1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十二单元 空间向量 教材复习课 “ 空间向量 ” 相关基础知识一课过 空间向量中的有关定理 过双基 共线向量定理 对空间任意两个向量 a， b(b0 )， a b?存在 R，使 a b 共面向量定理 若两个向量 a， b 不共线，则向量 p 与向量 a， b 共面 ?存在唯一的有序实数对 (x， y)，使 p xa yb 空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a， b， c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组 x， y， z使得 p xa yb zc. 推论：设 O， A， B， C 是不共面的四点，则对平面 ABC 内任一点 P都存在 唯一的三
2、个有序实数 x， y， z，使 OP x OA y OB z OC 且 x y z 1 小题速通 1已知 O 为空间任意一点，若 OP 34 OA 18 OB 18 OC ，则 A， B， C， P 四点 ( ) A一定不共面 B一定共面 C不一定共面 D无法判断 解析：选 B OP 34 OA 18 OB 18 OC ，且 34 18 18 1. P， A， B， C 四点共面 2已知空间四边形 OABC 中， OA a， OB b， OC c，点 M 在 OA 上，且 OM 2MA，N 为 BC 中点，则 MN ( ) A.12a 23b 12c B 23a 12b 12c C.12a 1
3、2b 12c D.23a 23b 12c 解析：选 B 如图所示， MN MA AB BN 13 OA ( )OB OA 12 BC =【 ;精品教育资源文库 】 = OB 23 OA 12( )OC OB 12 OB 23 OA 12 OC 23a 12b 12c. 3已知 a (2， 1,3)， b ( 1,4， 2)， c (7,5， )若 a， b， c 三向量共面，则实数 的值为 ( ) A.627 B.637 C.607 D.657 解 析：选 D 由题意设 c ta b (2t ， t 4 ， 3t 2 )， ? 7 2t ，5 t 4 ， 3t 2 .? t 337 ， 177
4、 ， 657.数量积及坐标运算 过双基 1 两个向量的数量积 (1)a b |a|b|cos a， b； (2)a b?a b 0(a， b 为非零向量 )； (3)|a|2 a2， |a| x2 y2 z2. 2向量的坐标运算 a (a1， a2， a3)， b (b1， b2， b3) 向量和 a b (a1 b1， a2 b2， a3 b3) 向量差 a b (a1 b1， a2 b2， a3 b3) 数量积 a b a1b1 a2b2 a3b3 =【 ;精品教育资源文库 】 = 共线 a b?a1 b1， a2 b2， a3 b3( R， b0) 垂直 a b?a1b1 a2b2 a3
5、b3 0 夹角公式 cos a， b a1b1 a2b2 a3b3a21 a22 a23 b21 b22 b23小题速通 1已知直线 l 的方向向量 s ( 1,1,1)，平面 的法向量 n (2， x2 x， x)，若直线 l 平面 ，则 x 的值为 ( ) A 2 B 2 C. 2 D 2 解析：选 D 因为线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故 12 1( x2 x) 1( x) 0，解得 x 2. 2已知向量 a (1,0， 1)，则下列向量中与向量 a 成 60 夹角的是 ( ) A ( 1,1,0) B (1， 1,0) C (0， 1,1) D ( 1,0,1) 解析：
6、选 B 对于选项 B，设 b (1， 1,0) a b (1,0， 1)(1 ， 1,0) 1，且|a| |b| 2， cos a， b a b|a|b| 12 2 12， 又 0 a， b 180 ， 向量 a 与向量 (1， 1,0)的夹角为 60. 3.(2018 西安联考 )已知向量 a (0， 1,1)， b (4,1,0)， | a b| 29且 0，则 _. 解析：因为 a b (4， 1， )， 所以 | a b| 16 2 2 2 2 2 17 29，化简整理得 2 6 0，解得 2 或 3，又 0，所以 3. 答案： 3 向量法证明平行与垂直 过双基 1 两个重要向量 (1
7、)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行 (或重合 )的非零向量，一条直线的方向向量有 无数个 (2)平面的法向量 直线 l 平面 ，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面 的法向量显然一个=【 ;精品教育资源文库 】 = 平面的法向量有 无数 个，它们是共线向量 2空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线 l1， l2的方向向量分别为n1， n2 l1 l2 n1 n2?n1 n 2 l1 l2 n1 n2?n1 n2 0 直线 l 的方向向量为 n，平面 的法向量为 m l n m?m n 0 l n m?n m 平面 ， 的法向量分别为 n，m n m?n m n
