1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 等比数列及其前 n 项和 一、选择题 1已知 an, bn都是等比数列,那么 ( ) A an bn, an bn都一定是等比数列 B an bn一定是等比数列,但 an bn不一定是等比数列 C an bn不一定是等比数列,但 an bn一定是等比数列 D an bn, an bn都不一定是等比数列 解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列 答案 C 2在等比数列 an中,如果 a1 a4 18, a2 a3 12,那么这个数列的公比为 ( ) A 2 B.12 C 2 或 12 D 2 或 12 解析 设数列 an的公比为 q,由 a1 a4a2
2、 a3 a1 q3a1 q q2 1 q3q q2 q q q2q q 1 q q2q 1812,得 q 2 或 q12.故选 C. 答案 C 3 (教材改编 )一个蜂巢里有 1 只蜜蜂第 1 天,它飞出去找回了 5 个伙 伴;第 2 天, 6 只蜜蜂飞出去,各自找回了 5 个伙伴 如果这个找伙伴的过程继续下去,第 6 天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有 _只蜜蜂 ( ) A 55 986 B 46 656 C 216 D 36 解析 设第 n 天蜂巢中的蜜蜂数量为 an,根据题意得数列 an成等比数列, a1 6, q 6,所以 an的通项公式 an 66 n 1,到第 6 天,所有的蜜蜂都
3、归巢后,蜂巢中一共有 a666 5 66 46 656 只蜜蜂,故选 B. 答案 B 4 (2015 全国 卷 )已知等比数列 an满足 a1 3, a1 a3 a5 21,则 a3 a5 a7 ( ) A 21 B 42 C 63 D 84 解析 设等比数列 an的公比为 q,则由 a1 3, a1 a3 a5 21 得 3(1 q2 q4) 21,解得 q2 3(舍去 )或 q2 2,于是 a3 a5 a7 q2(a1 a3 a5) 221 42,故选 B. 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 5设各项都是正数的等比数列 an, Sn为前 n 项和,且 S10 10, S30 70
4、,那么 S40等于 ( ) A 150 B 200 C 150 或 200 D 400 或 50 解析 依题意,数列 S10, S20 S10, S30 S20, S40 S30成等比数列,因此有 (S20 S10)2 S10(S30 S20) 即 (S20 10)2 10(70 S20),故 S20 20 或 S20 30,又 S20 0, 因此 S20 30, S20 S10 20, S30 S20 40, 故 S40 S30 80. S40 150.故选 A. 答案 A 二、填空题 6 (2017 安庆模拟 )在等比数列 an中, Sn表示前 n 项和,若 a3 2S2 1, a4 2S
5、3 1,则公比 q 等于 _ 解析 两式相减得 a4 a3 2a3,从而求得 a4a3 3.即 q 3. 答案 3 7在各项均为正数的等比数列 an中,若 a2 1, a8 a6 2a4,则 a6的值是 _ 解析 因为 a8 a2q6, a6 a2q4, a4 a2q2,所以由 a8 a6 2a4得 a2q6 a2q4 2a2q2,消去a2q2,得到关于 q2的一元二次方程 (q2)2 q2 2 0,解得 q2 2, q2 1 舍去, a6 a2q4 12 2 4. 答案 4 8已知各项均为正数的等比数列 an的前 n 项和为 Sn,若 S4 3S2, a3 2,则 a7 _. 解析 设等比数
6、列 an的首项为 a1,公比为 q,显然 q1 且 q 0,因为 S4 3S2,所以a1 q41 q 3a1 q21 q ,解得 q2 2,因为 a3 2,所以 a7 a3q4 22 2 8. 答案 8 三、解答题 9在等比数列 an中, a2 3, a5 81. (1)求 an; (2)设 bn log3an,求数列 bn的前 n 项和 Sn. 解 (1)设 an的公比为 q,依题意得 ? a1q 3,a1q4 81, 解得 ? a1 1,q 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因此, an 3n 1. (2)因为 bn log3an n 1, 所以数列 bn的前 n 项和 Sn n b
