1、2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）第一章 空间向量与立体几何 单元检测试卷（B）一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。1已知是各棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，则平面与平面所成的锐二面角为（ ）A45B60C75D302已知空间任一点和不共线的三点、，下列能得到、四点共面的是（ ）ABCD以上都不对3已知两平面的法向量分别为=(0，1，0)，=(0，1，1)，则两平面所成的二面角为（ ）A45B135C45或135D904在正四面体中，异面直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则，的大小关系为（ ）ABCD5棱长均为3的三棱
2、锥，若空间一点满足，则的最小值为（ ）ABCD16在平行六面体中，若，则（ ）ABCD7如图所示，在正方体中，点P是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与BD所成角的取值范围为（ ）ABCD8平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）所有棱长都为1，且则（ ）ABCD二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。9（多选题）正三棱柱中，则（ ）A与底面的成角的正弦值为B与底面的成角的正弦值为 C与侧面的成角的正弦值为D与侧面的成角的正弦值为10已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）ABC向量与向量的夹角是60D正方体ABCDA1B1C1D1的体积为11如图，
3、点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A直线BM，EN是相交直线B直线EN与直线AB所成角等于90C直线EC与直线AB所成角等于直线EC与直线AD所成角D直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角12如图，在三棱柱中，侧棱底面，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是（ ）.A当为线段的中点时，平面B当为线段的三等分点时，平面C在线段的延长线上，存在一点，使得平面D不存在点，使与平面垂直三、填空题。本大题共4小题。13在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA11，E为BC的
4、中点，则点A到平面A1DE的距离是_14如图，在空间四边形中，和为对角线，为的重心是上一点，以为基底，则_15已知长方体中，为的中点，则点到平面的距离为_16在正方体中，已知，为底面的的中心，为的重心，则_.（用，表示）四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程17如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC（不与端点重合）上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=.（1）求证：平面PBC平面PQB；（2）当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60？18已知
5、三棱柱中，（1）求证：平面平面；（2）若，在线段上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由19在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，为的中点，且点满足.（1）证明：平面.（2）当多面体的体积最大时，求二面角的余弦值.20如图，在正四棱柱中，点是的中点，点在上，设二面角的大小为.（1）当时，求的长；（2）当时，求的长.21如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，ABC=90，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将ADE折起，使得点A到点P位置，且PEEB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).（1）求证：平面EMN平面PBC；（2
6、）是否存在点N，使得二面角BENM的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.22如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，BCAD，点M是棱PD上一点，且ABBC2，ADPA4（1）若PM：MD1：2，求证：PB平面ACM；（2）求二面角ACDP的正弦值；（3）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长参考答案1A【解析】以为原点，以垂直的直线为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，0，设平面的法向量，又因为平面向量法则平面与平面所成的锐二面角为45故选：2B3C4D【解析】在正四面体中,设棱长为2,设为底面三角形是中
7、心，则平面.取边的中点，连结, 如图.则易证,又.所以平面,又平面，所以.所以异面直线与所成的角为.又平面.所以直线与平面所成的角为在中,所以.取边的中点，连结，则有，所以二面角的平面角为,在中，由余弦定理有：,即，所以，故选：D.5A【解析】由，根据空间向量基本定理知，与，共面.则的最小值为三棱锥的高，设为在面上的射影，由条件可得三棱锥为正三棱锥.连接并延长交于点,则所以, 所以故选：A6A【解析】解：由空间向量的线性运算，得，由题可知，则，所以，.故选：A.7C【解析】过A作平面平面，点P是底面内（含边界）的一点，且平面，则平面，即在与平面的交线上，连接，则四边形是平行四边形，平面，同理可
8、证平面，平面平面，则平面即为，点在线段上，以D为坐标原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，则，设，设与BD所成角为，则，当时，取得最小值为0，当或1时，取得最大值为，则.故选：C.8C【解析】如图：由,故选：C9BC【解析】如图，取中点，中点，并连接，则，三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系；设，则.底面的其中一个法向量为，与底面的成角的正弦值为，错对的中点的坐标为,侧面的其中一个法向量为，与侧面的成角的正弦值为：，故对错；故选：BC10AB【解析】由向量的加法得到：，所以A正确；，AB1A1C，故B正确；ACD1是等边三角形，AD1C60，又A1BD1
