1、第一章 空间向量与立体几何一选择题（共8小题）1在棱长为1的正方体中，设，则的值为A1B0CD2下列结论错误的是A三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C若是两个不共线的向量，且、且、，则构成空间的一个基底D若、不能构成空间的一个基底，则、四点共面3在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点，且一个方向向量为的直线方程为已知：在空间直角坐标系中，平面的方程为，经过，0，的直线方程为，则直线与平面所成角的正弦值为ABCD4已知二面角为，动点，分别在平面，内，到的距离为1，到的距离为，则，两点之间距离的最
2、小值为A4BC2D5在长方体中，若点在线段上，则二面角的余弦值为ABCD6在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为ABCD7在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵已知在堑堵中，则与平面所成角的大小为ABCD8已知，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，三点共面，则等于ABCD二多选题（共4小题）9给出下列命题，其中正确的有A空间任意三个向量都可以作为一组基底B已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底C，是空间四点，若，不能构成空间的一组基底，则，共面D已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底10已知在空间四
3、面体中，点在线段上，且，点为中点，设，则ABCD11如图，正方体的棱长为1，点是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是A存在点，使面B二面角的平面角大小为C的最小值是D到平面的距离最大值是12已知正四棱柱中，点为线段上的动点，则下列叙述正确的有A当点运动时，总有B当点运动时，三棱锥的体积为定值C当在线段上运动到某一点时，直线与平面所成角为D点为线段上一动点，则的最小值为2三填空题（共4小题）13直四棱柱，已知，四边形是边长为2的菱形，且，为线段上动点，当时，与底面所成角为14在平行六面体中，是线段的中点，若，则15如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量，表示，则1
4、6如图，在边长为2的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为 四解答题（共6小题）17如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，判断向量是否与向量，共面18在，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题问题：如图，在正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系已知点的坐标为，0，为棱上的动点，为棱上的动点，_，试问是否存在点，满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由19在四面体中，两两垂直，等腰三角形的底边长为，点为中点，是的中位线（1）求证：平面平面；（2）线段上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值20如图，在空间四边形中，为其对角线，为的重心（1）求证：；（
5、2）化简：21如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧面为等边三角形（1）求证：；（2）若的大小为，求的正弦值22如图（1）在直角梯形中，沿将折起得到四棱锥，如图（2）所示（1）证明：平面平面；（2）若二面角的大小为，分别是，的中点（）求与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1在棱长为1的正方体中，设，则的值为A1B0CD解：由正方体的性质可得，故，故选：2下列结论错误的是A三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C若是两个不共
6、线的向量，且、且、，则构成空间的一个基底D若、不能构成空间的一个基底，则、四点共面解：对于选项：三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，所以选项正确，对于选项：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，所以选项正确，对于选项、且、，共面，不能构成基底，所以选项错误，对于选项、共起点，若、四点不共面，则必能作为空间的一个基底，所以选项正确，故选：3在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点，且一个方向向量为的直线方程为已知：在空间直角坐标系中，平面的方程为，
7、经过，0，的直线方程为，则直线与平面所成角的正弦值为ABCD解：因为经过，0，的直线方程为，则直线的一个方向向量为，又平面的方程为，则平面的一个法向量为，所以，则直线与平面所成角的正弦值为故选：4已知二面角为，动点，分别在平面，内，到的距离为1，到的距离为，则，两点之间距离的最小值为A4BC2D解：如图分别作于，于，于，于，连，则，又，当且仅当，即点与点重合时取最小值故选：5在长方体中，若点在线段上，则二面角的余弦值为ABCD解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如下图，则，2，2，2，2，平面的法向量，1，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为故选：
