1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 43 讲 不等式恒成立问题 考试要求 1.不等式包含两个元的情况 (C 级要求 )； 2.不等式恒成立问题涉及一元二次不等式、线性规划、基本不等式恒成立问题 .解决问题的本质是转化成求最值问题 . 诊 断 自 测 1.设 y (log2x)2 (t 2)log2x t 1， 若 t 在 2， 2上变化时 y 恒取正值 ， 则实数 x 的取值范围为 _. 解析 设 f(t) y (log2x 1)t (log2x)2 2log2x 1， t 2， 2， 问题转化为： f(t) 0 对 t 2， 2恒成立 ?f（ 2） 0，f（ 2） 0 ?（ log2x）
2、2 4log2x 30，（ log2x） 2 10 ?0 x 12或 x 8. 故实数 x 的取值范围是 ? ?0， 12 (8， ). 答案 ? ?0， 12 (8， ) 2.不等式 2x2 2mx m4x2 6x 3 1 对一切实数 x 恒成立 ， 则实数 m 的取值范围为 _. 解析 由 4x2 6x 3 ? ?2x 322 34 0， 对一切实数 x 恒成立 ， 从而原不等式等价于 2x2 2mx m 4x2 6x 3(x R)， 即 2x2 (6 2m)x (3 m) 0 对一切实数 x 恒成立 . 则 (6 2m)2 8(3 m) 0， 解得 1 m 3， 故 实数 m 的取值范围
3、是 (1， 3). 答案 (1， 3) 3.(一题多解 )已知 f(x) x2 2x ax 0 在 x )1， 上恒成立 ， 则实数 a 的取值范围为_. 解析 法一 f(x) x2 2x ax 0 对 x )1， 恒成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = ? x2 2x a 0 对 x )1， 恒成立 . 设 g(x) x2 2x a， x )1， ， 问题转化为： g(x)min 0 g(x) x2 2x a (x 1)2 a 1, x )1， ， g(x)在 )1， 上是增函数 . g(x)min g(1) 3 a， 3 a 0? a 3. 即所 求实数 a 的取值范围为 ( 3， ).
4、 法二 f(x) x2 2x ax 0 对 x )1， 恒成立 ? x2 2x a 0 对 x )1， 恒成立 ? a (x2 2x)对 x )1， 恒成立 设 (x) (x2 2x)， x )1， . 问题转化为： a (x)max. (x) (x2 2x) (x 1)2 1， x )1， . (x)在 )1， 上是减函数 . (x)max (1) 3， a 3， 即所求实数 a 的取值范围为 ( 3， ). 答案 ( 3， ) 4.若定义在 (0， ) 的函数 f(x)满足 f(x) f(y) f(xy)， 且 x1 时不等式 f(x)1， 有 f ? ?x2x10， 所以 a 的取值范围
5、是 (0， 2. 答案 (0， 2 知 识 梳 理 1.恒成立问题转化成最值处理 =【 ;精品教育资源文库 】 = a f(x)对 x D 恒成立 ?a f(x)max， a f(x)对 x D 恒成立 ? a f(x)min. 2.恒成立问题处理方法： 图象法、最值法、参变分离法、变换主元法等 . 3.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题：若 f(x)在区间 D 上存在最小值 ， 则不等式 f(x)A 在区间 D 上恒成立?f(x)minA(x D)； 若 f(x)在区间 D 上存在最大值 ， 则不等式 f(x)A成立 ?f(x)maxA(x D)； 若 f(x)在区间 D
6、上存在最小值 ， 则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)A 恰在区间 D 上成立 ?f(x)A 的解集为 D； 不 等式 f(x)2x a 1 在 a 1， 1上恒成立 . 设 f(a) (x 1)a x2 2x 1， 则 f(a)是 a 的一次函数或常数函数 ， 要使 f(a)0 在 a 1， 1上恒成立 ， 则须满足 ?f（ 1） 0，f（ 1） 0 ?x2 x0，x2 3x 20?x2 或 x0，f（ n） 0. f(x) 0 在 x m， n 上恒成立 ?f（ m） 0， b0， 若不等式 2a 1b m2a b恒成立 ， 则 m 的最大值等于 _. 解析 原不等式恒成立等价
7、于 m ? ?2a 1b (2a b)的最小值 ， 而 ? ?2a 1b (2a b) 5 2ba 2ab 5 2 2ba 2ab 9， 当且仅当 a b 时取等号 ， 所以 m9 ， 即 m 的最大值为 9. 答案 9 2.设变量 x， y 满足约束条件?x y a，x y8 ，x 6，且不等式 x 2y14 恒成立 ， 则实数 a 的取值范围是 _. 解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示 ， 显然 a8 ， 否则可行域无 意义 .由图可知 x 2y 在点 (6， a 6)处取得最大值 2a 6， 由 2a 614 得 a10. 故 a 的取值范围是8， 10. 答案 8， 10
