1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (四十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 一、全员必做题 1已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)的一个焦点为 F2(1,0)，且该椭圆过定点 M?1， 22 . (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)设点 Q(2,0)，过点 F2作直线 l 与椭圆 E 交于 A， B 两点，且 F2A F2B ， 2， 1，以 QA， QB 为邻边作平行四边形 QACB，求对角线 QC 长度的最小值 解： (1)由题易知 c 1， 1a2 12b2 1， 又 a2 b2 c2， 解得 b2 1， a2 2， 故椭圆 E 的标准方程为 x22 y2
2、 1. (2)设直线 l： x ky 1，由? x ky 1，x22 y2 1 得 (k2 2)y2 2ky 1 0， 4k2 4(k2 2) 8(k2 1) 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则可得 y1 y2 2kk2 2， y1y2 1k2 2. QC QA QB (x1 x2 4， y1 y2) ? ? 4?k2 1?k2 2 ， 2kk2 2 ， | QC |2 | QA QB |2 16 28k2 2 8?k2 2?2，由此可知， | QC |2的大小与 k2的取值有关 由 F2A F2B 可得 y1 y 2， y1y2， 1 y2y1(y1y20) 从而 1
3、y1y2 y2y1 ?y1 y2?2 2y1y2y1y2 6k2 4k2 2 ， 由 2， 1得 ? ? 1 ? ? 52， 2 ，从而 52 6k2 4k2 2 2，解得 0 k2 27. 令 t 1k2 2，则 t ? ?716， 12 ， | QC |2 8t2 28t 16 8? ?t 74 2 172 ， 当 t 12时，|QC|min 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 x 3 上任意一点，
4、过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C于点 P， Q. 证明： OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点 ) 解： (1)由已知可得 ? a2 b2 2b，2c 2 a2 b2 4，解得 a2 6， b2 2， 所以椭圆 C 的标准方程是 x26y22 1. (2)证明：由 (1)可得， F 的坐标是 ( 2,0)， 设 T 点的坐标为 ( 3， m)， 则直 线 TF 的斜率 kTF m 0 3 ? 2? m. 当 m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ 1m，直线 PQ 的方程是 x my 2. 当 m 0 时，直线 PQ 的方程是 x 2，也符合 x my 2 的形式 设 P(x1， y1)
5、， Q(x2， y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得? x my 2，x26y22 1，消去 x，得 (m2 3)y2 4my 2 0， 其判别式 16m2 8(m2 3)0. 所以 y1 y2 4mm2 3， y1y2 2m2 3， x1 x2 m(y1 y2) 4 12m2 3. 所以 PQ 的中点 M 的坐标为 ? ? 6m2 3， 2mm2 3 ， 所以直线 OM 的斜率 kOM m3. 又直线 OT 的斜率 kOT m3， 所以点 M 在直线 OT 上，因此 OT 平分线段 PQ. 3 (2018 南通模拟 )已知中心在原 点，焦点在 y 轴上的椭圆 C，其上一点
6、P 到两个焦=【 ;精品教育资源文库 】 = 点 F1， F2的距离之和为 4，离心率为 32 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 y kx 1 与曲线 C 交于 A， B 两点，求 OAB 面积的取值范围 解： (1)设椭圆的标准方程为 y2a2x2b2 1(a b 0)， 由条件知，? 2a 4，e ca 32 ，a2 b2 c2，解得 a 2， c 3， b 1， 故椭圆 C 的方程为 y24 x2 1. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由? x2 y24 1，y kx 1得 (k2 4)x2 2kx 3 0， 故 x1 x2 2kk2 4， x1x2 3
7、k2 4， 设 OAB 的面积为 S， 由 x1x2 3k2 4 0，知 S 121| x1 x2| 12 ?x1 x2?2 4x1x2 2k2 3?k2 4?2， 令 k2 3 t，知 t3 ， S 2 1t 1t 2. 对函数 y t 1t(t3) ，知 y 1 1t2 t2 1t2 0， y t 1t在 t 3， ) 上单调递增， t 1t 103 ， 0 1t 1t 2 316， 0 S 32 . 故 OAB 面积的取值范围为 ? ?0， 32 . 二、重点选做题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 (2018 丹阳期初 )过离心率为 22 的椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b
8、 0)的右焦点 F(1,0)作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，设 |FA| |FB|， T(2,0) (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 1 2 ，求 ABT 中 AB 边上中线长的取值范围 解： (1) e 22 ， c 1， a 2， b 1， 即椭圆 C 的方程为： x22 y2 1. (2) 当直线的斜率为 0 时，显然不成立 设直线 l： x my 1， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联立? x2 2y2 2 0，x my 1 得 (m2 2)y2 2my 1 0， 则 y1 y2 2mm2 2， y1y2 1m2 2， 由 |FA| |FB|，得 y
