1、2019-2020学年北京市东城区高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1复数z2+i的虚部为（）A2B2C1Di2已知向量（x，2），（3，1）若，则x（）ABC3D63在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为那么以下理解正确的是（）A某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C某顾客消费210元，一定不能中奖D某顾客消费1000元，至少能中奖1次4要得到函数ysin（2x+）的图象，只要将函数ysin2x的图象（）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个
2、单位长度5在复平面内，复数i2（1i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6设l是一条直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A若l，l，则B若，l，则lC若l，l，则D若，l，则l7已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时如图，某沙漏由上、下两个圆维组成这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，
3、其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（）ABCD二、填空题（共6小题）.9若函数f（x）sinxcosx，则f（）的值为 10已知复数z，则 ；|z| 11已知在ABC中，a，b3，A30，则B 12已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是 13已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个论断：lm，m，l以其中的两个论断作为命题的条件，l作为命题的结论，
4、写出一个真命题： 14在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，且|，与的夹角为给出以下结论：越大越费力，越小越省力；的范围为0，；当时，|；当时，|其中正确结论的序号是 三、解答题共5题，每题10分，共50分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知函数f（x）g（x）h（x），其中g（x）2sinx，h（x）_（）写出函数f（x）的一个周期（不用说明理由）；（）当x，时，求函数f（x）的最大值和最小值从cos（x+），sin2（）这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，注：如果选择多个条件分别解答按第一个解
5、答计分16某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言（）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（）求至少选中1名护士发言的概率17在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB和DD1的中点（）求证：EF平面BCD1；（）在棱C1D1上是否存在一点M，使得平面MEF平面BCD1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由18在ABC中，a3，D是AC的中点，BD，2bcosC2a+c（）求B；（）求ABC的面积19对于任意实数a，b，c，d，表达式adbc称为二阶行列式（
6、determinant），记作，（）求下列行列式的值：；（）求证：向量（a，b）与向量（c，d）共线的充要条件是0；（）讨论关于x，y的二元一次方程组（a1a2b1b20）有唯一解的条件，并求出解（结果用二阶行列式的记号表示）参考答案一、选择题（共8小题）.1复数z2+i的虚部为（）A2B2C1Di【分析】直接利用复数的基本概念得答案解：复数z2+i的虚部为1故选：C2已知向量（x，2），（3，1）若，则x（）ABC3D6【分析】根据平面向量的坐标运算，列方程求出x的值解：向量（x，2），（3，1）；若，则0，即3x+2（1）0，解得x故选：A3在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动
7、，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为那么以下理解正确的是（）A某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C某顾客消费210元，一定不能中奖D某顾客消费1000元，至少能中奖1次【分析】根据概率的定义进行判断解：中奖概率表示每一次抽奖中奖的可能性都是，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，故选：B4要得到函数ysin（2x+）的图象，只要将函数ysin2x的图象（）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论解：只要将函数ysin2x的图象向左平
8、移个单位长度，即可得到函数ysin（2x+）的图象，故选：D5在复平面内，复数i2（1i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】首先将分式化简为a+bi的形式，然后找到对应的坐标，得到选项解：复数i2（1i）1（1i）1+i；对应的点为（1，1），所以复数i2（1i）对应的点在第二象限；故选：B6设l是一条直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A若l，l，则B若，l，则lC若l，l，则D若，l，则l【分析】由线面平行的性质和面面的位置关系，可判断A；由线面的位置关系可判断B；由线面平行与垂直的性质定理和面面垂直的判定定理，可判断C；由面面垂直的性质定理和线面的位
9、置关系可判断D解：l是一条直线，是两个不同的平面，若l，l，可得或、相交，故A错误；若，l，可得l或l、l与相交，故B错误；若l，可得过l的平面与的交线ml，由l，可得m，又m，则，故C正确；若，l，可得l或l，故D错误故选：C7已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据必要条件、充分条件的定义即可判断解：由可不一定推出四边形ABCD为平行四边形，但由四边形ABCD为平行四边形一定可得，故“”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件，故选：B8沙漏是古代的一种
10、计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时如图，某沙漏由上、下两个圆维组成这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（）ABCD【分析】细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为h，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为h，求出细沙的体积，由体积相等求解h，则答案可求解：细沙全部在上部时，沙
11、漏上部分圆锥中的细沙的高为h，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，细沙的体积为V细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为h，则Vr2h，得h故选：A二、填空题共6题，每题3分，共18分9若函数f（x）sinxcosx，则f（）的值为【分析】由已知利用二倍角公式可求f（x）sin2x，进而根据特殊角的三角函数值即可求解解：f（x）sinxcosxsin2x，f（）sin（2）sin故答案为：10已知复数z，则1i；|z|【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求，然后利用复数模的计算公式求解解：z，|z|故答案为：1i；11已知在ABC中，a，b3，A30
12、，则B60，或120【分析】由已知利用正弦定理可得sinB，结合ba，可得范围B（30，180），即可求解B的值解：a，b3，A30，由正弦定理，可得sinB，ba，可得B（30，180），B60，或120故答案为：60，或12012已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是0.79【分析】由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a的最大值解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.
