1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 基本不等式 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 重要不等式 a2 b2 2ab(a， b R)(当且仅当 a b 时等号成立 ) 考点 2 基本不等式 ab a b2 1基本不等式成立的条件： a0， b0； 2等号成立的条件：当且仅当 a b 时等号成立； 3其中 a b2 叫做正数 a， b 的 算术平均数 ， ab叫做正数 a， b 的 几何平均数 考点 3 利用基本不等式求最大、最小值问题 1如果 x， y (0， ) ，且 xy P(定值 )， 那么当 x y 时， x y 有最小值 2 P.(简记： “ 积定和最小 ”) 2
2、如果 x， y (0， ) ，且 x y S(定值 )， 那么当 x y 时， xy 有最大值 S24.(简记： “ 和定积最大 ”) 必会结论 常用的几个重要不等式 (1)a b2 ab(a0， b0)； (2)ab ? ?a b2 2(a， b R)； (3)? ?a b2 2 a2 b22 (a， b R)； (4)ba ab2( a， b 同号 ) 以上不等式等号成立的条件均为 a b. 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)函数 y x 1x的最小值是 2.( ) (2)函数 f(x) cosx 4cosx， x ? ?0， 2 的最小值等于 4
3、.( ) (3)x0， y0 是 xy yx2 的充要条件 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)若 a0，则 a3 1a2的最小值为 2 a.( ) (5)a2 b2 c2 ab bc ca(a， b， c R) ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 课本改编 已知 a， b R ，且 a b 1，则 ab 的最大值为 ( ) A 1 B.14 C.12 D. 22 答案 B 解析 a， b R ， 1 a b2 ab， ab 14，当且仅当 a b 12时等号成立 3 课本改编 已知 a0， b0， a b 2，则 y 1a 4b的最小值是 ( ) A.72
4、B 4 C.92 D 5 答案 C 解析 y 12(a b)? ?1a 4b 12? ?5 4ab ba 92，故选 C. 4 2018 苏州模拟 若 0 x6 ，则 f(x) x?8 x?的最大值为 ( ) A.163 B 4 C.4 33 D. 5 答案 B 解析 0 x6 ， 8 x0， f(x) x?8 x? x ?8 x?2 4， 当且仅当 x 8 x，即 x 4 时，等号成立故 f(x)的最大值为 4. 5 课本改编 若 f(x) x 1x 2(x2)在 x n 处取得最小值，则 n ( ) A.52 B 3 C.72 D 4 答案 B 解析 由 f(x) x 1x 2 (x 2)
5、 1x 2 24 ，当且仅当 x 2 1x 20，即 x 3 时，取得等号故选 B. 6 2018 上海模拟 若实数 x， y 满足 xy 1，则 x2 2y2的最小值为 _ 答案 2 2 解析 x2 2y22 x22 y2 2 2，当且仅当 x 2y 时取 “ ” ， x2 2y2 的最小值为 2 2. 板块二 典例探究 考向突破 考向 利用基本不等式求最值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 例 1 2017 山东高考 若直线 xa yb 1(a0， b0)过点 (1,2)，则 2a b 的最小值为_ 答案 8 解析 直线 xa yb 1(a0， b0)过点 (1,2)， 1a 2b 1，
6、2a b (2a b)? ?1a 2b 4 4ab ba4 2 4ab ba 8， 当且仅当 ba 4ab ，即 a 2， b 4 时，等号成立 故 2a b 的最小值为 8. 本例条件不变， 求 ab 的最小值 解 1 1a 2b2 2ab，当 1a 2b，即 a 2， b 4 时， ab8 ， ab 的最小值为 8. 若 4a 2b 1，求 2a b 的最大值 解 4a 2b2 22a2 b 2 22a b， 2 22a b1 ， 2a b 2， 2a b 的最大值为 2. 若 log2a log2b 1，求 2a b 的最小值 解 log2ab 1， ab 2， 2a b2 2ab 4，
7、当 a 1， b 2 时， 2a b 的最小值为 4. 触类旁通 利用基本不等式求最值问题的解题策略 (1)利用基本 (均值 )不等式解题一定要注意应用的前提： “ 一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ” (2)在利用基本 (均值 )不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本 (均值 )不等式 【变式训练 1】 (1)已知 00，则函数 y x 22x 1 32的最 小值为 _ 答案 0 解析 y x 22x 1 32 ? ?x 12 1x 12 22 ? ?x 12 1x 12 2 0，当且仅当 x 12 1x 12，即 x 12时等号成立所以函数的 最小
