1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 40 讲 直线、平面垂直的判定及其性质 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理 2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题 . 2017 全国卷 ， 18 2017 全国卷 ， 19 2017 江苏卷， 15 2017 浙江卷， 19 与直线、平面垂直有关的命题判断；线线、线面、面面垂直的证明；直线与平面所成的角的计算；由线面垂直或面面垂直探求动点的位置 . 分值： 5 6 分 1直 线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与
2、平面 内的 ！ _任意一条 _#直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直 (2)判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的 ！ _两条相交直线_#都垂直，则该直线与此平面垂直 错误 !?l 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 ！ _平行 _# ?！ _a _#！ _b _#?a b 2平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ！ _直二面角 _#，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理和性质定理 =【 ;精品教育资源文库 】 = 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的一条 ！ _垂
3、线_#，则这两个平面互相垂 直 ?！ _l? _#！ _l _#? 性质 定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于 ！ _交线 _#的直线与另一个平面垂直 错误 !?l 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)直线 l 与平面 内无数条直线都垂直，则 l .( ) (2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个 ( ) (3)若两条直线垂直，则这两条直线相交 ( ) (4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面 ( ) (5)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( ) 解析 (1)错误直线 l 与 内两条相交直线都垂直才有 l . (2)正确过一点
4、可以作两条相交直线都垂直于已知直线，而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直 (3)错误两条直 线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面 (4)错误两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而不是任意一条直线 (5)错误 内的一条直线如果与 内的两条相交直线都垂直才能线面垂直，从而面面垂直 2设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 b m，则 “ ” 是 “ a b” 的 ( A ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 由面面垂直的性质定理可知，当 时， b . 又因为 a? ，
5、则 a b，如果 a m， a b，不能得到 ， 故 “ ” 是 “ a b” 的充分不必要条件故选 A 3已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下面给出的条件中=【 ;精品教育资源文库 】 = 一定能推出 m 的是 ( C ) A ，且 m? B ，且 m C m n，且 n D m n， n? ，且 解析 ，且 m? ?m? 或 m 或 m 与 相交，故 A 项不成立 ，且 m ?m? 或 m 或 m 与 相交，故 B 项不成立 m n，且 n ?m ，故 C 项成立 m n， n? ，且 ?/ m ，故 D 项不成立故选 C 4 PD 垂直于正方形 ABCD 所在
6、的平面，连接 PB， PC， PA， AC， BD，则一定互相垂直的平面有 ！ _7_#对 解析 平面 PAD、平面 PBD、平面 PCD 都垂直于平面 ABCD， 平面 PAD 平面 PCD，平面 PCD 平面 PBC， 平面 PAD 平面 PAB，平面 PAC 平面 PBD，共有 7 对 5在三棱锥 P ABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O. (1)若 PA PB PC，则点 O 是 ABC 的 ！ _外 _#心； (2)若 PA PB， PB PC， PC PA，则点 O 是 ABC 的 ！ _垂 _#心 解析 (1)若 PA PB PC，由勾股定理易得 OA OB OC
7、， 故 O 是 ABC 的外心 (2)由 PA PB， PC PA，得 PA 平面 PBC，则 PA BC. 又由 PO 平面 ABC 知 PO BC，所以 BC 平面 PAO，则 AO BC，同理得 BO AC， CO AB，故 O 是 ABC 的垂心 一 直线与平面垂直的判定与性质 (1)证明直线和平面垂直的常用方法： 判定定理； 垂直于平面的传递性 (a b， a ?b )； 面面平行的性质 (a ， ?a )； 面面垂直的性质 (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 (3)线面垂直的性质常用来