9、C，异面直线AD1与A1B所成的夹角为60，但是向量与向量的夹角是120，故C不正确；ABAA1，故0，因此D不正确.故选：AB.11ABD【解析】解：点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，BM平面BDE，EN平面BDE，BM是BDE中DE边上的中线，EN是BDE中BD边上的中线，直线BM，EN是相交直线，故A正确；取CD中点G，连接NG，可知NGCD，则ENCD，又ABCD，ENAB，即直线EN与直线AB所成角等于90，故B正确；由题意，ECD60为直线EC与直线AB所成角，由AD平面ECD，可知直线EC与直线AD所成角为90，故C错误；过
10、M作MHCD于H，连接BH，则MBH为直线BM与平面ABCD所成角，ENG为直EN平面ABCD所成角由图可知，直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角，故D正确故选：ABD12ABC【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则由，所以，.设平面的一个法向量为，则，取，则，所以平面的一个法向量为.假设平面，且，则.因为也是平面的法向量，所以与共线，所以成立，但此方程关于无解.因此不存在点，使与平面垂直，故选：ABC.13【解析】在长方体在 ， ， ， ， ， ，设点到平面的距离为， ，解得： ，故答案为：14【解析】由题意，连接 则 .故答案为.15【解
11、析】解：以为坐标原点，射线、依次为、轴，建立空间直角坐标系，则点，2，0，0，4，从而，0，2，4，设平面的法向量为，由可得，令，所以点到平面的距离为：故答案为：16【解析】解：在正方体中，为底面的中心，为的重心，故答案为：17（1）证明见解析；（2）当PM=时，平面QMB与平面PDC所成的角大小为60.【解析】（1）ADBC，Q为AD的中点，BC=AD，BCQD，BC=QD，四边形BCDQ为平行四边形，BQCD.ADC=90，BCBQ.PA=PD，AQ=QD，PQAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PQ平面ABCD，PQBC.又PQBQ=Q，BC平面PQB.BC平面
12、PBC，平面PBC平面PQB.（2）由（1）可知PQ平面ABCD.如图，以Q为原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则Q(0，0，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，)，B(0，0)，C(-1，0)，=(0，0)，=(0，0)，=(1，0，)，=(-1，-)，PC=.设=，则=(-，-)，且01，得M(-，)，=(-，(1-).设平面MBQ的法向量为=(x，y，z)，则，即令x=，则y=0，z=，平面MBQ的一个法向量为=，0，.设平面PDC的法向量为=(x，y，z)，则，即令x=3，则y=0，z=-，平面PDC的一个法向量为=(3，0，-).平面QMB
13、与平面PDC所成的锐二面角的大小为60，cos60=，=.PM=PC=.即当PM=时，平面QMB与平面PDC所成的角大小为60.18（1）证明见解析；（2）在线段上存在一点，.【解析】（1）在三棱柱中，四边形为平行四边形，所以，四边形为菱形，连接，则，又，且，平面，平面，又，即，平面，平面，平面平面；（2）以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，、，设在线段上存在一点，满足，使得二面角的余弦值为，则，设平面的一个法向量为，由，取，可得，得，平面的一个法向量为，由，整理可得，即，解得.故在线段上存在一点，使二面角的余弦值为19（1）证明见解析
14、；（2）.【解析】（1）分别取中点，连结.在梯形中，且，且分别为中点， ，四边形是平行四边形 又，为中点，为中点，又为中点 又平面，平面 平面（2）在平面内，过作交于.平面平面，平面平面，平面，平面 即为四棱锥的高，又底面面积确定，所以要使多面体体积最大，即最大，此时过点作，易知，两两垂直，以为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系则，设为平面的一个法向量，则，所以，取设为平面的一个法向量，则，所以，取所以，由图，二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.20（1）；（2）.【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设.（1）、，设平面的法向量为，由，可得，取，则，所以，设平
15、面的法向量为，由，可得，取，可得，所以，.（1）因为，则，解得，从而点，所以，；（2），解得或.结合图形和（1）中的结论可知，从而.21（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.【解析】解：（1）证明：由PEEB，PEED，EBED=E，所以PE平面EBCD，又BC平面EBCD，故PEBC，又BCBE，故BC平面PEB，EM平面PEB，故EMBC，又等腰三角形PEB，EMPB，BCPB=B，故EM平面PBC，EM平面EMN，故平面EMN平面PBC；（2）假设存在点N，使得二面角BENM的余弦值.以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，
16、0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，设平面EMN的法向量为，由，令，得，平面BEN的一个法向量为，故，解得：m=1，故存在N为BC的中点.22（1）证明见解析；（2）；（3）2【解析】（1）证明：在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，BCAD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，点M是棱PD上一点，PM：MD1：2，ABBC2，ADPA4P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，），（2，0，4），（2，2，0），（0，），设平面ACM的法向量，则，取x2，得（2，2，1），440，PB平面ACM，PB平面ACM（2）D（0，4，0），（2，2，4），（0，4，4），设平面CDP的法向量（a，b，c），则，取b1，得（1，1，1），平面ACD的法向量（0，0，1），设二面角ACDP的平面角为，则|cos|，二面角ACDP的正弦值为（3）设，（01），则，平面CDP的法向量，直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，| |，解得，