8、值为 0. 考向 条件最值问题 例 2 2018 大同检测 若正数 a， b 满足 ab a b 3，求： (1)ab 的取值范围； (2)a b 的取值范围 解 (1) ab a b 32 ab 3， 令 t ab0， t2 2t 30 ， (t 3)(t 1)0. t3 即 ab3 ， ab9 ， 当且仅当 a b 3 时取等号 (2) ab a b 3， a b 3 ? ?a b2 2. 令 t a b0， t2 4t 120 ， (t 6)(t 2)0. t6 即 a b6 ，当且仅当 a b 3 时取等号 触类旁通 求条件最值注意的问题 (1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，
9、并能灵活进行转化； (2)常用的技巧有： “1” 的代换，配凑法，放缩法，换元法 【变式训练 2】 (1)2018 珠海模拟 已知 x0， y0， x 3y xy 9，则 x 3y 的最小值为 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 答案 C 解析 解法一：由已知得 xy 9 (x 3y)，即 3xy 27 3(x 3y) ? ?x 3y2 2，当且仅当 x 3y，即 x 3， y 1 时取等号，令 x 3y t，则 t0，且 t2 12t 1080 ，得 t6.即 x 3y6. 解法二： x 3y 9 xy2 3xy， ( xy)2 2 3 xy 90 ， ( xy=【 ;精品教育资源文库
10、】 = 3 3)( xy 3)0 ， 00， b0，若 a0， b0，再运用基本不等式求解 3 “ 当且仅当 a b 时等号成立 ” 的含义是 “ a b” 是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误 . 板块三 启智培优 破译高考 易错警示系列 8 连续应用基本不等式时切记等号成立的条件 2017 天津高考 若 a， b R， ab0，则 a4 4b4 1ab 的最小值为 _ 错因分析 两次使用基本不等式时，忽视等号的一致性易出错 解析 a4 4b42 a22 b2 4a2b2(当且仅当 a2 2b2时 “ ” 成立 )， a4 4b4 1ab 4a2b2 1ab 4ab
11、1ab， 由于 ab0， 4ab 1ab2 4ab 1ab 4? ?当且仅当 4ab 1ab时 “ ” 成立 ， 故当且仅当? a2 2b2，4ab 1ab 时，a4 4b4 1ab 的最小值为 4. 答案 4 答题启示 连续运用基本不等式应注意等号成立的条件：连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等 跟踪训练 已知 ab0，求 a2 16b?a b?的 最小值 解 ab0， a b0. b(a b) ? ?b ?a b?2 2 a24. a2 16b?a b? a2 6
12、4a22 a2 64a2 16. 当 a2 64a2且 b a b，即 a 2 2， b 2时等号成立 a2 16b?a b?的最小值为 16. 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1 2018 浙江模拟 已知 x0， y0，则 “ xy 1” 是 “ x y2” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 若 xy 1，由基本不等式，知 x y2 xy 2；反之，取 x 3， y 1，则满足 x y2 ，但 xy 31 ，所以 “ xy 1” 是 “ x y2” 的充分不必要条件故选 A. 2
13、当 x0 时，函数 f(x) 2xx2 1有 ( ) A最小值 1 B最大值 1 C最小值 2 D最大值 2 答案 B 解析 x0， f(x) 2x 1x1. 故选 B. 3 2015 湖南高考 若实数 a， b 满足 1a 2b ab，则 ab 的最小值为 ( ) A. 2 B 2 C 2 2 D 4 答案 C 解析 由 ab 1a 2b2 2ab，得 ab2 2，当且仅当 1a 2b时取 “ ” 选 C. 4 2018 人大附中模拟 ?3 a?a 6?( 6 a3) 的最大值为 ( ) A 9 B.92 C 3 D.3 22 答案 B 解析 因为 6 a3 ，所以 3 a0 ， a 60.
14、 由基本不等式，可知 ?3 a?a 6? ?3 a? ?a 6?2 92，当且仅当 a 32时等号成立 5 2018 秦皇岛模拟 函数 y x2 2x 1(x1)的最小值是 ( ) A 2 3 2 B 2 3 2 C 2 3 D 2 答案 A 解析 x1， x 10， y x2 1 3x 1 ?x 1?x 1? 3x 1 x 13x 1 x 13x 1 22 3 2(当且仅当 x 1 3时取 “ ”) 选 A. 6设 x0， y0，且 x 4y 40，则 lg x lg y 的最大值是 ( ) A 40 B 10 C 4 D 2 答案 D 解析 x 4y 40，且 x0， y0， x 4y2 x4 y 4 xy(当且仅当 x 4y 时取 “ ”) ， 4 xy40. xy100. lg x lg y lg (xy)lg 100 2. lg x lg y 的最大值为 2. 7 2018 山西模拟 已知不等式 (x y)? ?1x ay 9 对任意正实数 x， y 恒成立，则正实=【 ;精品教育资源文库 】 = 数 a 的最小值为 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 解析 (x y)? ?1x ay 1 a xy yx
