1、人教A版（2019） 选择性必修一 第1章 空间向量与立体几何重 难 点 复 习l 知识梳理一、本节课思维导图二、知识要点梳理1、空间向量的线性运算l 加法交换律：a+b=b+al 加法结合律：a+b+c=a+b+cl 数乘分配律：a+b=a+bRl 数乘结合律：a=aR，Rl 数量积的运算律：n ab=ban ab=abRn ab+c=ab+ac2、共线向量定理l 对空间任意两个向量a、ba=0，b与a共线的充要条件是存在实数，使b=a。l 规定：零向量与任意向量共线。3、共面向量定理l 如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在有序实数组x，y，使得p=xa+yb
2、。4、空间向量基本定理l 如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使p=xe1+ye2+ze35、空间向量的坐标运算设a=x1，y1，z1、b=x2，y2，z2，则l a+b=x1+x2，y1+y2，z1+z2l a-b=x1-x2，y1-y2，z1-z2l a=x1，y1，z1l ab=x1x2+y1y2+z1z26、空间向量的数量积l ab=abcos7、空间向量的夹角cos=abab=x1x2+y1y2+z1z2x12+x22+x32y12+y22+y32l 典型例题题型1 向量的坐标运算例1 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第10题
3、，5分，多选）已知向量ab=bc=ac，b=3，0，-1，c=-1，5，-3，下列等式中正确的是（ BCD ）A. abc=bcB. a+bc=ab+cC. a+b+c2=a2+b2+c2D. a+b+c=a-b-c变式训练（2020年1月无锡市期末测试，第10题，5分）正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则AEAF的值为（ D ）A. -2B. 4C. 2D. 1【分析】如图所示，AE=12AB+AC，AF=12AD代入AEAF，利用数量积运算性质即可得出。【解析】解：如图所示， AE=12AB+AC，AF=12AD AEAF=12AB+AC12AD=14(ABAD+A
4、CAD)=14(22cos60+22cos60)=1。【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。题型2 向量共线问题例2 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第13题，5分）已知向量a=1，4，3，b=-2，t，-6，若a/b，则实数t的值为 -8 。【分析】根据向量平行的坐标表示即可求出参数的值.【详解】向量a=1,4,3，b=-2,t,-6， a/b，所以存在使b=a， -2，t，-6=1，4，3，即-2=t=4-6=3，解得：=-2t=-8。【点睛】此题考查根据向量平行的坐标表示求参数的值，属于简单题目。变式训练（2020年1月常州溧阳
5、市期末测试，第10题，5分）已知在四面体ABCD中，点M是棱BC上的点，且BM=3MC，点N是棱AD的中点，若MN=xAB+yAC+zAD其中x,y,z为实数，则x+y+z的值是（ B ）A. 12B. -12C. 2D. 2【分析】利用向量运算得到MN=-14AB-34AC+12AD得到答案。【解析】MN=MB+BA+AN=34AB-AC-AB+12AD=-14AB-34AC+12AD故x+y+z=-12【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力。题型3 向量垂直问题例3 （2020年1月常州市教育协会期末测试，第7题，5分）已知空间向量m=1,3,x，n=x2,-1,2，则“
6、x=1”是“mn”的（ B ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【分析】根据向量垂直的点积运算得到x的值，进而得到结果。【解析】mn，x2+2x-3=0，x=1或-3。故x=1是mn的充分不必要条件。题型4 直线与平面的夹角问题例4 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第6题，5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CD的中点，直线A1E与平面B1BC所成角的正弦值为（ B ）A. 12B. 13C. 22D. 32【分析】直线A1E与平面B1BC所成角即直线A1E与平面A1AD所成角，根据定义找出线面角即可.【详解】在正方体ABCD-A
7、1B1C1D1中，平面B1BC平面A1AD，所以直线A1E与平面B1BC所成角即直线A1E与平面A1AD所成角，连接A1E，A1D，CD与平面A1AD，所以EA1D就是直线A1E与平面A1AD所成角，在RtEA1D中，tanEA1D=DEA1D=122，所以sinEA1D=13。【点睛】此题考查求直线与平面所成角的大小，根据定义找出线面角即可。变式训练（2021年1月苏州中学期末测试，第11题，5分，多选）在正三棱锥A-BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（ BC ）A. EF与AD所成角的正切值为32B. EF与AD所成角的正切值为23C.
