1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第七节 抛物线 A组 基础题组 1.以 x轴为对称轴 ,原点为顶点的抛物线上的一点 P(1,m)到焦点的距离为 3,则抛物线的方程是 ( ) A.y=4x2 B.y=8x2 C.y2=4x D.y2=8x 2.(2017 北京西城二模 )若抛物线 y2=ax的焦点到其准线的距离是 2,则 a=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 3.以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A,B两点 ,交 C的准线于 D,E两点 .已知 |AB|=4 ,|DE|=2 ,则 C的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 4.已 知抛物线 y2=2px(p0),
2、过其焦点且斜率为 -1的直线交抛物线于 A,B两点 ,若线段 AB的中点的横坐标为 3,则该抛物线的准线方程为 ( ) A.x=1 B.x=2 C.x=-1 D.x=-2 5.(2016 北京西城期末 )若抛物线 C:y2=2px的焦点在直线 x+y-3=0上 ,则实数 p= ;抛物线 C的准线方程为 . 6.(2017 北京朝阳二模 )已知双曲线 - =1(a0,b0)与抛物线 y2=8x有一个公共的焦点 F.设两曲线的一个交点为 P,若 |PF|=5,则点 P 的横坐标是 ;该双曲线的渐 近线方程为 . 7.已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,A是抛物线上横坐标为 4,且位于 x
3、轴上方的点 ,A到抛物线准线的距离等于 5,过 A作 AB 垂直于 y轴 ,垂足为 B,OB的中点为 M. (1)求抛物线的方程 ; (2)若过 M作 MNFA, 垂足为 N,求点 N的坐标 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 8.已知圆 C过定点 F ,且与直线 x= 相切 ,圆心 C的轨迹为 E,曲线 E与直线 l:y=k(x+1)(kR) 相交于 A,B两点 . (1)求曲线 E的方程 ; (2)当 OAB 的面积等于 时 ,求 k的值 . B组 提升题组 9.(2015北京延庆期末 )已知抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,准线为 l,过抛物线 C上的点 A作准线 l的垂线 ,垂足为
4、 M,若 AMF 与 AOF( 其中 O为原点 )的面积之比为 31, 则点 A的坐标为 ( ) A.(2,2 ) B.(2,-2 ) C.(2, ) D.(2,2 ) 10.设 F 为抛物线 y2=2x的焦点 ,A、 B、 C为抛物线上三点 ,若 F为 ABC 的重心 ,则 | |+| |+| |的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.已知抛物线 C:y2=8x的焦点为 F,准线为 l,P是 l上一点 ,Q是直线 PF与 C的 一个交点 .若 =4 ,则|QF|=( ) A. B.3 C. D.2 12.(2016北京海淀期末 )已知点 A(5,0),抛物线 C:y2=4x的焦
5、点为 F,点 P在抛物线 C上 .若点 F恰好在 PA的垂直平分线上 ,则 PA的长度为 ( ) A.2 B.2 C.3 D.4 13.(2017北京东城期末 )过抛物线 y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于 A,B两点 ,它们的横坐标之和等于 3,则这样的直线 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 14.(2016北京海淀二模 )如图 ,抛 物线 W:y2=4x与圆 C:(x-1)2+y2=25交于 A,B两点 ,点 P为劣弧 AB上不同于 A,B的一个动点 ,与 x轴平行的直线 PQ交抛物线 W于点 Q,则 PQC 的
6、周长的取值范围是 ( ) A.(10,14) B.(12,14) C.(10,12) D.(9,11) 15.经过抛物线 C的焦点 F作直线 l与抛物线 C交于 A,B 两点 ,如果 A,B在抛物线 C的准线上的射影分别为 A1,B1,那么 A 1FB1= . 16.如图 ,设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,抛物线上的点 A到 y轴的距离等于 |AF|-1. (1)求 p 的值 ; (2)若直线 AF交抛物线于另一点 B,过 B与 x轴平行的直线和过 F与 AB垂直的直线交于点 N,AN与 x轴交于点 M.求 M的横坐标的取值范围 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案精解精析
