1、8.6.3 8.6.3 平面平面与平面垂直与平面垂直（3 3）二面角lABPQ 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面二面角的记法：二面角的记法：二面角-AB-；二面角P-AB-Q；二面角-l-或P-l-Q 在二面角-l-的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角 二面角的大小用它的平面角来度量. 二面角的平面角的取值范围为0o180o1. 求二面角大小的步骤： (1) 作 作出平面角； (2) 证 明所作的角满足定义，即为所求二面角证的平面角； (3
2、) 求 将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小.简称为“一作二证三求解”.2. 作出二面角的平面角的方法：方法一：(定义法) 在二面角的棱上找一个特殊点O，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA，OB. 如图所示，AOB为二面角-a-的平面角解取AB的中点D，连接VD，CD，VAB中，VAVBAB2，VAB为等边三角形，VDC为二面角VABC的平面角，而VDC是等边三角形，VDC60，二面角VABC的大小为60.例1在三棱锥VABC中，VAABVBACBC2，VC ，求二面角VABC的大小.D90OBPCA 练习2 如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，E为棱CC中点， 求二面角A-BD
3、-E的大小ABDADCBCOE例例2 2 如图，已知PA平面ABC，ABAC，PA=3， AB=2，AC= 求二面角P-BC-A的余弦值.2 3方法二：(垂线法)在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则AOB就是二面角的平面角.AOaA AB BP PC CD DB解：解：例例2 2 如图，已知PA平面ABC，ABAC，PA=3， AB=2，AC= 求二面角P-BC-A的余弦值.A AB BP PC CD D2 3过点过点A A作作A AD DBCBC，垂足为，垂足为D D，连接，连接PDPD. .BCBC平面平面P PADAD.
4、 .BCBCPDPD. .PAPABCBC. . 又又P PD DAAD D= =D D，PAPA平面平面ABCABC，BCBC 平面平面A ABCBC，PDAPDA是是二面角二面角P-P-BC-ABC-A的平面角的平面角. .在在RtRtABCABC中易得中易得BC=BC= 4.4.A AC C, ,A AB B2 21 1A AD DB BC C2 21 1解得解得AD=AD=. .3 3在在RtRtPADPAD中易得中易得PD=PD=cosPDA=cosPDA=. .3 32 2.2 21 1二面角二面角P-BC-AP-BC-A的余弦值为的余弦值为 . .1 12 2OABPC取取AB
5、的中点为的中点为E，连连PE，OEO为为 AC 中点中点， ABC=90OEBC且且 OE BC212221在RtPOE中， OE ，PO 22tanPEO22所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为PEO为二面角为二面角P-AB-C 的平面角的平面角23在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PE21OEAB ，因此因此 PEABE解：解：EOP练习3 如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。2练习4E练习5 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，且平面PAB平面ABCDPA=PB=AB=2，求二面角P-AC-B的余弦值EO方法三：(垂面法)过棱上一点O作垂直于棱的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角 如图所示，AOB为二面角-l-的平面角方法三：(垂面法)过棱上一点O作垂直于棱的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角 如图所示，AOB为二面角-l-的平面角B1C1D1A1ABCDMN正方体中平面ABC1D1与平面ABCD 所成的二面角求二面角大小的方法：求二面角大小的方法：定义法定义法垂线法垂线法垂面法垂面法AOaB
