1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (四十三）双曲线 练基础小题 强化运算能力 1已知双曲线 x2a2y23 1(a 0)的离心率为 2，则 a _. 解析：因为双曲线的方程为 x2a2y23 1，所以 e2 1 3a2 4，因此 a2 1， a 1. 答案： 1 2若双曲线 x2a2y2b2 1 的离心率为 3，则其渐近线方程为 _ 解析：在双曲线中 离心率 e ca 1 ? ?ba 2 3，可得 ba 2，故双曲线的渐近线方程是 y 2x. 答案： y 2x 3已知双曲线 C 的焦点坐标为 (5,0)， ( 5,0)，离心率为 54，则双曲线 C 的标准方程是_ 解析：因为所求
2、双曲线的焦点为 (5,0)， ( 5,0)，离心率为 54，所以 c 5， a 4， b2c2 a2 9，所以所求双曲线标准方程为 x216y29 1. 答案： x216y29 1 4 (2018 海安县高三质量测试 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0，b 0)的渐近线方程为 y 3x，则该双曲线的离心率为 _ 解析：由题意 ba 3， b2 3a2，所以 c2 a2 b2 4a2，所以 e ca 2. 答案： 2 5 (2018 南京学情调研 )在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： x2a2y24 1(a 0)的一条渐近线与直线 y 2x 1 平行
3、，则实数 a _. 解析：由双曲线的方程可知其渐近线方程为 y 2ax.因为一条渐近线与直线 y 2x 1平行，所以 2a 2，解得 a 1. 答案： 1 练常考题点 检验高考能力 =【 ;精品教育资源文库 】 = 一、填空题 1已知 F 是双 曲线 C： x2 y28 1 的右焦点， P 是 C 的左支上一点， A(0,6 6)当 APF周长最小时，该三角形的面积为 _ 解析：设双曲线的左焦点为 F1，由双曲线方程 x2 y28 1 可知， a 1， c 3，故 F(3，0)， F1( 3,0)当点 P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知 |PF| |PF1| 2，所以 |PF| |PF1
4、| 2，从而 APF 的周长为 |AP| |PF| |AF| |AP| |PF1| 2 |AF|.因为 |AF|32 ?6 6?2 15 为定值，所以当 (|AP| |PF1|)最小时， APF 的周长最小， 由图象可知，此时点 P 在线段 AF1与双曲线的交点处 (如图所示 )由题意可知直线 AF1的方程为 y 2 6x 6 6，由? y 2 6x 6 6，x2 y28 1，得 y2 6 6y 96 0，解得 y 2 6或y 8 6(舍去 )，所以 S APF S AF1F S PF1F 1266 6 1262 6 12 6. 答案： 12 6 2已知双曲线 C 的渐近线方程为 y 2 x，
5、且经过点 (2,2)，则 C 的方程为 _ 解析：由题意，设双曲线 C 的方程为 y24 x2 ( 0) ，因为双曲线 C 过点 (2,2)，则 224 22 ，解得 3，所以双曲线 C 的方程为 y24 x2 3，即 x23y212 1. 答案： x23y212 1 3设 F1， F2分别是双曲线 x2a2y2b2 1 的左、右焦点，若双曲线上存在点 A，使 F1AF290 且 |AF1| 3|AF2|，则双曲线的离心率为 _ 解析：因为 F1AF2 90 ，故 |AF1|2 |AF2|2 |F1F2|2 4c2，又 |AF1| 3|AF2|，且 |AF1| |AF2| 2a，所以 |AF1
6、| 3a， |AF2| a，则 10a2 4c2，即 c2a252，故 eca102 (负值舍去 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 102 4设双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1， A2，过 F 作A1A2的垂线与双曲线交于 B, C 两点若 A1B A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为 _ 解析：由题设易知 A1( a,0)， A2(a,0)， B? ?c， b2a ， C?c， b2a . A1B A2C， b2ac a b2ac a 1，整理得 a b. 渐近线方程为 y bax，即 y x， 渐近线的斜率为 1. 答案： 1
7、 5 (2018 江南十校联考 )已知 l 是双曲线 C： x22y24 1 的一条渐近线， P 是 l 上的一点， F1， F2分别是 C 的左、右焦点，若 PF1 PF2 0，则点 P 到 x 轴的距离为 _ 解析：由题意知 F1( 6， 0)， F2( 6， 0)，不妨设 l 的方程为 y 2x，点 P(x0， 2x0)，由 PF1 PF2 ( 6 x0， 2x0)( 6 x0， 2x0) 3x20 6 0，得 x0 2，故点P 到 x 轴的距离为 2|x0| 2. 答案： 2 6已知双曲线 x2a2y2b2 1 与直线 y 2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为 _ 解析： 双曲线的