8、6在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为ABCD解：设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则，0，0，2，0，设平面的法向量为，可取，平面的法向量为，则平面与平面所成的锐二面角余弦值为故选：7在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵已知在堑堵中，则与平面所成角的大小为ABCD解：在堑堵中，因为侧棱垂直于底面，所以，又，所以面，就是与平面所成的角，则，则与平面所成角的大小为故选：8已知，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，三点共面，则等于ABCD解：因为，三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的一点与，共面，三点
9、，共线，解得故选：二多选题（共4小题）9给出下列命题，其中正确的有A空间任意三个向量都可以作为一组基底B已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底C，是空间四点，若，不能构成空间的一组基底，则，共面D已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底解：对于，空间中只有不共面的三个向量可以作为一组基底，所以选项错误；对于，由向量，则、与任何向量都是共面向量，所以不能构成空间的一组基底，选项正确；对于，若，不能构成空间的一组基底，则，是共面向量，所以，共面，选项正确；对于，因为是空间向量的一组基底，所以、不共面，所以、也不共面，即时，也是空间一组基底，选项正确故选：10已知在空间四面体中，点
10、在线段上，且，点为中点，设，则ABCD解：如图示：空间四边形中，点在线段上，且，点为的中点，故错误；，故正确；，故正确；，故错误；故选：11如图，正方体的棱长为1，点是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是A存在点，使面B二面角的平面角大小为C的最小值是D到平面的距离最大值是解：对于，当与重合时，根据线面平行的判定，可得使面，故正确；对于，二面角就是二面角，其平面角大小为故错；对于，如图沿棱展开面为面，使点，共面，则的最小值为，故正确；对于，当与重合时，垂直平面的，此时点到面距离最大值为，故错故选：12已知正四棱柱中，点为线段上的动点，则下列叙述正确的有A当点运动时，总有B当点运动时，
11、三棱锥的体积为定值C当在线段上运动到某一点时，直线与平面所成角为D点为线段上一动点，则的最小值为2解：对于选项：若选项结论成立，则需要平面，所以选项不正确；对于选项：在点运动时，的面积保持不变，点到平面的距离保持不变，所以正确；对于选项：当在点处，直线与平面所成角的正切值为2；当在点处，直线与平面所成角的正切值为0，所以正确；对于选项：当在点处，当在点处，取得最小值为2故选：三填空题（共4小题）13直四棱柱，已知，四边形是边长为2的菱形，且，为线段上动点，当时，与底面所成角为解：如图所示，连接，因为底面，所以为与底面所成的角，即，又因为，所以，解得，设，在中，由余弦定理可得，整理得，解得故答案
12、为：14在平行六面体中，是线段的中点，若，则解：如图，故，故答案为：15如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量，表示，则解：因为，所以故答案为：16如图，在边长为2的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为 解：如图，取中点，连接、，则，面，就是直线与平面所成的角，故答案为：四解答题（共6小题）17如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，判断向量是否与向量，共面解：，向量与向量，共面18在，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题问题：如图，在正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系已知点的坐标为，0，为棱上的动点，为棱上的动点，_，
13、试问是否存在点，满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解：由题意，正方体的棱长为2，则，0，2，0，0，2，设，2，则，则，若选择：，则，所以，故，若，则，解得，故存在点，1，2，使得，此时；若选：，则，解得，若，则，解得，故存在点，使得，此时；若选：，则与不共线，所以，即，所以，故不存在点，使得19在四面体中，两两垂直，等腰三角形的底边长为，点为中点，是的中位线（1）求证：平面平面；（2）线段上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值证明：（1），两两垂直，平面，则，又等腰三角形的底边长为，点为中点，又，平面，平面，平面平面（2）以为原点，为，轴建立如图所示空间直角坐标系，0，0，0，则，设
14、，解得，设平面的法向量为，即，令，解得，故，设直线与平面所成角为，20如图，在空间四边形中，为其对角线，为的重心（1）求证：；（2）化简：（1）证明：因为为的重心，所以，同理，所以得（2）解：因为，所以21如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧面为等边三角形（1）求证：；（2）若的大小为，求的正弦值解：（1）证明：取的中点，连接，又，则平面，平面，（2）由（1）知的平面角为，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，0，设平面的法向量为，解可得，设平面的法向量为，解可得，故的正弦值为22如图（1）在直角梯形中，沿将折起得到四棱锥，如图（2）所示（1）证明：平面平面；（2）若二面角的大小为，分别是，的中点（）求与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：（1）证明：在直角梯形中，且平面，平面，平面，平面，平面平面（2）如图，由（1）知，平面，平面，且，平面，平面平面，作，垂足为，作，垂足为又平面平面，平面，平面，则为在平面内的射影，为和平面所成角，在中，在中， 和平面所成角的正弦值为延长交的延长线于，连接，是的中点，连接并延长，交于，过点作，此时由，可知，是的中点，此时，由，平面，平面，平面
