 当 a a4. 易错点 分不清主元、次元 错因分析：如果式子中含有两个或多个变量，解题时通常是以一个为主，兼顾其他 【例 1】 (1)对任意 x 1,1，函数 f(x) x2 (a 4)x 4 2a 的值恒大于零，求 a的取值范围 (2)对任意 a 1,1，函数 f(x) x2 (a 4)x 4 2a 的值恒大于零，求 x 的取值范围 解析 (1)当 x 1,1时， x2 (a 4)x 4 2a 0 恒成 立 ?(x 2)a x2 4x 4 0恒成立 ?(x 2)a (x 2)2
9、恒成立 1 x1 时， 3 x 2 1， a (x 2)恒成立 1 (x 2)3 ， a 的取值范围是 ( ， 1) (2)f(x) x2 (a 4)x 4 2a (x 2)a x2 4x 4， 令 g(a) (x 2)a x2 4x 4， 依题意，在 a 1,1时， g(a)的值恒大于零， ? g? 1? ?x 2? ? 1? x2 4x 4 0，g?1? ?x 2?1 x2 4x 4 0， 解得 x 1 或 x 3. x 的取值范围是 ( ， 1) (3， ) 【跟踪训练 1】 若不等式 2kx2 kx 38 0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为( D ) =【 ;精品教育资源
10、文库 】 = A ( 3,0) B 3,0) C 3,0 D ( 3,0 解析 当 k 0 时，显然成立； 当 k0 时，一元二次不等式 2kx2 kx 38 0 对一切实数 x 都成立， 则? k 0，k2 42 k ? ? 38 0， 解得 3 k 0. 综上， k 的取值范围是 ( 3,0，故选 D 课时达标 第 33 讲 解密考纲 考查不等式的解法，常以选择题或填空题的形式出现在解答题中也涉及一元二次不等式的解法 一、选择题 1不等式 2x 10 的解集是 ( C ) A x|x 1 B x|x2 C x|14，则对于函数 f(x) ax2 bx c 应有( B ) A f(5)0 的
11、解集是 ( 1,3)，则不等式f( 2x)0 成立，则实数 x 的取值范围为 _( 3， 1)_. 解析 不等式可变形为 (x2 x)p 3x 3 0，令 f(p) (x2 x)p 3x 3， p 1,1原不等式成立等价于 f(p) 0， p 1,1，则? f? 1? 0，f?1? 0， 即 ? x2 x 3x 3 0，x2 x 3x 3 0， 解得 3 x 1. 9已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)0 的解集为 (1,2)，若方程 f(x)的最大值小于 1，则 a 的取值范围是 _( 4,0)_. 解析 由题意知 a 0，可设 f(x) a(x 1)(x 2) ax2 3ax 2a， f(x)max f? ?32 a4 1， a 4，故 4 a 0. 三、解答题 10已知 f(x) 3x2 a(6 a)x 6. (1)解关于 a 的不等式 f(1)0； (2)若不等式 f(x)b 的解集为 ( 1,3)，求实数 a， b 的值 解析 (1)由题意知 f(1) 3 a(6 a) 6 a2 6a 30，即 a2 6a 3b 的解集为 ( 1,3)， 方程 3x2 a(6 a)x 6 b 0 的两根为 1,3，
