1、第二节等差数列及其前n项和,总纲目录,教材研读,1.等差数列的定义,考点突破,2.等差数列的通项公式,3.等差中项,考点二等差数列的性质及其应用,考点一等差数列的基本运算,4.等差数列的常用性质,5.等差数列的前n项和公式,6.等差数列的前n项和公式与函数的关系,7.等差数列的前n项和的最值,考点三等差数列的判定与证明,考点四等差数列的前n项和及其最值,1.等差数列的定义如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,定义的表达式为an+1-an=d(nN*).,教材研读,2.等差数列的通项公式等差数列an的
2、通项公式是an=a1+(n-1)d.,3.等差中项如果A=?,那么A叫做a与b的等差中项.,4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,mN*).(2)若an是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则ak+al=am+an.(3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d.(4)若an,bn(项数相同)是等差数列,则pan+qbn(p,q是常数)仍是等差数列.(5)若an是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为md的等差数列.,5.等差数列的前n项和公式等差数列an的前n项和Sn=?或Sn=?na1+?.,6
3、.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn=?n2+?n.数列an是等差数列?Sn=An2+Bn(A、B为常数).,7.等差数列的前n项和的最值在等差数列an中,若a10,d0,则Sn存在最?小值.,与等差数列有关的结论(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d(n,mN*),p+q=m+n?ap+aq=am+an(p、q、m、nN*).(2)ap=q,aq=p(pq)?ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd.(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成的数列是等差数列.(4)?=?n+?是关于n的一次函数或常数函数,数列?也是等差数列.(5)Sn=?=?=?=.,(6)若非零等差
4、数列an的项数为偶数2m,公差为d,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,?=?.(7)若非零等差数列an的项数为奇数2m-1,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,?=?.(8)若Sm=n,Sn=m(mn),则Sm+n=-(m+n).,1.在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=?()A.-1B.0C.1D.6,答案B设数列an的公差为d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2=4+2d,d=-1,a6=a4+2d=0.故选B.
5、,B,2.等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为?()A.1B.2C.3D.4,答案B设公差为d.a1+a5=2a3=10,a3=5,又a4=7,d=2.故选B.,3.(2016北京东城期中)等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=3,a10=10,则S7的值是?()A.30B.29C.28D.27,答案Ca3=3,a10=10,?S7=7a1+?d=28.,B,C,4.已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0,则有?()A.a1+a1010B.a2+a1000C.a3+a99=0D.a1=51,答案CS101=0,S101=?=0,a1+a101=a2+a1
6、00=a3+a99=0.故选C.,C,5.(2017北京朝阳期末)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S2=a3,则a2=,S10=.,6.(2015北京海淀一模)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a3=-6,S1=S5,则公差d=,Sn的最小值为.,典例1(2017北京海淀一模)已知等差数列an满足a1+a2=6,a2+a3=10.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an+an+1的前n项和.,考点一等差数列的基本运算,考点突破,方法指导(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.(2
7、)数列的通项公式和前n项和公式在解题中可起到变量代换作用,a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用解题方法.,1-1(2015北京西城一模)已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3=2,S5=a7.(1)求数列an的通项公式an及Sn;(2)若a4,a4+m,a4+n(m,nN*)成等比数列,求n的最小值.,解析(1)设等差数列an的公差为d.由题意,得?解得a1=-2,d=2,所以an=-2+(n-1)2=2n-4,答案(1)B(2)A(3)60,解析(1)因为a3+a9=27-a6,2a6=a3+a9,所以3a6=27,所以a6=9,所以S11=?(a1+a11)=1
8、1a6=99.(2)设这个数列有2n项,由等差数列的性质可知:偶数项之和减去奇数项之和等于nd,即25-15=2n,故2n=10,即数列的项数为10.(3)由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,即S2m=?=?=60.,易错警示一般地,运用等差数列的性质可以化繁为简、优化解题过程.但要注意性质运用的条件,如m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq,该性质的运用条件是序号之和相等.,2-1(2014北京西城期末)若等差数列an满足a1=?,a4+a6=5,则公差d=;a2+a4+a6+a20=.,答案?;55,解析由题
9、意得2a1+8d=5,又a1=?,故d=?,则an=?n,所以a2=1,a4=2,则a4-a2=1,故a2+a4+a6+a20=10+?=55.,2-2已知an为等差数列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,则a19+a20+a21=.,答案20,解析由等差数列的性质,可知S3,S6-S3,S9-S6,S21-S18成等差数列,设此数列的公差为D.所以5+2D=10,所以D=?.所以a19+a20+a21=S21-S18=5+6D=5+15=20.,20,2-3在等差数列an中,a1=-2 012,其前n项和为Sn,若?-?=2,则S2 012的值等于.,答案-2 012,-2 0
10、12,解析(1)证明:由已知得:an=?=?,则bn=2lo?-1=2n-1(nN*).,则bn+1-bn=2(n+1)-1-2n+1=2.所以数列bn是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知,bn=2n-1,则b2n=4n-1,则数列b2n是以3为首项,4为公差的等差数列.cn=an+b2n=?+4n-1.则Tn=?+?+?+3+7+(4n-1),即Tn=?+?,即Tn=2n2+n+?-?(nN*).,方法指导证明一个数列为等差数列的基本方法有两种:一是定义法,证明an-an-1=d(n2,d为常数);二是等差中项法,证明2an+1=an+an+2.若证明一个数列不是等差数列,则可
11、以举反例,也可以用反证法.,3-1若数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=?.(1)求证:?是等差数列;(2)求数列an的通项公式.,解析(1)证明:当n2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,又易知Sn0,所以?-?=2,又?=?=2,故?是首项为2,公差为2的等差数列.(2)由(1)可得?=2n,Sn=?.当n2时,an=Sn-Sn-1=?-?=?=-?.当n=1时,a1=?不适合上式.故an=,典例4(2017北京丰台一模)已知an是各项均为正数的等比数列,a11=8,设bn=log2an,且b4=17.(1)求证:数列bn
12、是以-2为公差的等差数列;(2)设数列bn的前n项和为Sn,求Sn的最大值.,考点四 等差数列的前n项和及其最值,解析(1)证明:设等比数列an的公比为q,则bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2?=log2q,因此数列bn是等差数列.又b11=log2a11=3,b4=17,所以等差数列bn的公差d=?=-2,所以数列bn是以-2为公差的等差数列.(2)由(1)知bn=25-2n,b1=23,则Sn=?=?=(24-n)n=-(n-12)2+144,于是当n=12时,Sn有最大值,最大值为144.,方法指导处理等差数列前n项和的最值问题的常用方法(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;(2)将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数且A0)看作二次函数,根据二次函数的性质求解.,4-1在等差数列an中,a1=29,S10=S20,则数列an的前n项和中最大的为?()A.S15B.S16C.S15和S16D.S17,答案AS10=S20,10a1+?d=20a1+?d,又a1=29,d=-2,Sn=29n+?(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225.当n=15时,Sn取得最大值.,A,
