1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 31 讲 数列求和 解密考纲 考查数列的通项公式、数列求和的方法，主要考查公式法、裂项相消法和错位相减法求前 n 项和，以及利用 Sn与 an的关系求通项公式，三种题型均有考查，位于各类题型的中间靠后位置 一、选择题 1数列 an的前 n 项和为 Sn，若 an 1n n ，则 S6 ( D ) A 142 B 45 C 56 D 67 解析 因为 an 1n n 1n 1n 1，所以 S6 1 12 12 13 16 17 1 17 67. 2已知 Sn 12 1 13 2 12 3 1n 1 n，若 Sm 10，则 m ( C ) A 11 B 99
2、C 120 D 121 解析 因为 1n 1 n n 1 nn 1 n n 1 n，所以 Sm 2 1 3 2 m 1 m m 1 1.由已知得 m 1 1 10，所以 m 120，故选 C 3在数列 an中，已知 a1 1， an 1 an sin n 2 ，记 Sn为数列 an的前 n 项和，则 S2 018 ( D ) A 1 006 B 1 007 C 1 008 D 1 010 解析 由题意，得 an 1 an sin n 2 ，所以 a2 a1 sin 1， a3 a2 sin32 0， a4 a3 sin 2 0， a5 a4 sin52 1， ，因此，数列 an是一个以 4 为
3、周期的周期数列，而 2 018 4504 2，所以 S2 018 504( a1 a2 a3 a4) a1 a2 1 010，故选 D 4已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a5 5， S5 15，则数列 ? ?1anan 1的前 100 项和为( A ) A 100101 B 99101 C 99100 D 101100 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d. a5 5， S5 15， ? a1 4d 5，5a1 2 d 15， ? a1 1，d 1， an a1 (n 1)d n. 1anan 1 1n n 1n 1n 1， 数列 ?
4、?1anan 1的前 100项和为 1 12 12 13 11001101 11101100101. 5数列 an的通项公式 an ncos n2 ，其前 n 项和为 Sn，则 S2 018 ( B ) A 2 017 B 1 010 C 504 D 0 解析 因为 an ncosn2 ，所以当 n 为奇数时， an 0， 当 n 为偶数时， an? n， n 4m， n， n 4m 2， 其中 m N*， 所以 S2 018 a1 a2 a3 a4 a5 a2 016 a2 017 a2 018 a2 a4 a6 a8 a2 016 a2 018 2 4 6 8 10 12 14 2 016
5、 2 018 ( 2 4) ( 6 8) ( 10 12) ( 2 014 2 016) 2 018 2504 2 018 1 010，故选 B 6已知数列 an满足 a1 1， an 1 an 2n(n N*)， Sn 是数列 an的前 n 项和，则 S2 018 ( B ) A 22 018 1 B 32 1 009 3 C 32 1 009 1 D 32 2 018 2 解析 依题意得 an an 1 2n， an 1 an 2 2n 1，于是有 an 1 an 2an an 1 2，即an 2an 2，数列 a1， a3， a5， ， a2n 1， 是以 a1 1 为首项、 2 为公比
6、的等比数列；数列 a2， a4， a6， ， a2n， 是以 a2 2 为首项、 2 为公比的等比数列，于是有 S2 018 (a1 a3 a5 a2 017) (a2 a4 a6 a2 018) 1 21 0091 2 21 0091 2 321 009 3. 二、填空题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 7在数列 an中， an 1n 1 2n 1 nn 1，又 bn 2anan 1，则数列 bn的前 n 项和为 _ 8nn 1_. 解析 ann n2n 1 n2， bn8n n 8?1n1n 1 . b1 b2 bn 8? ?1 12 12 13 1n 1n 1 8nn 1. 8 (20
7、18 河南郑州模拟 )设数列 an的通项公式为 an 2n 10(n N*)，则 |a1| |a2| |a15| _130_. 解析 由 an 2n 10(n N*)知 an是以 8 为首项， 2 为公差的等差数列，又由 an 2n 100 得 n5 ，所以当 n5 时， an0； 当 n5 时， an0 ，所以 |a1| |a2| |a15| (a1 a2 a3 a4) (a5 a6 a15) 20 110 130. 9若数列 an是正项数列，且 a1 a2 an n2 3n(n N*)，则 a12 a23 ann 1 _2n2 6n_. 解析 令 n 1，得 a1 4， a1 16. 当
8、n2 时， a1 a2 an 1 (n 1)2 3(n 1) 与已知式相减，得 an (n2 3n) (n 1)2 3(n 1) 2n 2. an 4(n 1)2，当 n 1 时， a1适合 an. an 4(n 1)2， ann 1 4n 4， a12 a23 ann 1 n 8 4n 42 2n2 6n. 三、解答题 10在数列 an中， a1 3， an 2an 1 (n 2) (n2 ， n N*) (1)求 a2， a3的值； (2)证明：数列 an n是等比数列，并求 an的通项公式； (3)求数列 an的前 n 项和 Sn. 解析 (1)令 n 2 得 a2 2a1 6. 令 n
9、 3，得 a3 2a2 1 13. (2)证明：因为 an n 2an 1 (n 1)， a1 1 40 ，所以 an n0 ，所以an nan 1 n 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所 以数列 an n是首项为 4，公比为 2 的等比数列， 所以 an n 42 n 1 2n 1，所以 an 2n 1 n. (3)因为 an 2n 1 n， 所以 Sn (22 23 2n 1) (1 2 n) 2n1 2 n n2 2n 2 n2 n 82 . 11 (2018 安徽淮南模拟 )在公差为 d 的等差数列 an中，已知 a1 10，且 a1,2a2 2,5a3成等比数列 (1)求 d
10、， an； (2)若 d0，求 |a1| |a2| |a3| |an|. 解析 (1)由题意得 5a3 a1 (2a2 2)2， 所以 d2 3d 4 0，解得 d 1 或 d 4， 所以 an n 11 或 an 4n 6. (2)设数列 an的前 n 项和为 Sn. 因为 d0，所以 d 1， an n 11. 当 n11 时， |a1| |a2| |a3| |an| Sn 12n2 212n； 当 n12 时， |a1| |a2| |a11| |a12| |an| a1 a2 a11 a12 anS11 (Sn S11) Sn 2S11 12n2 212n 110. 综上所述， |a1|
11、 |a2| |an|? 12n2 212n， n11 ，12n2 212n 110， n12.12 (2016 山东卷 )已知数列 an的前 n 项和 Sn 3n2 8n， bn是等差数列，且 an bn bn 1. (1)求数列 bn 的通项公式； (2)令 cn ann 1bn n ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn. 解析 (1)由题意知，当 n2 时， an Sn Sn 1 6n 5. 当 n 1 时， a1 S1 11，所以 an 6n 5. 设数列 bn的公差为 d. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由? a1 b1 b2，a2 b2 b3， 即 ? 11 2b1 d，17 2b1 3d. 可解得 b1 4， d 3. 所以 bn 3n 1. (2)由 (1)知 cn nn 1n n 3(n 1)2n 1. 又 Tn c1 c2 cn， 得 Tn 322 2 32 3 (n 1)2 n 1， 2Tn 322 3 32 4 (n 1)2 n 2，两式作差， 得 Tn 322 2 23 24 2n 1 (n 1)2 n 2 3 ? ?4 2n1 2 nn 2 3n2 n 2. 所以 Tn 3n2 n 2.