13、5，0.4，0.3，a，甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，1（10.5）（10.4）（10.3）a，解得a0.79a的最大值是0.79故答案为：0.7913已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个论断：lm，m，l以其中的两个论断作为命题的条件，l作为命题的结论，写出一个真命题：若lm，m，则l【分析】若lm，m，则l，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论解：l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，可得若lm，m，则l，理由：在内取两条相交直线a，b，由m可得mamb，又lm，可得lalb，而a，b为内的两条相交直线，可得l14在日常
14、生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，且|，与的夹角为给出以下结论：越大越费力，越小越省力；的范围为0，；当时，|；当时，|其中正确结论的序号是【分析】根据|+|为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可解：对于，由|+|为定值，所以+2|cos2（1+cos），解得；由题意知（0，）时，ycos单调递减，所以单调递增，即越大越费力，越小越省力；正确对于，由题意知，的取值范围是（0，），所以错误对于，当时，所以|，错误对于，当时，所以|，正确综上知，正确结论的序号是故答案为：三、解答题共5题，每题10分，共50分解答
15、应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知函数f（x）g（x）h（x），其中g（x）2sinx，h（x）_（）写出函数f（x）的一个周期（不用说明理由）；（）当x，时，求函数f（x）的最大值和最小值从cos（x+），sin2（）这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分【分析】（I）结合所选选项，然后结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求；（II）由已知角x的范围，然后结合正弦函数的性质即可求解解：（I）选，因为f（x）2sinxcos（x+）2sinx（cosxsinx），2sinxcosx2sin2xsin2x+cos2x1
16、sin（2x+）1，故函数的周期T；（II）因为x，所以2x+，当2x+即x时，函数取得最小值2，当2x+即x时，函数取得最大值，选f（x）2sinxsin2（）sinx1cos（x），（sin2xsinx），故函数的一个周期T2，（II）由x，可得sinx，sinx时即x时，函数取得最大值，当sinx时即x时，函数取得最小值116某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言（）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（）求至少选中1名护士发言的概率【分析】（I）给6名医护人员
17、进行编号，使用列举法得出样本空间；（II）列举出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式计算概率；（III）列举出对立事件的基本事件，根据对立事件概率公式计算概率解：（I）设2名医生记为A1，A2，3名护士记为B1，B2，B3，1名管理人员记为C，则样本空间为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C）（II）设事件M：选中1名医生和1名护士发言，则M（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B
18、1），（A2，B2），（A2，B3），n（M）6，又n（）15，P（M）（III）设事件N：至少选中1名护士发言，则（A1，A2），（A1，C），（A2，C），n（）3，P（N）1P（）117在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB和DD1的中点（）求证：EF平面BCD1；（）在棱C1D1上是否存在一点M，使得平面MEF平面BCD1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【分析】（）取D1C的中点G，连接FG，GB，运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证；（）在棱C1D1上假设存在一点M，使得平面MEF平面BCD1，取M为C1D1的中点，连接DC1
19、，FM，EM，由线面垂直的判定和性质，结合面面垂直的判定定理，可得所求结论解：（）取D1C的中点G，连接FG，GB，因为F为DD1的中点，所以FGDG，且FGDC，在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为E为AB的中点，所以EBDC，且EBABDC，所以FGEB，FGEB，可得四边形EBGF为平行四边形，所以EFGB，又因为EF平面BCD1，GB平面BCD1，则EF平面BCD1；（）在棱C1D1上假设存在一点M，使得平面MEF平面BCD1，取M为C1D1的中点，连接DC1，FM，EM，因为F为DD1的中点，所以FMDC1，因为DC1D1C，可得FMD1C，因为BC平面D1DCC1，FM平面D1
20、DCC1，所以BCFM，因为BC平面BCD1，D1C平面BCD1，BCD1CC，所以FM平面BCD1，因为FM平面MEF，所以平面MEF平面BCD1，故118在ABC中，a3，D是AC的中点，BD，2bcosC2a+c（）求B；（）求ABC的面积【分析】（）直接由已知条件和正弦定理求出B的值（）根据余弦定理求出c的值，再根据面积公式即可求出解：（I）由2bcosC2a+c及正弦定理，可得：2sinBcosC2sinA+sinC2sin（B+C）+sinC2sinBcoC+2cosBsinC+sinC，所以：2cosBsinC+sinC0，由于：0C，sinC0，cosB因为B（0，），解得：B
21、；（）延长线段CB到E，使得BECB3，因为D是AC的中点，所以DB是ACE的中位线，所以AE2DB，因为ABC，所以ABE，在ABE中，由余弦定理AE2AB2+BE22ABBEcosABE可得19c2+92c3，解得c5，所以SABCacsinB3519对于任意实数a，b，c，d，表达式adbc称为二阶行列式（determinant），记作，（）求下列行列式的值：；（）求证：向量（a，b）与向量（c，d）共线的充要条件是0；（）讨论关于x，y的二元一次方程组（a1a2b1b20）有唯一解的条件，并求出解（结果用二阶行列式的记号表示）【分析】（）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值（）若向量
22、（a，b）与向量（c，d）共线，由q0和q0时，分别推导出0；反之，若0，即adbc0，当c，d不全为0时，不妨设c0，则b，（a，），推导出，当c0且d0时，（a，b）与共线，由此能证明向量（a，b）与向量（c，d）共线的充要条件是0（）求出（a1b2a2b1）xc1b2c2b1，（a1b2a2b1）xa1c2a2c1，由此能求出当0时，关于x，y的二元一次方程组（a1a2b1b20）有唯一解，并能求出解解：（）解：1；（）证明：若向量（a，b）与向量（c，d）共线，则：当q0时，有adbc0，即0，当q0时，有cd0，即adbc0，必要性得证反之，若0，即adbc0，当c，d不全为0时，即时，不妨设c0，则b，（a，），（c，d），（a，b）与（c，d）共线，当c0且d0时，（a，b）与共线，充分性得证综上，向量（a，b）与向量（c，d）共线的充要条件是0（）用b2和b1分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y得：（a1b2a2b1）xc1b2c2b1，同理，消去x，得：（a1b2a2b1）xa1c2a2c1，当a1b2a2b10时，即0时，由得：x，y，当0时，关于x，y的二元一次方程组（a1a2b1b20）有唯一解，且x，y
