1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 15 讲 导数与函数的极值 、 最值 考纲要求 考情分析 命题趋势 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值 、 极小值；会求闭区间上函数的最大值 、 最小值 (其中多项式函数一般不超过三次 ). 2017 北京卷， 20 2017 江苏卷， 20 2016 全国卷 ， 21 2016 天津卷， 20 利用导数求函数的极值 、最值是高考中的热点问题 、 高频考点 ， 题型有求函数的极值 、 最值和已知函数的极值 、最值求参数值或取值范围 ， 难度较大 . 分值： 5 8 分 1 函数的极值 (1)函数的极 小值 若函数 y f(x
2、)在点 x a 处的函数值 f(a)比它在点 x a 附近其他点的函数值 _都小_， 且 f( a) 0， 而且在点 x a 附近的左侧 _f( x)0_， 则点 x a 叫做函数的极小值点 ， f(a)叫做函数的极小值 (2)函数的极大值 若函数 y f(x)在点 x b 处的函数值 f(b)比它在点 x b 附近其他点的函数值都大 ， 且f( b) 0， 而且在点 x b 附近的左侧 _f( x)0_， 右侧 _f( x)0， f(0) 0，f(4) 4e40， 最小值为 0.故选 A 4 若函数 f(x) x3 ax2 3x 9 在 x 3 时取得极值 ， 则 a ( D ) A 2 B
3、 3 C 4 D 5 解析 f( x) 3x2 2ax 3， f( 3) 0， a 5. 5 设函数 f(x) xex， 则 ( D ) A x 1 为 f(x)的极大值点 B x 1 为 f(x)的极小 值点 C x 1 为 f(x)的极大值点 D x 1 为 f(x)的极小值点 解析 求导得 f( x) ex xex ex(x 1)， 令 f( x) ex(x 1) 0， 解得 x 1， 易知 x 1 是函数 f(x)的极小值点 一 利用导数研究函数的极值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 利用导数研究函数极值问题的步骤 【例 1】 已知函数 f(x) x aln x(a R) (1)当
4、a 2 时 ， 求曲线 y f(x)在点 A(1， f(1)处的切线方程； (2)求函数 f(x)的极值 解析 函数 f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) 1 ax. (1)当 a 2 时 ， f(x) x 2ln x， f( x) 1 2x(x0)， 因而 f(1) 1， f(1) 1， 曲线 y f(x)在点 A(1， f(1)处的切线方程为 y 1 (x 1)， 即 x y 2 0. (2)由 f( x) 1 ax x ax (x0)可知 当 a0 时 ， f( x)0， 函数 f(x)为 (0， ) 上的增函数 ， 函数 f(x)无极值 当 a0 时 ， 由 f( x) 0，
5、 解得 x a. 又当 x (0， a)时 ， f (x)0， 函数 f(x)在 x a 处取得极小值 ， 且极小值为 f(a) a aln a， 无极大值 综上所述 ， 当 a0 时 ， 函数 f(x)无极值；当 a0 时 ， 函数 f(x)在 x a 处取得极小值a aln a， 无极大值 【例 2】 设函数 f(x) ln x 12ax2 bx， 若 x 1 是 f(x)的极大值点 ， 求 a 的取值范围 解析 f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) 1x ax b， 由 f(1) 0， 得 b 1 a.f( x) 1x ax a 1 ax2 1 ax xx ?ax 1? x 1
6、?x . 若 a0 ， 当 00， f(x)单调递增；当 x1 时 ， f( x)1，解得 1 1. 故 a 的取值范围为 ( 1， ) 二 利用导数研究函数的最值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 求可导函数 f(x)在 a， b上的最大值和最小值的基本步骤 (1)求出函数 f(x)在区间 (a， b)内的所有极值 f(x1)， f(x2)， ? ， f(xn) (2)计算函数 f(x)在区间 a， b上的两个端点值 f(a)， f(b) (3)对所有的极值和端点值作大小比较 (4)对比较的结果作出结论：所有这些值中最大的即是该函数在 a， b上的最大值 ， 所有这些值中最小的即是该函数在
7、a， b上的最小值 【例 3】 设 f(x) 13x3 12x2 2ax. (1)若 f(x)在 ? ?23， 上存在单调递增区间 ， 求 a 的取值范围； (2)当 00， 得 a 19.所以 ，当 a 19时 ， f(x)在 ? ?23， 上存在单调递增区间 (2)令 f( x) 0， 得两根 x1 1 1 8a2 ， x2 1 1 8a2 . 所以 f(x)在 ( ， x1)， (x2， ) 上单调递减 ， 在 (x1， x2)上单调递增 当 00； 当 22 时 ， f( x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x 2 处取得极大值 ， 在 x 2处取得极小值故 选 D 2 函数 f(x
8、) x(x m)2在 x 1 处取得极小值 ， 则 m _1_. 解析 f( x) (x m)2 2x(x m) (x m)(3x m) f(x) x(x m)2在 x 1 处取得极小值 ， f(1) 0， 即 (1 m)(3 m) 0， 解得 m 1 或 m 3. 当 m 1 时 ， f( x) (x 1)(3x 1) 当 131 时 ， f( x)0， f(x)在 x 1 处取得极小值 ， 即 m 1 符合题意 当 m 3 时 ， f( x) (x 3)(3x 3) 3(x 1)(x 3) 当 x0； 当 10 或 ? x 20，ex 120， 得? x 20，ex 120， 解得 x l
