1、第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用6 6. .4 4 平面向量的应用平面向量的应用6.4.3.2 正弦定理第六章 平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用一、呈现背景 提出问题 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式. 如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 在ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系.为方便，不妨假设ABC为直角三角形. 如图：ABCacbcbBcaAsinsin，)(si
2、nsincBbAa，因为190sinsinoC式可写成)(CcBbAasinsinsin第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用对对锐角三角形锐角三角形和和钝角三角形钝角三角形，以上关系是否任然成立？，以上关系是否任然成立？CcBbAasinsinsin因为涉及三角形的边、角关系，所以任然采用向量的方法来研究因为涉及三角形的边、角关系，所以任然采用向量的方法来研究. . 向量的数量积中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？cos(90cos(90 -)=sin-)=sin二、分析联想 寻求方法第六章第六章 平面向量及其应用平
3、面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用ABCjm图图6.4-106.4-10锐角三角形情形因为ABCBACAB)CBAC(jj所以ABCBACjjj得即)A2cos(|AB|)C2cos(|CB|2cos|AC|jjj也即,sinsinAcCa所以CcAasinsin过点C作 与垂直的单位向量 ，可得mCBCcBbsinsin因此，CcBbAasinsinsin如图6.4-10，在锐角三角形ABC中，过点A作 与垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 .ACjjACA2jCBC2三、猜想验证 得出结论第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章
4、 平面向量及其应用平面向量及其应用钝角三角形情形如图6.4-11，在钝角三角形ABC中，过点A作 与垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 .ACjjAB2AjCBC2ABCj图图6.4-116.4-11仿照上述方法，同样可得CcBbAasinsinsin综上所述，可以得到如下定理 正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即CcBbAasinsinsin 你能用其他方法证明正弦定理吗？三、猜想验证 得出结论第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正
5、弦的比相等. 即CcBbAasinsinsin思考：利用正弦定理可以解决三角形的哪些问题？思考：利用正弦定理可以解决三角形的哪些问题？已知两角和一边，解三角形已知两角和一边，解三角形已知两边和其中一边的对角，解三角形已知两边和其中一边的对角，解三角形三、猜想验证 得出结论第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用例例7 7 在ABC中，已知A=15，B=45，c=3+ ，解这个三角形.3 3由正弦定理，得由三角形内角和定理得C=120. s si in nC Cc cs si in nA Aa a s si in n1 12 20 0) )s
6、si in n1 15 53 3( (3 3 2 23 34 42 2- -6 6) )3 3( (3 32 2 s si in nC Cc cs si in nB Bb b s si in n1 12 20 0) )s si in n4 45 53 3( (3 3 2 23 32 22 2) )3 3( (3 36 6 + +2 2三、猜想验证 得出结论第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用三、猜想验证 得出结论例例8 8 在ABC中，已知B=30，b= ，c=2 ，解这个三角形.2第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六
7、章 平面向量及其应用平面向量及其应用四、运用新知 巩固内化1、已知ABC中，a10，A30，C45，求角B，边b，c.答案：答案：2、已知B30，b ，c2，求A，C，a.2第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用五、回顾反思 拓展问题1.1.正弦定理：正弦定理：2.2.正弦定理可解决哪几类解三角形的问题？正弦定理可解决哪几类解三角形的问题？1、已知两角和一边，解三角形；、已知两角和一边，解三角形；2、已知两边和其中一边的对角，解三角形已知两边和其中一边的对角，解三角形 正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即CcBbAasinsinsin第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用1在ABC中，已知A30，B60，a10，则b等于()A B C. D2在ABC中，A45，c2，则AC边上的高等于_3在ABC中，若a3，b，A ，则C_.253103310653课堂检测B第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用作业：