8、m?n m 0 小题速通 1若直线 l 的方向向量为 a (1,0,2)，平面 的法向量为 n ( 2,0， 4)，则 ( ) A l B l C l? D l 与 斜交 解析：选 B a (1,0,2)， n ( 2,0， 4)， n 2a，即 a n， l . 2.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别在 A1D， AC 上，且 A1E 23A1D， AF 13AC，则 ( ) A EF 至多与 A1D， AC 之一垂直 B EF A1D， EF AC C EF 与 BD1相交 D EF 与 BD1异面 解析：选 B 以 D 点为坐标原点，以 DA， DC， DD1所
9、在直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则 D(0,0,0)， A(1,0,0)， C(0,1,0)， A1(1,0,1)， E? ?13， 0， 13 ， F? ?23， 13， 0 ， B(1,1,0)， D1(0,0,1)， A1D ( 1,0， 1)， AC ( 1,1,0)， EF ? ?13， 13， 13 ， BD1 ( 1， 1,1)， 所以 EF 13BD1 ， A1D EF 0， AC EF 0， 从而 EF BD1， EF A1D， EF AC，故选 B. 3若平面 1， 2垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是 ( )
10、 A n1 (1,2,1)， n2 ( 3,1,1) =【 ;精品教育资源文库 】 = B n1 (1,1,2)， n2 ( 2,1,1) C n1 (1,1,1)， n2 ( 1,2,1) D n1 (1,2,1)， n2 (0， 2， 2) 解析：选 A 两个平面垂直时其法向量也垂直，只有 A 中的两个向量垂直 利用向量求空间角 过双基 1 异面直线所成角 设异面直线 a， b 所成的角为 ，则 cos |a b|a|b|， 其中 a， b 分别是直线 a， b 的方向向量 2直线与平面所成角 如图所示，设 l 为平面 的斜线， l A， a 为 l 的方向向量， n为平面 的法向量， 为
11、 l 与 所成的角，则 sin |cos a， n | |a n|a|n|. 3二面角 若 AB， CD 分别是二面角 l 的两个平面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角 (或其补角 )的大小就是向量 AB 与 CD 的夹角，如图 (1) 平面 与 相交于直线 l，平面 的法向量为 n1，平面 的法向量为 n2， n1， n2 ，则二面角 l 为 或 .设二面角大小为 ，则 |cos | |cos |n1 n2|n1|n2|，如图 (2)(3) 小题速通 1在三棱柱 ABCA1B1C1中，若 AA1 底面 ABC， AB BC AA1， ABC 90 ，点 E， F 分别是棱 AB， BB1的
12、中点，则直线 EF 和 BC1的夹角为 ( ) A 45 B 60 C 90 D 120 解析：选 B 如图所示，以 BC， BA， BB1，所在直线分别为 x 轴， y轴， z 轴建立空间直角坐标系， 由于 AB BC AA1，不妨取 AB 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 E(0,1,0)， F(0,0,1)， C1(2,0,2)， 所以 EF (0， 1,1)， BC1 (2,0,2)， 则 cos EF ， BC1 222 2 12， 故直线 EF 与 BC1的夹角为 60. 2.如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等， E， F， G 分别为AB， AA1， A
13、1C1的中点，则 B1F 与平面 GEF 所成角的正弦值为 ( ) A.35 B.56 C.3 310 D.3 610 解析：选 A 设正三棱柱的棱长为 2，取 AC 的中点 D，连接 DG，DB，分别以 DA， DB， DG 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 B1( )0， 3， 2 ， F(1,0,1)， E? ?12， 32 ， 0 ， G(0,0,2)， B1F ( )1， 3， 1 ， EF ? ?12， 32 ， 1 ， GF (1,0， 1) 设平面 GEF 的法向量 n (x， y， z)， 则? EF n 0，GF n 0，即? 12x
14、32 y z 0，x z 0，取 x 1，则 z 1， y 3， 故 n ( )1， 3， 1 为平面 GEF 的一个法向量， 所以 cos n， B1F 1 3 15 5 35， 所以 B1F 与平面 GEF 所成角的正弦值为 35. 3正方形 ABCD 所在平面外有一点 P， PA 平面 ABCD.若 PA AB，则平面 PAB 与平面 PCD所成的二面角的大小为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 解析：选 B 建立空间直角坐标系如图所示，设 AB 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 A(0,0,0)， B(0,1,0)， P(0,0,1)， D(1,0,0)， C(1,1,0) PD (1,0， 1)， CD (0， 1,0)， 易知平面 PAB 的法向量为 n1 (1,0,0) 设平面 PCD 的法向量 n2 (x， y， z)， 则? n2 PD 0，n2 CD 0，即? x z 0，y 0. 令 x 1，则 z 1. n2 (1,0,1)， cos n1， n2 12 22 . 平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的余弦