8、证明线线垂直 【例 1】 (2017 天津卷 )如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 PDC， AD BC， PD PB，AD 1， BC 3， CD 4， PD 2. (1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值； (2)求证： PD 平面 PBC； =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 解析 (1)如图，由已知 AD BC， 可知 DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角 因为 AD 平面 PDC， 所以 AD PD. 在 Rt PDA 中，由已知，得 AP AD2 PD2 5， 故 cos DAP ADAP 55
9、 . 所以异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 55 . (2)证明：因为 AD 平面 PDC，直线 PD?平面 PDC，所以 AD PD.又因为 BC AD，所以PD BC，又 PD PB， BC， PB?平面 PBC，所以 PD 平面 PBC. (3)过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连接 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角因为 PD 平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以 DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角由于 AD BC， DF AB，故 BF AD 1，由已知，得 CF BC BF 2
10、.又 AD DC，故 BC DC，在 Rt DCF 中，可得 DF CD2 CF2 2 5，在 Rt DPF 中，可得 sin DFP PDDF 55 .所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 55 . 二 平面与平面垂直的判定与性质 (1)判定面面垂直的方法： 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理 (a ， a? ? ) (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 【例 2】 (2017 全国卷 )如图，在四棱锥 P ABCD 中， AB CD，且 BAP CDP90. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)
11、证明：平面 PAB 平面 PAD； (2)若 PA PD AB DC， APD 90 ，且四棱锥 P ABCD 的体积为 83，求该四棱锥的侧面积 解析 (1)证明：由 BAP CDP 90 ， 得 AB AP， CD PD. 由于 AB CD，故 AB PD，从而 AB 平面 PAD. 又 AB?平面 PAB，所以平面 PAB 平面 PAD. (2)如图所示，在平面 PAD 内作 PE AD，垂足为 E. 由 (1)知， AB 平面 PAD，故 AB PE，可得 PE 平面 ABCD. 设 AB x，则由已知可得 AD 2x， PE 22 x. 故四棱锥 P ABCD 的体积 VP ABCD
12、 13AB AD PE 13x3. 由题设得 13x3 83，故 x 2. 从而 PA PD 2， AD BC 2 2， PB PC 2 2. 可得四棱锥 P ABCD 的侧面积为 12PA PD12PA AB12PD DC12BC2sin 60 6 2 3. 三 垂直关系中的探索性问题 解决垂直关系中的探索性问题的方法 同 “ 平行关系中的探索性问题 ” 的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明 【例 3】 如图，在三棱台 ABC DEF 中， CF 平面 DEF， AB BC. (1)设平面 ACE 平面 DEF a，求证： DF a； =【
13、 ;精品教育资源文库 】 = (2)若 EF CF 2BC，试问在线段 BE 上是否存在点 G，使得平面 DFG 平面 CDE？若存在，请确定点 G 的位置；若不存在，请说明理由 解析 (1)证明：在三棱台 ABC DEF 中， AC DF， AC?平面 ACE， DF?平面 ACE， DF 平面 ACE. 又 DF?平面 DEF，平面 ACE 平面 DEF a， DF a. (2)线段 BE 上存在点 G，且 BG 13BE，使得平面 DFG 平面 CDE. 证明如下： 取 CE 的中点 O，连接 FO 并延长交 BE 于点 G，连接 GD. CF EF， GF CE. 在三棱台 ABC D
14、EF 中， AB BC， DE EF. 由 CF 平面 DEF，得 CF DE. 又 CF EF F， DE 平面 CBEF， DE GF. 由 GF CE， GF DE， CE DE E，可得 GF 平面 CDE. 又 GF?平面 DFG， 平面 DFG 平面 CDE. 此时，如平面图所示， O 为 CE 的中点， EF CF 2BC， 由平面几何知识易证 HOC FOE， HB BC 12EF. 由 HGB FGE，可知 BGGE 12，即 BG 13BE. 1设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面 ( C ) A若 m n， n ，则 m B若 m ， ，则 m C若 m ， n ， n ，则 m =【 ;精品教育资源文库 】 = D若 m n， n ， ，则 m 解析 对于 A， B， D 项，均能举出 m 的反例；对于 C 项，若 m ， n ，则 m n，又 n ， m .故选 C 2如图，以等腰直角