8、一条渐近线方程为 y bax，则由题意得 ba 2， e ca 1 ? ?ba 21 4 5.即双曲线离心率的取值范围为 ( 5， ) 答案： ( 5， ) 7已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)与椭圆x29y24 1 有相同的焦点，且双曲线 C的渐近线方程为 y 2 x，则双曲线 C 的方程为 _ 解析：易得椭圆的焦点为 ( 5， 0)， ( 5， 0)， ? a2 b2 5，ba 2， a2 1， b2 4， 双曲线 C 的方程为 x2 y24 1. 答案： x2 y24 1 8 (2017 江苏高考 )在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x23 y2 1 的右准线
9、与它的两条=【 ;精品教育资源文库 】 = 渐近线分别交于点 P， Q，其焦点是 F1， F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是 _ 解析：由题意得，双曲线的右准线 x 32与两条渐近线 y 33 x 的交点坐标为?32， 32 . 不妨设双曲线的左、右焦点分别为 F1， F2， 则 F1( 2,0)， F2(2,0)， 故四边形 F1PF2Q 的面积是 12|F1F2| PQ|124 3 2 3. 答案： 2 3 9设 F1， F2分别是双曲线 x2 y2b2 1 的左、右焦点， A 是双曲线上在第一象限内的点，若 |AF2| 2 且 F1AF2 45 ，延长 AF2交双曲线右支于点 B，则
10、 F1AB 的面积等于 _ 解析：由题意可得 |AF2| 2， |AF1| 4，则 |AB| |AF2| |BF2| 2 |BF2| |BF1|.又 F1AF2 45 ，所以 ABF1是以 AF1为斜边的等腰直角三角形，则 |AB| |BF1| 2 2，所以其面积为 122 22 2 4. 答案： 4 10已知点 F1， F2分别为双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左、右焦点， P 为双曲线右支上的任意一点，若 |PF1|2|PF2|的最小值为 9a，则双曲线的离心率为 _ 解析：在双曲线中， P 为右支上一点，则 |PF1| |PF2| 2a，则 |PF1|2|PF2|?|P
11、F2| 2a?2|PF2| |PF2| 4a2|PF2| 4a2 4a2 4a 8a(当且仅当 |PF2| 2a 时取等号 )，因为已知 ? ?|PF1|2|PF2| min 9a，故|PF2|2 a，在双曲线右支上点 P 满足 |PF2|min c a，则 c a 2a，即 c 3a，故 e 3，又由 |PF1|2|PF2|9 a，所以?c a 2a?2c a 9a，解得 e 5 或 e 2(舍 ) 答案： 5 二、解答题 11已知双曲线的中心在原点，焦点 F1， F2 在 坐标轴上，离心率为 2，且过点 (4，10)点 M(3， m)在双曲线上 (1)求双曲线的方程； (2)求证： MF1
12、 MF2 0； =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)求 F1MF2的面积 解： (1) e 2， 双曲线的实轴、虚轴相等 则可设双曲线方程为 x2 y2 . 双曲线过点 (4， 10)， 16 10 ，即 6. 双曲线方程为 x26y26 1. (2)证明：不妨设 F1， F2分别为左、右焦点， 则 MF1 ( 2 3 3， m)， MF2 (2 3 3， m) MF1 MF2 (3 2 3)(3 2 3) m2 3 m2， M 点在双曲线上， 9 m2 6，即 m2 3 0， MF1 MF2 0. (3) F1MF2的底 |F1F2| 4 3. 由 (2)知 m 3. F1MF2的高 h
13、 |m| 3， S F1MF2 124 3 3 6. 12中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 F1， F2，且 |F1F2| 2 13，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为 4，离心率之比为 3 7. (1)求椭圆和双 曲线的方程； (2)若 P 为这两曲线的一个交点，求 cos F1PF2的值 解： (1)由题知 c 13，设椭圆方程为 x2a2y2b2 1，双曲线方程为x2m2y2n2 1，则? a m 4，7 13a 3 13m ， 解得 a 7， m 3.则 b 6， n 2. 故椭圆方程为 x249y236 1，双曲线方程为x29y24 1. (2)不妨设 F1， F2分别为左、右焦点， P 是第一象限的一个交点，则 |PF1| |PF2| 14，|PF1| |PF2| 6， 所以 |PF1| 10， |PF2| 4. 又 |F1F2| 2 13， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 cos F1PF2 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| 102 42 ?2 13?22104 45.