9、n 2. 当 x 变化时 ， f( x)， f(x)的变化情况如表所示 . x ( ， 2) 2 ( 2， ln 2) ln 2 ( ln 2，) f( x) 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由上表可知 ， 函数 f(x)的单调增区间为 ( ， 2)和 ( ln 2， ) ， 单调减区间为( 2， ln 2)， 极大值为 f( 2) 4(1 e 2)， 极小值为 f( ln 2) 2 2ln 2 (ln 2)2. 4 已知函数 f(x) x3 ax2 bx c， 曲线 y f(x)在点 x 1 处的切线为 l： 3x y 1 0， 若 x 23时 ， y f(x
10、)有极值 (1)求 a， b， c 的值； (2)求 y f(x)在 3,1上的最大值和最小值 解析 (1)由 f(x) x3 ax2 bx c， 得 f( x) 3x2 2ax b. 当 x 1 时 ， 切线 l 的斜率为 3， 可得 2a b 0， 当 x 23时 ， y f(x)有极值 ， 则 f ? ?23 0， 可得 4a 3b 4 0， 由 ， 解得 a 2， b 4. 由于切点的横坐标为 1， 所以 f(1) 4， 所以 1 a b c 4， 得 c 5. (2)由 (1)可得 f(x) x3 2x2 4x 5， f( x) 3x2 4x 4. 令 f( x) 0， 解得 x1
11、2， x2 23. 当 x 变化时 ， f( x)， f(x)的取值及变化情况如表所示 . x 3 ( 3， 2) 2 ? 2， 23 23 ?23， 1 1 f( x) 0 0 =【 ;精品教育资源文库 】 = f(x) 8 单调递增 13 单调递减 错误 ! 单调递增 4 所以 y f(x)在 3,1上的最大值为 13， 最小值为 9527. 易错点 分类不完全 错因分析：对参数的分类讨论不完全 【例 1】 已知函数 f(x) (4x2 4ax a2) x， 其中 a0. 由 f( x)0， 得 02. 故函数 f(x)的单调递增区间为 ? ?0， 25 和 (2， ) (2)f( x)
12、?10x a?2x a?2 x ， a4， 即 a0 时 ， 由 f( x)0， 得 x1a， f(x)在 ? ?0， 1a 上递减 ， 在 ? ?1a， 上递增 ， 即 f(x)在 x 1a处有极小值 当 a0 时 ， f(x)在 (0， ) 上没有极值点； 当 a0 时 ， f(x)在 (0， ) 上有一个极值点 (2) 函数 f(x)在 x 1 处取得极值 ， a 1， f(x) bx 2?1 1x ln xx b， 令 g(x) 1 1x ln xx ， 则 g( x) ln x 2x2 ， 令 g( x) 0， 得 x e2， 则 g(x)在 (0，e2)上递减 ， 在 (e2， )
13、 上递增 ， g(x)min g(e2) 1 1e2， 即 b1 1e2， 即实数 b 的取值范围为 ? ? ， 1 1e2 . 课时达标 第 15 讲 解密考纲 本考点主要考查利用导数研究函数的单调性 、 极值 、 最值或者已知最值求参数等问题高考中导数试题经常和不等式 、 函数 、 三角函数 、 数列等知识相结合 ， 作为中档题或压轴题出现三种题型均有出现 ， 以解答题为主 ， 难度较大 一 、 选择题 1 若函数 f(x) x3 2cx2 x 有极值点 ， 则实数 c 的取值范围为 ( D ) A ? ?32 ， B ? ?32 ， C ? ? ， 32 ? ?32 ， D ? ? ，
14、32 ? ?32 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 若函数 f(x) x3 2cx2 x 有极值点 ， 则 f( x) 3x2 4cx 1 0 有两个不同的根 ， 故 ( 4c)2 120， 从而 c 32 或 c0， 令 f( x)0， 得 x1；令 f( x)0 在 2,2上的最大值为 2， 则实数 a 的取值范围是 ( D ) A ? ?12ln 2， B ? ?0， 12ln 2 C ( ， 0) D ? ? ， 12ln 2 解析 当 x 2,0)时 ， 因为 f (x) 6x2 6x 6x(x 1)， 所以在 2， 1)上 ， f(x)0， 在 ( 1,0上 ， f( x
15、)0 ， 则当 x 2,0时函数有最大值 ， 为 f( 1) 2.当 a0时 ， 若 x0， 显然 eax1 ， 此时函数在 2,2上的最大值为 2， 符合题意；当 a0 时 ， 若函数在 2,2上的最大值为 2， 则 e2a2 ， 得 0f(2)f( 2)， m 3， 最小值为 f( 2) 37.故选 A 6 若函数 f(x) 13x3 ? ?1 b2 x2 2bx 在区间 3,1上不是单调函数 ， 则函数 f(x)在 R上的极小值为 ( A ) A 2b 43 B 32b 23 C 0 D b2 16b3 解析 f( x) x2 (2 b)x 2b (x b)(x 2) 函数 f(x)在区间 3,1上不是单调函数 ， 30， 得 x2. 由 f( x)0， 得 bx2， 函数 f(x)的极小值为 f(2) 2b 43.故选 A 二 、 填空题 7 已知函数 f(x) x3 12x 8 在区间 3,3上的最大值与最小值分别为 M， m， 则 M m _32_. 解 析 f( x) 3x2 12， 令 f( x) 0， 则 x 2 和 x
