1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 三十七 基本不等式 一、选择题 (每小题 5分 ,共 35分 ) 1.已知 a,b R,且 ab 0,则下列结论恒成立的是 ( ) A.a+b 2 B. + 2 C.| + | 2 D.a2+b22ab 【解析】 选 C.因为 和 同号 ,所以 | + |=| |+| | 2. 2.(2018武汉模拟 )下列命题中正确的是 ( ) A.函数 y=x+ 的最小值为 2 B.函数 y= 的最小值为 2 C.函数 y=2-3x- (x0)的最小值为 2-4 D.函数 y=2-3x- (x0)的最大值为 2-4 【解析】 选 D.y=x+ 的定义域为 x
2、|x 0,当 x0时 ,有最小值 2,当 x0时 ,3x+ 2 =4 ,当且仅当 3x= ,即 x= 时取“ =” , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 y=2- 有最大值 2-4 ,故 C项不正确 ,D 项正确 . 3.已知 a0,b0,a+b=2,则 y= + 的最小值是 ( ) A. B.4 C. D.5 【解析】 选 C.依题意 ,得 + = (a+b) = = , 当且仅当 即 a= ,b= 时取等号 ,即 + 的最小值是 . 【 变式备选】 已知 x0,y0,且 + =1,则 x+y的最小值是 _. 【解析】 因为 x0,y0, 所以 x+y=(x+y) =3+ + 3+2
3、(当且仅当 y= x时取等号 ),所以当 x= +1,y=2+ 时 ,(x+y)min=3+2 . 答案 :3+2 4.(2018太原模拟 )已知 x,y 为正实数 ,则 + 的最小值为 ( ) A. B. C. D.3 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 选 D.由于 x,y为正实数 ,则 + = + -12 -1=3,当且仅当 = 时 ,等号成立 ,则其最小值为 3. 【 变式备选】 设 x,y,z均为正数 ,满足 x-2y+3z=0,则 的最小值是 _. 【解析】 因为 x-2y+3z=0,所以 y= ,所以 = =3. 当且仅当 x=3z时取“ =” . 答案 :3 5.已知
4、x0,y0,且 4xy-x-2y=4,则 xy的最小值为 ( ) A. B.2 C. D.2 【解析】 选 D.因为 x0,y0,x+2y 2 , 所以 4xy-(x+2y) 4xy-2 , 所以 4 4xy-2 , 即 ( -2)( +1) 0, 所以 2,所以 xy 2. 6.(2018西安模拟 )设 =(1,-2), =(a,-1), =(-b,0)(a0,b0,O 为坐标原点 ),若 A,B,C三点共线 ,则 + 的最小值是 ( ) A.4 B. C.8 D.9 【解析】 选 D.因为 = - =(a-1,1), = - =(-b-1,2), =【 ;精品教育资源文库 】 = 若 A,
5、B,C三点共线 , 则有 , 所以 (a-1) 2-1 (-b-1)=0, 所以 2a+b=1, 又 a0,b0, 所以 + = (2a+b) =5+ + 5+2 =9, 当且仅当 即 a=b= 时等号成立 . 7.(2017山东高考 )若 ab0,且 ab=1,则下列不等式成立的是 ( ) A.a+ b0,且 ab=1,所以 a1,0log22 =1,由函数性质可知 2xx,所以 a+ a+b,上式两边同时取以 2为底的对数可得 a+ log2(a+b). 方法二 :因为 ab0,且 ab=1, 所以 a1b0, 令 a=2,b= ,则 a+ =2+ =4, = = . log2(a+b)=
6、log2(2+ )=log2 1. 所以 a+ log2(a+b) . 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 8.(2017天津高考 )若 a,b R,ab0,则 的最小值为 _. 【解析】 =4ab+ 4 ,当且仅当 a2=2b2且 4ab= 时取等号 . 答案 :4 9.某车间分批生产某种产品 ,每批的生产准备费用为 800元 .若每批生产 x件 ,则平均仓储时间为 天 ,且每件产品每 天的仓储费用为 1元 .为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 ,每批应生产产品_件 . 【解析】 设每件产品的平均费用为 y元 ,由题意得 y= + 2 =20. =【 ;精品教育资源
