1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 30 讲 平面向量的平行与垂直 考试要求 1.掌握向量平行与向量垂直的充要条件 (B 级要求 )； 2.能应用向量平行与向量垂直的条件解决相关证明与应用问题 (B 级要求 ). 诊 断 自 测 1.下面说法中正确的有 _(填序号 ). 若 a b，则存在 R，使 a b； 若 a (x1， y1)， b (x2， y2)，且 x1x2 y1y2 0，则 a b； (必修 4P82 习题 8 改编 )已知向量 a (3， 1)， b (2， ).若 a b，则实数 23； (必修 4P81 练习 2 改编 )已知向量 a (5， 12)， b (sin ，
2、cos )，若 a b，则 tan 512； (必修 4P99 本章测试改编 )设 x R，向量 a (x， 1)， b (3， 2)，若 a b，则 x 32. 解析 当 a 0， b 0 时， b 一定为 0，故此时不存在 R，使 a b； 当 a 0 或 b 0 时， x1x2 y1y2 0 成立，但只有两非零向量的夹角为 90 时，称为 a b； 由 3x 2 0 得 x 应该为 23. 答案 2.(2017 无锡高三上学期期末 )已知向量 a (2， 1)， b (1， 1)，若 a b 与 ma b 垂直，则 m 的值为 _. 解析 由 a (2， 1)， b (1， 1)，得 a
3、 b (1， 2)， ma b (2m 1， m 1)， 因为 a b 与 ma b 垂直，所以 2m 1 2(m 1) 0，解得 m 14. 答案 14 3.已知向量 a (1， 2)， b (x， 1)， u a 2b， v 2a b，且 u v，则实数 x 的值为 _. 解析 因为 a (1， 2)， b (x， 1)， u a 2b， v 2a b，所以 u (1， 2) 2(x， 1) (2x 1， 4)， v 2(1， 2) (x， 1) (2 x， 3).又因为 u v，所以 3(2x 1) 4(2 x) 0，即10x 5，解得 x 12. 答案 12 =【 ;精品教育资源文库
4、】 = 4.(必修 4P97 复习题改编 )已知向量 a ( 3， 4)，向量 b a，且 |b| 1，那么 b _. 解析 设 b (x， y)，则由已知得 ?4x 3y，x2 y2 1， 解得?x 35，y 45或?x 35，y 45.答案 ? ? 35， 45 或 ? ?35， 45 5.(必修 4P97 复习题 10 改编 )已知向量 a ( 3， 1)， b (1， 2)，若 ( 2a b) (kab)，则实数 k _. 解析 由已知， 2a b (7， 4)， ka b ( 3k 1， k 2)，而 ( 2a b) (ka b)， 故 7( 3k 1) ( 4)(k 2) 0，解得
5、 k 35. 答案 35 知 识 梳 理 (1)两个向量平行的充要条件：设 a (x1， y1)， b (x2， y2)， b 0，则 a b?存在 R，使 a b；或 a b?x1y2 x2y1 0. (2)两个非零向量垂直的充要条件 ：设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b?a b 0；或 a b?x1x2 y1y2 0. 考点一 向量的平行 (共线 )问题 【例 1】 (1)(2015 全国卷 )设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a 2b 平行，则实数 _. (2)(2018 南京一模 )设向量 a (sin 2 ， cos )， b (cos ， 1)，
6、则 “ a b” 是 “tan 12” 的 _条件 (填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分也不必要 ”). 解析 (1) a b 与 a 2b 平行， 存在 R，使 ( a b) (a 2b)， 即 a b a 2 b， 又 a， b 不平行，故? ，1 2 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 12. (2)由 a b，得 sin 2 cos2 0，即 cos 0 或 2sin cos ， 充分性不成立 .由 tan sin cos 12，得 2sin cos ， sin 2 cos2 0， a b， 必要性成立 . 答案 (1)12 (2)必要不充分
7、 规律方法 当两向量平行且没有出现坐标时，一般使用 “ a b 且 b 0，则存在 R，使 a b” 解题；当两向量垂直且出现坐标时，一般先求出 (或设出 )两向量的坐标，使用 “ a b， a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 x1x2 y1y2 0” 解题 . 【训练 1】 设向量 OA (k， 12)， OB (4， 5)， OC (10， k)，当 k 为何值时， A， B， C 三 点共线？ 解 由已知得 AB OB OA (4 k， 7)， BC OC OB (6， k 5)， 当 AB BC 时， A， B， C 三点共线； 即 (4 k)(k 5) 6( 7)， 解
8、得 k 2 或 11. 当 k 2 或 11 时， A， B， C 三点共线 . 考点二 向量的垂直问题 【例 2】 (2018 扬州中学月考 )已知 |a| 3， |b| 2， a 与 b 的夹角为 120. (1)当 k 为何值时， ka b 与 a kb 垂直？ (2)当 k 为何值时， |ka 2b|取得最小值？并求出最小值 . 解 (1) ka b 与 a kb 垂直， (ka b)( a kb) 0. ka2 k2a b b a kb2 0. 9k (k2 1)32cos 120 4k 0. 3k2 13k 3 0. k 13 1336 . (2) |ka 2b|2 k2a2 4k
9、a b 4b2 9k2 4k32cos 120 44 9k2 12k 16(3k 2)2 12， 当 k 23时， |ka 2b|取得最小值，最小值是 2 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 规律方法 两向量垂直问题，未出现坐标时，用 “ a b 0” 求解；出现坐标时 (a (x1， y1)，b (x2， y2)，用 “ x1x2 y1y2 0” 求解 . 【训练 2】 (2018 盐城中学月考 )已知向量 a (cos ， sin )， b (cos ，sin )(0b，所以 AB，且 B 是 ABC 一内角，则 B 4. 由余弦定理得 (4 2)2 52 c2 25 c ? ? 35
10、 ， 解得 c 1， c 7 舍去， 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 |BA |cos B ccos B 1 22 22 . 二、选做题 11.(2018 泰州中学质检 )设平面向量 a (x， 4)， b (y， 2)， c (2， 1)(其中 x0， y0)，若 (a c) (b c)，则 |a b|的最小值为 _. 解析 由 a (x， 4)， b (y， 2)， c (2， 1)(其中 x0， y0)及 (a c) (b c)，可得 (x 2)(y 2) 9 0，即 xy 2(x y) 5 0， 因为 x0， y0，所以 ? ?x y222( x y) 5， 从而 x y10(
11、 当且仅当 x y 时等号成立 )， 又 a b (x y， 2)， x0， y0，所以 |a b| （ x y） 2 222 26， 故 |a b|的最小值为 2 26. 答案 2 26 =【 ;精品教育资源文库 】 = 12.(2017 镇江期末 )已知向量 m (cos ， 1)， n (2， sin )，其中 ? ?0， 2 ，且 m n. (1)求 cos 2 的值； (2)若 sin( ) 1010 ，且 ? ?0， 2 ，求角 . 解 (1)由题意得 m n 2cos sin 0， 2cos sin ， sin2 cos2 5cos2 1， cos2 15， cos 2 2cos2 1 35. (2) cos2 15， ? ?0， 2 ， cos 55 ， sin 1 15 2 55 ， sin( ) 1010 ，且 ? ?0， 2 ， sin cos cos sin 2 55 cos 55 sin 1010 ， 2cos sin 22 ， sin 2cos 22 ， sin2 cos2 5cos2 2 2cos 12 1， 解得 cos 22 或 cos 210(舍 )， ? ?0， 2 ， 4.