7、A组 基础题组 1.D 设抛物线的方程为 y2=2px,则由抛物线的定义知 1+ =3,即 p=4,所以抛物线方程为 y2=8x. 2.C y 2=ax,2p=|a|, 又 焦点到准线的距离为 2, p=2,|a|=4. a=4, 故选 C. 3.B 不妨设 C:y2=2px(p0),A(x1,2 ),则 x1= = ,由题意可知 |OA|=|OD|,得 +8= +5, 解得 p=4(舍负 ).故选 B. 4.C 由题意可知焦点为 , 直线 AB的方程为 y=- ,与抛物线方程联立得 消去 y得 4x2-12px+p2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=3p. 线段
8、AB的中点的横坐标为 3, =3,p=2, 抛物线的准线方程为 x=-1. 5. 答案 6;x=-3 解析 抛物线 C:y2=2px的焦点坐标是 ,由题意得 +0-3=0,解得 p=6,故抛物线 C的准线方程为x=-3. 6. 答案 3;y= x 解析 由抛物线定义可得 ,点 P到抛物线的准线 x=-2的距离与到焦点 F(2,0)的距离相等 ,为 5,故点 P的横坐标为 3, 可得 P(3,2 ). 将点 P的坐标代入双曲线方程得 - =1, 由题意知双曲线的一个焦点坐标为 (2,0),即 c=2, =【 ;精品教育资源文库 】 = a 2+b2=4,解得 a=1,b= , 双曲线渐近线方程为
9、 y= x= x. 7. 解析 (1)抛物线 y2=2px 的准线为 x=- ,于是 4+ =5,p=2, 抛物线方程为 y2=4x. (2)由 (1)知点 A的坐标是 (4,4),由题意得 B(0,4),M(0,2). 又 F(1,0),k FA= . MNFA,k MN=- , FA 的方程为 y= (x-1), MN 的方程为 y=- x+2, 由 联立得 x= ,y= , N 的坐标为 . 8. 解析 (1)设圆心 C的坐标为 (x,y),由题意 ,知圆心 C 到定点 F 和直线 x= 的距离相等 , 故圆心 C的轨迹 E的方程为 y2=-x. (2)由方程组 消去 x,并整理得 ky
10、2+y-k=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=- ,y1y2=-1. 设直线 l与 x轴交于点 N,则 N(-1,0). S OAB =SOAN +SOBN =【 ;精品教育资源文库 】 = = |ON|y1|+ |ON|y2| = |ON|y1-y2| = 1 = . S OAB = , = ,解得 k= . 经检验 ,k= 均符合题意 ,k= . B组 提升题组 9.D 如图 ,由题意可得 ,|OF|=1,由抛物线定义得 ,|AF|=|AM|,AMF 与 AOF 的面积之比为 31, = =3, |AM|=3, 设 A , 1+ =3, =2,y 0=2 ,
11、点 A的坐标为 (2,2 ),故选 D. 10.C 设点 A(x1,y1)、 B(x2,y2)、 C(x3,y3),又焦点 F ,x1+x2+x3=3 = ,则| |+| |+| |= + + =(x1+x2+x3)+ = + =3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 11.B =4 , 点 Q在线段 PF 上 ,且在两端点之间 ,过 Q作 QMl, 垂足为 M, 由抛物线定义知 |QF|=|QM|, 设抛物线的准线 l与 x轴的交点为 N, 则 |FN|=4,又易知 PQMPFN, 则 = , 即 = .|QM|=3, 即 |QF|=3.故选 B. 12.D 由抛物线方程得 F(1,0).若
12、点 F恰好在线段 PA 的垂直平分线上 , 则 |PF|=|FA|=4.设点 P的坐标为 (xP,yP)(xP0),则由焦半径公式得 4=xP+1,解得 xP=3,代入抛物线方程得yP=2 ,所以点 P的坐标为 (3,2 ),所以 |PA|= =4. 13.B 过抛物线 y2=4x的焦点 (1,0)作一条直线与抛物线相交于 A、 B两点 ,若直线 AB 的斜率不存在 ,则横坐标之和等于 2,不适合 . 若设直线 AB 的斜率为 k,则直线 AB为 y=k(x-1), 代入抛物线 y2=4x得 ,k2x2-2(k2+2)x+k2=0, A 、 B两点的横坐标之和等于 3, =3,解得 k2=4,即 k=2. 这样的直线有且仅有两条 . 14.C 作出抛 物线的准线 :x=-1. 过点 Q向准线引垂线 ,垂足为 H. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 |QC|=|QH|. PC 为圆的半径 , |PC|=5. PCQ 的周长 =|PQ|+|QC|+|PC| =|PQ|+|QH|+5. 又 PQ 与 x轴平行 , PCQ 的周长 =|PH|+5. 点 P为劣弧 AB 上不同于 A,B的动点 , 52. 经检验 ,m2满足题意 . 综上 ,点 M的横坐标的取值范围是 (-,0)(2,+).
