1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6.4 数列求和 最新考纲 考情考向分析 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法 . 本节以考查分组法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法求数列前 n 项和为主，识别出等差 (比 )数列，直接用公式法也是考查的热点题型以解答题的形式为主，难度中等或稍难一般第一问考查求通项，第二问考查求和，并与不等式、函数、最值等问题综合 . 1等差数列的前 n 项和公式 Sn n?a1 an?2 na1 n?n 1?2 d. 2等比数列的前 n 项和公式 Sn? na1， q 1，a1 anq1 q a1?1 qn?1
2、q ， q1.3一些常见数列的前 n 项和公式 (1)1 2 3 4 ? n n?n 1?2 . (2)1 3 5 7 ? 2n 1 n2. (3)2 4 6 8 ? 2n n(n 1) (4)12 22 ? n2 n?n 1?2n 1?6 . 知识拓展 数列求和的常用方法 (1)公式法 直接利用等差、等比数列的求和公式求和 (2)分组转化法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 把数列转化为几个等差、等比数列，再求解 (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项 常见的裂项公式 1n?n 1? 1n 1n 1； 1?2n 1?2n 1? 12? ?12n 1 12n 1
3、 ； 1n n 1 n 1 n. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 (6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an ( 1)nf(n)类型，可采用两项合并求解 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)如果数列 an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn a1 an 11 q .( ) (2)当 n2 时， 1n2 1 12? ?1n 1 1n 1 .( ) (3)求 S
4、n a 2a2 3a3 ? nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得 ( ) (4)数列 ? ?12n 2n 1 的前 n 项和为 n2 12n.( ) (5)推导等差数列求和公式的方法叫作倒序求和法，利用此法可求得 sin21 sin22 sin23 ? sin288 sin289 44.5.( ) (6)如果数列 an是周期为 k 的周期数列，那么 Skm mSk(m， k 为大于 1 的正整数 ) ( ) 题组二 教材改编 2一个球从 100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第 10 次着地时，经过的路程是 ( ) A 100 20
5、0(1 2 9) B 100 100(1 2 9) =【 ;精品教育资源文库 】 = C 200(1 2 9) D 100(1 2 9) 答案 A 解析 第 10 次着地时，经过的路程为 100 2(50 25 ? 1002 9) 100 2100(2 1 2 2 ? 2 9) 100 200 2 1?1 2 9?1 2 1 100 200(1 2 9) 3 1 2x 3x2 ? nxn 1 _.(x0 且 x1) 答案 1 xn?1 x?2nxn1 x 解析 设 Sn 1 2x 3x2 ? nxn 1， 则 xSn x 2x2 3x3 ? nxn， 得 (1 x)Sn 1 x x2 ? xn
6、 1 nxn 1 xn1 x nxn， Sn 1 xn?1 x?2nxn1 x. 题组三 易错自纠 4 (2017 潍坊调研 )设 an是公差不为 0 的等差数列， a1 2，且 a1， a3， a6成等比数列，则an的前 n 项和 Sn等于 ( ) A.n2 7n4 B.n2 5n3 C.2n2 3n4 D n2 n 答案 A 解析 设等差数列的公差为 d，则 a1 2， a3 2 2d， a6 2 5d. 又 a1， a3， a6成等比数列， a23 a1 a6. 即 (2 2d)2 2(2 5d)，整理得 2d2 d 0. d0 ， d 12. Sn na1 n?n 1?2 d n247
7、4n. 5 (2018 日照质检 )数列 an的通项公式为 an ( 1)n 1(4 n 3)，则它的前 100 项之和S100等于 ( ) A 200 B 200 C 400 D 400 答案 B 解析 S100 (41 3) (42 3) (43 3) ? (4100 3) 4(1 2) (3 4)=【 ;精品教育资源文库 】 = ? (99 100) 4( 50) 200. 6数列 an的通项公式为 an ncos n2 ，其前 n 项和为 Sn，则 S2 017 _. 答案 1 008 解析 因为数列 an ncos n2 呈周期性变化，观察此数列规律如下： a1 0， a2 2， a
8、3 0，a4 4. 故 S4 a1 a2 a3 a4 2. a5 0， a6 6， a7 0， a8 8， 故 a5 a6 a7 a8 2， 周期 T 4. S2 017 S2 016 a2 017 2 0164 2 2 017cos 2 0172 1 008. 题型一 分组转化法求和 典例 (2018 合肥质检 )已知数列 an的前 n 项和 Sn n2 n2 ， n N . (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 2an ( 1)nan，求数列 bn的前 2n 项和 解 (1)当 n 1 时， a1 S1 1； 当 n2 时， an Sn Sn 1 n2 n2 ?n 1?2 ?n