8、3.已知 x0， y0， 且 2x 1y 1， 若 x 2ym2 2m 恒成立 ， 则实数 m 的取值范围是 _. 解析 由 x0， y0， 且 2x 1y 1， 得 x 2y (x 2y) ? ?2x 1y 4 4yx xy 4 2 4yx xy=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.当且仅当 4yx xy时 ， 即 x 2y 时取等号 .又 2x 1y 1， 此时 x 4， y 2， 所以 (x 2y)min 8.要使 x 2ym2 2m 恒成立 ， 只需 (x 2y)minm2 2m 恒成立 ， 即 8m2 2m， 解得 40， y0， 若不等式 x3 y3 kxy(x y)恒成立 ， 则
9、实数 k 的最大值为 _. 解析 由题设知 k （ x y）（ x2 xy y2）（ x y） xy ， k x2 xy y2xy xyyx 1 恒成立 . xy yx 12 1 1， 当且仅当 x y 时 “ ” 成立 ， 从而 k1 ， 即 k 的最大值为 1. 答案 1 5.设 k0， 若关于 x 的不等式 kx 4x 1 5 在 (1， ) 上恒成立 ， 则 k 的最小值为 _. 解析 原不等式变为 k(x 1) 4x 1 5 k. k(x 1) 4x 1 4 k， 4 k 5 k， ( k)2 4 k 50 ， ( k 5)( k 1)0 ， k 1， kmin 1. 答案 1 6.
10、已知 xln x (a 1)x 10 对任意的 x ? ?12， 2 恒成立 ， 则实数 a的取值范围为 _. 解析 xln x (a 1)x 10 对 x ? ?12， 2 恒成立 ， 即 a ln x 1 1x在 x ? ?12， 2 上恒成立 ， 令 F(x) ln x 1 1x， F (x) x 1x2 ， 在 x ? ?12， 1 上 F( x)0， F(x)在 x 1 处取极小值 ， 也是最小 值 ， 即 Fmin(x) F(1) 0， a 0. 答案 ( ， 0 7.设存在实数 x ? ?12， 3 ， 使不等式 t ? ?x 1x e|ln x|成立 ， 则实数 t 的取值范围
11、是 _. 解析 由 t ? ?x 1x e|ln x|， 得 te|ln x| ? ?x 1x ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 h(x) e|ln x| ? ?x 1x ?x? ?1213时 ， 存在实数 x ? ?12， 3 使原不等式成立 . 答案 ? ?13， 8.若不等式 x2 2y2 cx(y x)对任意满足 x y 0 的实数 x， y 恒成立 ， 则实数 c 的最大值为 _. 解析 由题意可得 c x2 2y2xy x2x2 2y2x2xy x2x21 2y2x2yx 1， 令 yx t， 则 00， ? ?12 12 4a(1 4a)0 ， 解得 a 18， b 12
12、， c 12， f(x) 18x2 12x 12. 10.已知函数 f(x) ln x 14x 34x 1， g(x) x2 2bx 4.若对任意的 x1 (0， 2)， x21， 2， 不等式 f(x1) g(x2)恒成立 ， 求实数 b 的取值范围 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 问题等价于 f(x)在 (0， 2)上的最小值恒大于或等于 g(x)在 1， 2上的最大值 . 因为 f(x) ln x 14x 34x 1， 所以 f(x)的定义域为 (0， ) ， 所以 f( x) 1x 14 34x2 4x x2 34x2 . 若 f( x)0， 则 x2 4x 32 时 ， g
13、(x)max g(2) 4b 8. 故 问题等价于?b2， 124 b 8.解第一个不等式组得 b0. 当 b0 时 ， 由 (ax 3)(x2 b)0 可设 f(x) ax 3， g(x) x2 b， 又 g(x)的大致图象如下 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 由题意可知?a0， 3a b， 再由 a， b 是整数得 ?a 1，b 9， 或 ?a 3，b 1， 因此 a b 8 或 2， 即取值集合为 8， 2. 答案 8， 2 12.已知函数 f(x) 13x3 x2 x， y f( x)为 f(x)的导函数 ， 设 h(x) ln f (x)， 若对于任意的 x0 ， 1， 不等式 h(x 1 t)h(2x 2)恒成立 ， 求实数 t 的取值范围 . 解 由已知有 f( x) (x 1)2， 则 h(x) 2ln|x 1|， 所以 h(x 1 t) 2ln|x t|， h(2x 2) 2ln|2x 1|. 当 x0 ， 1时 ， |2x 1| 2x 1， 所以不等式等价于 0|x t|2x 1 恒成立 ， 解得 x 1t3x 1， 且 x t. 当 x0 ， 1， 得 x 1 2， 1， 3x 11 ， 4， 所以 1t1. 又 x t， 所以 t?0， 1， 所以 t 的取值范围是 ( 1， 0).
