1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第九节 圆锥曲线的综合问题 A组 基础题组 1.(2014 北京 ,19,14分 )已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C的离心率 ; (2)设 O 为原点 .若点 A在直线 y=2上 ,点 B在椭圆 C上 ,且 OAOB, 求线段 AB长度的最小值 . 2.(2017 北京东城一模 )已知椭圆 W: + =1(ab0)的左右焦点分别为 F1,F2,且 |F1F2|=2,椭圆上一动点 P满足 |PF1|+|PF2|=2 . (1)求椭圆 W的标准方程及离心率 ; (2)如图 ,过点 F1作直线 l1与椭圆 W交于点 A,C,过点 F2作直线 l2l
2、 1,且 l2与椭圆 W 交于点 B,D,l1与 l2交于点 E,试求四边形 ABCD的面积的最大值 . 3.(2016 北京西城期末 )已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,点 A 在椭圆 C上 ,O为坐标原点 . (1)求椭圆 C的方程 ; (2)设动直线 l与椭圆 C有且仅有一个公共点 ,且 l与圆 x2+y2=5相交于不在坐标轴上的两点 P1,P2,记直线OP1,OP2的斜率分别为 k1,k2,求证 :k1k 2为定值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 4.(2016 北京朝阳一模 )已知椭圆 C: + =1的焦点分别为 F1,F2. (1)求以线 段 F1F2为直径的圆
3、的方程 ; (2)过点 P(4,0)任作一条直线 l与椭圆 C交于不同的两点 M,N.在 x轴上是否存在点 Q,使得PQM+PQN=180? 若存在 ,求出点 Q的坐标 ;若不存在 ,请说明理由 . B组 提升题组 5.(2017 北京海淀二模 )已知 F1(-1,0)、 F2(1,0)分别是椭圆 C: + =1(a0)的左、右焦点 . (1)求椭圆 C的方程 ; (2)若 A,B分别在直线 x=-2和 x=2上 ,且 AF1BF 1. (i)当 ABF 1为等腰三角形时 ,求 ABF 1的面积 ; (ii)求点 F1,F2到直线 AB距离之和的最小值 . 6.(2016 北京海淀二模 )已知
4、曲线 C: + =1(y0), 直线 l:y=kx+1与曲线 C交于 A,D 两点 ,A,D两点在 x轴上的射影分别为点 B,C. (1)当点 B坐标为 (-1,0)时 ,求 k的值 ; (2)记 OAD 的面积为 S1,四边形 ABCD的面积为 S2. (i)若 S1= ,求 |AD|的值 ; (ii)求证 : . =【 ;精品教育资源文库 】 = =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案精解精析 A组 基础题组 1. 解析 (1)由题意 ,知椭圆 C的标准方程为 + =1. 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= . 故椭圆 C的离心率 e= = . (2
5、)设点 A,B的坐标分别为 (t,2),(x0,y0),其中 x00. 因为 OAOB, 所以 =0, 即 tx0+2y0=0,解得 t=- . 又 +2 =4, 所以 |AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2 = +(y0-2)2 = + + +4 = + + +4 = + +4(00. 即 (-16k2)2-4(2k2+1)(32k2-4)0, 解得 k2 . 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= ,y1=k(x1-4),y2=k(x2-4). k1+k2= + =0, 即 (x1-m)y2+(x2-m)y1=0, 即 (x1-m)k(x2-4)+(x2
6、-m)k(x1-4)=0, 当 k0 时 ,2x1x2-(m+4)(x1+x2)+8m=0, 所以 2 -(m+4) +8m=0, 化简得 =0,所以 m=1. 当 k=0时 ,也成立 . 所以存在点 Q(1,0), 使得 PQM+PQN=180. B组 提升题组 5. 解析 (1)由题意可得 a2-3=1, 所以 a2=4, 所以椭圆 C的方程为 + =1. (2)由题意可设 A(-2,m),B(2,n), 因为 AF1BF 1,所以 =0, 所以 (1,-m)( -3,-n)=0,所以 mn=3. (i)因为 AF1BF 1, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以当 ABF 1为等腰三角
7、形时 ,只能是 |AF1|=|BF1|,即 = , 化简得 m2-n2=8. 由 可得 或 所以 = |AF1|BF1|= ( )2=5. (ii)直 线 AB:y= (x+2)+m, 化简得 (n-m)x-4y+2(m+n)=0, 设点 F1,F2到直线 AB 的距离分别为 d1,d2, 则 d1+d2= + . 因为点 F1,F2在直线 AB的同一侧 , 所以 d1+d2= =4 . 因为 mn=3,所以 m2+n22mn=6( 当且仅当 m=n时取等号 ), d1+d2=4 =4 , 所以 d1+d2=4 2 . 当 m=n= 或 m=n=- 时 ,点 F1,F2到直线 AB 的距离之和
8、取得最小值 2 . 6. 解析 (1)因为 B(-1,0), 所以设 A(-1,y0), 代入 + =1(y 0),解得 y0= , 将 A 代入直线 y=kx+1, 得 k=- . =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)(i)解法一 :设点 E(0,1),A(x1,y1),D(x2,y2). 由 得 (3+4k2)x2+8kx-8=0, 所以 因为 S1= |OE|(|x1|+|x2|)= 1|x 1-x2|= |x1-x2|, 而 |x1-x2|= , 所以 S1= = , 所以 = , 所以 = ,解得 k=0, 所以 |AD|= = . 解法二 :设点 E(0,1),A(x1,y1),D(x2,y2). 由 得 (3+4k2)x2+8kx-8=0, 所以 点 O 到直线 AD的距离 d= ,