7、文库 】 = 当且仅当 = (x0),即 x=80时“ =”成立 . 答案 :80 10.(2018沈阳模拟 )设等差数列 an的公差是 d,其前 n项和是 Sn,若 a1=d=1,则 的最小值是_. 【解析】 an=a1+(n-1)d=n,Sn= , 所以 = = = , 当且仅当 n=4时取等号 . 所以 的最小值是 . 答案 : 1.(5分 )设 ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 C= ,a+b=12,则 ABC面积的最大值为 ( ) A.8 B.9 C.16 D.21 【解析】 选 B.由三角形的面积公式 : S= absin C= ab =9, 当且仅当 a=b
8、=6时等号成立 . 则 ABC面积的最大值为 9. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2.(5分 )为保障春节期间的食品安全 ,某市质量监督局对超市进行食品检查 ,如图所示是 某食品中微量元素含量数据的茎叶图 ,已知该组数据的平均数 为 11.5,则 + 的最小值为 ( ) A.9 B. C.8 D.4 【解析】 选 B.因为该组数据的平均数为 11.5,所以 =11.5,即 a+b=2,所以 + = = + + = ,当且仅当 = ,即 a=2b= 时等号成立 ,所以 + 的最小值为 . 【 变式备选】 已知 m1,x,y满足约束条件 若目标函数 z=ax+by(a0,b0)的最大值为 3,
9、则 + ( ) A.有最小值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最大值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 选 A.直线 mx-y+5-m=0过 x-y+4=0上的定点 A(1,5).画出 表示的可行域 ,如图 ,由图知 z=ax+by过 A(1,5)时 ,最大值为 a+5b=3,所以 + = (a+5b) = (11+ + ) . 3.(5分 )(2018合肥模拟 )已知 a,b为正实数 ,直线 x+y+a=0 与圆 (x-b)2+(y-1)2=2相切 ,则 的取值范围是 _. 【解析】 因为 x+y+a=0与圆 (x-b)2+(y-1)2=2相切 ,所以 d= = , 所以 a+b
10、+1=2,即 a+b=1, 所以 = = =(b+1)+ -4 2 -4=0. 又因为 a,b为正实数 , 所以 的取值范围是 (0,+ ). 答 案 :(0,+ ) 4.(12分 )已知 lg(3x)+lg y=lg(x+y+1). (1)求 xy的最小值 . (2)求 x+y的最小值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 由 lg(3x)+lg y=lg(x+y+1), 得 (1)因为 x0,y0, 所以 3xy=x+y+1 2 +1. 所以 3xy-2 -1 0,即 3( )2-2 -1 0. 所以 (3 +1)( -1) 0. 所以 1.所以 xy 1. 当且仅当 x=y=1
11、时 ,等号成立 . 所以 xy 的最小值为 1. (2)因为 x0,y0,所以 x+y+1=3xy 3 . 所以 3(x+y)2-4(x+y)-4 0. 所以 3(x+y)+2(x+y)-2 0. 所以 x+y 2.当且仅当 x=y=1 时取等号 . 所以 x+y的最小值为 2. 5.(13分 )如图 ,建立平面直角坐标系 xOy,x轴在地平面上 ,y轴垂直于地平面 ,单位长度为 1千米 .某炮位于坐标原点 .已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- (1+k2)x2(k0)表示的曲线上 ,其中 k与发射方向有关 .炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 . (1)求炮的最大射程 . (2)设在第一象限有一飞行物 (忽略其大小 ),其飞行高度为 3.2千米 ,试问它 的横坐标 a不超过多少时 ,炮弹可以击中它 ?请说明理由 . 【解析】 (1)令 y=0,得 kx- (1+k2)x2=0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由实际意义和题设条件知 x0,k0, 故 x= = =10, 当且仅当 k=1时取等号 . 所以炮的最大射程为 10千米 . (2)若炮弹可以击中目标 , 则存在 k0,a0,使 3.2=ka- (1+k2)a2成立 , 故关于 k的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根 , 所以有 即 a 6. 所以当 a不超过 6千米时 ,炮弹可以击中目标 .