9、1 y 2， 1 y1y2 y2y1， 1 2 ?y1 y2?2y1y2 4m2m2 2， m2 27， 又 AB 边上的中线长为 12 | TA TB | 12 ?x1 x2 4?2 ?y1 y2?2 4m4 9m2 4?m2 2?2 2?m2 2?2 7m2 2 4 ? ?1， 13 216 . 2 (2018 南京模拟 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为22 ，点 (2,1)在椭圆 C 上 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l 与圆 O： x2 y2 2 相切，与椭圆 C 相交于 P， Q 两点 . 若直线 l 过椭圆 C
10、 的右焦点 F，求 OPQ 的面积； 求证： OP OQ. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： (1)由题意，得 ca 22 ， 4a2 1b2 1，结合 a2 b2 c2，解得 a2 6， b2 3. 所以椭圆的方程为 x26y23 1. (2) 椭圆 C 的右焦点 F( 3， 0) 显然切线的斜率存在，设切 线方程为 y k(x 3)，即 kx y 3k 0， 所以 | 3k|k2 1 2，解得 k 2， 所以切线方程为 y 2(x 3) 由方程组? y 2?x 3?，x26y23 1，解得? x 4 3 3 25 ，y 6 65 ，或? x 4 3 3 25 ，y 6 65 .所以点
11、 P， Q 的坐标分别为 ? ?4 3 3 25 ， 6 65 ， 4 3 3 25 ， 6 65 ， 所以 |PQ| 6 65 . 因为 O 到直线 PQ 的距离为 d 2，所以 OPQ 的面积为 S 12|PQ| d 12 6 65 26 35 . 由椭圆的对称性知，当切线方程为 y 2(x 3)时， OPQ 的面积也为 6 35 . 综上所述， OPQ 的面积为 6 35 . 证明： ( )若直线 PQ 的斜率不存在，则直线 PQ 的方程 为 x 2或 x 2. 当 x 2时， P( 2， 2)， Q( 2， 2) 因为 OP OQ 0，所以 OP OQ. 当 x 2时，同理可得 OP
12、OQ. ( )若直线 PQ 的斜率存在，设直线 PQ 的方程为 y kx m，即 kx y m 0. 因为直线与圆相切，所以 |m|1 k2 2，即 m2 2k2 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 将直线 PQ 的方程代入椭圆方程，得 (1 2k2)x2 4kmx 2m2 6 0. 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则有 x1 x2 4km1 2k2， x1x2 2m2 61 2k2. 因为 OP OQ x1x2 y1y2 x1x2 (kx1 m)(kx2 m) (1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2 (1 k2) 2m2 61 2k2 km ? 4km1 2k2 m
13、2. 将 m2 2k2 2 代入上式可得 OP OQ 0，所以 OP OQ. 综上所述， OP OQ. 三、冲刺满分题 1.已知椭圆 C： x24y2b2 1(0 b 2)的离心率为32 ，与坐标轴不垂直且不过原点的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A， B(如图所示 )，过 AB 的中点 M 作垂直于 l1的直线 l2，设 l2与椭圆 C 相交于不同的两点 C， D，且 CN 12 CD . (1)求椭圆 C 的方程； (2)设原点 O 到直线 l1的距离为 d，求 d|MN|的最大值 解： (1)依题意得，? a 2，ca32 ，c2 a2 b2，解得 b2 1， 所以椭圆 C 的
14、方程为 x24 y2 1. (2)设直线 l1： y kx m(k0 ， m0) ， 由? x24 y2 1，y kx m得 (1 4k2)x2 8kmx 4m2 4 0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则? x1 x2 8mk1 4k2，x1x2 4m2 41 4k2.故 M? ? 4mk1 4k2， m1 4k2 . l2： y m1 4k2 1k? ?x 4mk1 4k2 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 y 1kx 3m1 4k2.由? y 1kx 3m1 4k2，x24 y2 1，得 ? ?1 4k2 x2 24mk?1 4k2?x 36m2?1 4k2?2
15、4 0， 设 C(x3， y3)， D(x4， y4)， 则 x3 x4 24mk?1 4k2?k2 4?， 故 N? ? 12mk?1 4k2?k2 4?， 3mk2?1 4k2?k2 4? . 故 |MN| |xM xN| 1 1k2 4|m|?k2 1? k2 1?1 4k2?k2 4? . 又 d |m|1 k2，所以 d|MN| ?1 4k2?k2 4?4?k2 1?2 . 令 t k2 1(t 1)， 则 d|MN| 4t2 9t 94t2 94t294t 194?1t122 25162516(当且仅当 t 2 时取等号 )， 所以 d|MN|的最大值为 2516. 2 (2018 苏州高三暑假测试 )如图，已知椭圆 O： x24 y2 1 的右焦点为 F，点 B， C 分别是椭圆 O 的上、下顶点，点 P 是直线 l： y 2 上的一个动点 (与 y 轴交点除外 )，直线 PC 交椭圆于另一点 M. (1)当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，求 FBM 的面积； (2) 记直线 BM， BP 的斜率分别为 k1， k2，求证： k1 k2为定值； 求 PB PM 的取值范围 解： (1)由题意 B(0,1)， C(0，