7、1 bn2 n2 n2 . 10 (2017 合肥模拟 )设 an是公比为 q 的等比数列 (1)推导 an的前 n 项和公式; (2)设 q1 ,证明数列 an 1不是等比数列 解 (1)设 an的前 n 项和为 Sn, 当 q 1 时, Sn a1 a1 a1 na1; 当 q1 时, Sn a1 a1q a1q2 a1qn 1, qSn a1q a1q2 a1qn, 得, (1 q)Sn a1 a1qn, Sn a1 qn1 q , Sn ? na1, q 1,a1 qn1 q , q1.(2)假设 an 1是等比数列,则对任意的 k N , (ak 1 1)2 (ak 1)(ak 2
8、1), a2k 1 2ak 1 1 akak 2 ak ak 2 1, a21q2k 2a1qk a1qk 1 a1qk 1 a1qk 1 a1qk 1, a10 , 2qk qk 1 qk 1. q0 , q2 2q 1 0, q 1,这与已知矛盾 故数列 an 1不是等比数列 11在正项等比数列 an中,已知 a1a2a3 4, a4a5a6 12, an 1anan 1 324,则 n 等于 ( ) A 12 B 13 C 14 D 15 解析 设数列 an的公比为 q, 由 a1a2a3 4 a31q3与 a4a5a6 12 a31q12, 可得 q9 3, an 1anan 1 a3
9、1q3n 3 324, 因此 q3n 6 81 34 q36, 所以 n 14,故选 C. 答案 C 12 (2016 临沂模拟 )数列 an中,已知对任意 n N , a1 a2 a3 an 3n 1,则 a21a22 a23 a2n等于 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A (3n 1)2 B.12(9n 1) C 9n 1 D.14(3n 1) 解析 a1 a2 an 3n 1, n N , n2 时, a1 a2 an 1 3n 1 1, 当 n2 时, an 3n 3n 1 23 n 1, 又 n 1 时, a1 2 适合上式, an 23 n 1, 故数列 a2n是首项为
10、4,公比为 9 的等比数列 因此 a21 a22 a2n 9n1 9 12(9n 1) 答案 B 13 (2017 南昌模拟 )在等比数列 an中, a2 1,则其前 3 项的和 S3的取值范围是 _ 解析 当 q0 时, S3 a1 a2 a3 1 a1 a31 2 a1a3 1 2 a22 3,当且仅当 a1a3 1 时等号成立 当 q0 时, S3 a1 a2 a3 1 a1 a31 2 a1a3 1 2 a22 1,当且仅当 a1 a31 时等号成立 所以, S3的取值范围是 ( , 1 3, ) 答案 ( , 1 3, ) 14 (2015 四川卷 )设数列 an(n 1,2,3,
11、) 的前 n 项和 Sn满足 Sn 2an a1,且 a1, a2 1, a3成等差数列 (1)求数列 an的通项公式; (2)记数列 ? ?1an的前 n 项和为 Tn,求使得 |Tn 1| 11 000成立的 n 的最小值 解 (1)由已知 Sn 2an a1, 有 an Sn Sn 1 2an 2an 1(n2) , 即 an 2an 1(n2) ,所以 q 2. 从而 a2 2a1, a3 2a2 4a1, 又因为 a1, a2 1, a3成等差数列,即 a1 a3 2(a2 1), 所以 a1 4a1 2(2a1 1), 解得 a1 2, 所以,数列 an是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 故 an 2n. (2)由 (1)得 1an 12n, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 Tn 12 122 12n12?1?12n1 12 1 12n. 由 |Tn 1| 11 000,得 ? ?1 12n 1 11 000, 即 2n 1 000, 因为 29 512 1 000 1 024 210,所以 n10 , 于是,使 |Tn 1| 11 000成立的 n 的最小值为 10.