9、1?2 n. a1也满足 an n， 故数列 an的通项公式为 an n. (2)由 (1)知 an n，故 bn 2n ( 1)nn. 记数列 bn的前 2n 项和为 T2n，则 T2n (21 22 ? 22n) ( 1 2 3 4 ? 2n) 记 A 21 22 ? 22n， B 1 2 3 4 ? 2n， 则 A 2?1 22n?1 2 22n 1 2， B ( 1 2) ( 3 4) ? (2n 1) 2n n. 故数列 bn的前 2n 项和 T2n A B 22n 1 n 2. 引申探究 本例 (2)中，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解 由 (1)知 bn 2n ( 1)nn
10、. =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 n 为偶数时， Tn (21 22 ? 2n) 1 2 3 4 ? (n 1) n 2 2n 11 2 n2 2n 1 n2 2； 当 n 为奇数时， Tn (21 22 ? 2n) 1 2 3 4 ? (n 2) (n 1) n 2n 1 2 n 12 n 2n 1 n2 52. Tn? 2n 1 n2 2， n为偶数，2n 1 n2 52， n为奇数 .思维升华 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an bn cn，且 bn， cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求 an的前 n 项和 (2)通项公式为 an? bn， n为奇数，cn， n为偶数
11、 的数列，其中数列 bn， cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论 跟踪训练 等差数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 bn是等比数列，满足 a1 3， b1 1， b2 S2 10， a5 2b2 a3. (1)求数列 an和 bn的通项公式； (2)令 cn? 2Sn， n为奇数，bn， n为偶数，设数列 cn的前 n 项和为 Tn，求 T2n. 解 (1)设数列 an的公差为 d，数列 bn的公比为 q， 由? b2 S2 10，a5 2b2 a3， 得 ?
12、q 6 d 10，3 4d 2q 3 2d， 解得 ? d 2，q 2， an 3 2(n 1) 2n 1， bn 2n 1. (2)由 a1 3， an 2n 1 得 Sn n?a1 an?2 n(n 2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 cn? 2n?n 2?， n为奇数，2n 1， n为偶数，即 cn? 1n1n 2， n为奇数，2n 1， n为偶数， T2n (c1 c3 ? c2n 1) (c2 c4 ? c2n) ? ? ?1 13 ? ?13 15 ? ? ?12n 1 12n 1 (2 23 ? 22n 1) 1 12n 1 2?1 4n?1 4 2n2n 123(4n
13、 1) 题型二 错位相减法求和 典例 (2017 天津 )已知 an为等差数列，前 n 项和为 Sn(n N )， bn是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， b2 b3 12， b3 a4 2a1， S11 11b4. (1)求 an和 bn的通项公式； (2)求数列 a2nb2n 1的前 n 项和 (n N ) 解 (1)设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q. 由已知 b2 b3 12，得 b1(q q2) 12，而 b1 2， 所以 q2 q 6 0. 又因为 q0，解得 q 2，所以 bn 2n. 由 b3 a4 2a1，可得 3d a1 8， 由 S11 11
14、b4，可得 a1 5d 16， 联立 ，解得 a1 1， d 3，由此可得 an 3n 2. 所以数列 an的通项公式为 an 3n 2，数列 bn的通项公式为 bn 2n. (2)设数列 a2nb2n 1的前 n 项和为 Tn，由 a2n 6n 2， b2n 1 24 n 1，得 a2nb2n 1 (3n 1)4 n， 故 Tn 24 54 2 84 3 ? (3n 1)4 n， 4Tn 24 2 54 3 84 4 ? (3n 4)4 n (3n 1)4 n 1， ，得 3Tn 24 34 2 34 3 ? 34 n (3n 1)4 n 1 12 ?1 4n?1 4 4 (3n 1)4n 1 (3n 2)4 n 1 8， 得 Tn 3n 23 4 n 1 83. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以数列 a2nb2n 1的前 n 项和为 3n 23 4 n 1 83. 思维升华 错位相减法求和时的注意点 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形 (2)在写出 “ Sn” 与 “ qSn” 的表达式时应特别注意将 两式 “ 错项对齐 ” 以便下一步准确写出“ Sn qSn” 的表达式 (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等