8、AB与面ACD所成角的余弦值为7212D. AB与面ACD所成角的余弦值为79题型5 线面垂直问题例5 （2020年1月南通市启东中学期末测试，第20题，12分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1。（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角BECC1的正弦值。【答案】（1）证明见解析；（2）32【解析】证明（1） ABCD-A1B1C1D1是长方体 B1C1侧面A1B1BA BE平面A1B1BA BEB1C1又BEEC1，B1C1EC1=C1B1C1,EC1平面EB1C1 BE平面EB1C1（2）以点B坐标原点，以BC,
9、BA,BB1分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B0,0,0，Ca,0,0，C1a,0,b，E(0,a,b2)BEEC1 BEEC1=00,a,b2a,-a,b2=0 -a2+b24=0b=2a即：E0,a,a，EC=a,-a,-aCC1=0,0,2a，BE=(0,a,a)设m=(x1,y1,z1)是平面BEC的法向量mBE=0,mEC=0.即：ay1+az1=0,ax1-ay1-az1=0.解得：m=(0,1,-1)，设n=(x2,y2,z2)是平面ECC1的法向量 nCC1=0,nEC=0。即：2az2=0,ax2-ay2-az2=0。解得：n=(1,1,0)二面角B-EC-
10、C1的余弦值的绝对值为：mnmn=122=12所以二面角B-EC-C1的正弦值为：1-(12)2=32题型6 面面垂直问题例6 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第21题，12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=t，M是线段EF的中点。（1）求证：AM/平面BDE；（2）若t=1，求二面角A-DF-B的大小；（3）若线段AC上总存在一点P，使得PFBE，求t的最大值。【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）2。【解析】解：（1）由题意，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直 平面ABCD平面ACEF=CAECAC EC平面ABCD以CD为x
11、轴，CB为y轴，CE为z轴，建立如图所示空间直角坐标系 AB=2，AF=t，M是线段EF的中点 D2,0,0，A2,2,0，B0,2,0，E0,0,t，F2,2,t，M22,22,t又 AM=-22,-22,t，DE=-2,0,t，BD=2,-2,0，DF=0,2,t设平面BDE的法向量为n=x，y，z 由nDE=0nBD=0，可知-2x+tz=02x-2y=0不妨令x=1，则y=1，z=2t 平面BDE的一个法向量为n=1,1,2t AMn=-22-22+2=0又 AM平面BDE AMn AM/平面BDE。（2）若t=1，则BD=2,-2,0，DF=0,2,1 平面ADF的一个法向量为p=1
12、,0,0设平面BDF的法向量为q=x,y,z， 由qDF=0qBD=0，可知2y+z=02x-2y=0不妨令x=1，则y=1，z=-2 平面BDF的一个法向量为q=1,1,-2设二面角A-DF-B的平面角为 为锐角 cos=cosp,q=112=12 二面角A-DF-B的大小为3。（3） 点P在线段AC上，而CA=2,2,0设CP=CA，其中0,1 CP=2,2,0即：P点坐标为2,2,0 PF=2-2,2-2,t BE=0,-2,t PFBE PFBE=0，即-21-+t2=0 t2=21-2，解得t2 t的最大值为2题型7 二面角问题例7 （2020年1月常州市教育协会期末测试，第20题，
13、12分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABAC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=5。（1）求二面角D1-AC-B1的正弦值；（2）点N是线段D1D的中点，点E为线段A1B1上点，若直线NE与平面ABCD所成角的正弦值为36767，求线段A1E的长。【答案】（1）31010 （2）13【解析】（1）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系则A0,0,0，B0,1,0，C2,0,0，D1,-2,0，A10,0,2，B10,1,2，C12,0,2，D11,-2,2又 N分别为D1D的中点 N1,-2,1，AD1=1,
14、-2,2，AC=2,0,0，AB1=0,1,2设m=x，y，z是平面ACD1的法向量由mAD1=0mAC=0，得x-2y+2z=02x=0取z=1，得m=0,1,1设n=x，y，z是平面ACB1的法向量由nAB1=0nAC=0，得y+2z=02x=0取z=1，得n=0，-2，1 cosm,n=mnmn=-21+1152=-1010设二面角D1-AC-B1的平面角为 sin=1-110=31010所以二面角D1-AC-B1的正弦值为31010（2）由题意可设A1E=A1B1，其中0,1，E0,2，NE=-1,+2,1又因为n=0,0,1是平面ABCD的一个法向量所以cosNE,n=NEnNEn=
15、11+22+1设直线NE和平面ABCD所成角为sin=cosNE,n=11+22+1=367整理，得2+4-139=0 -13+133=0解得=13或=-133（舍） 线段A1E的长为13题型8 异面直线的夹角问题例8 （2020年1月常州市教育协会期末测试，第11题，5分）如图，在三棱锥C-OAB中，OAOB，OC平面OAB，OA=6，OB=OC=8，点D、E分别为AC，AB的中点，点F在线段BC上若BF=BC，则异面直线EF与OD所成角的余弦值为（ B ）A. -B. C. -D. 【解析】 OAOB，OC平面OAB， 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系 OA
16、=6，OB=OC=8 A6,0,0，B0,8,0，C0,0,8 点D、E分别为AC，AB的中点 D3,0,4，E3,4,0 BF=34BC F0,2,6，EF=-3,-2,6，OD=3,0,4 异面直线EF与OD所成角的余弦值为cos=EFODEFOD=-9+249+4+369+16=37变式训练（2020年1月常州溧阳市期末测试，第18题，12分）如图，在正方体ABCD-A1BC1D1中，点E是CD的中点。（1）求D1E与AC1所成的角的余弦值；（2）求EB1与平面AD1E所成的角正弦值。【答案】（1）1515（2）63【解析】（1）以DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间
17、直角坐标系设正方体棱长为2，则A2,0,0,C0,2,0E0,1,0,B12,2,2,C10,2,2,D10,0,2 D1E=0,1,-2,AC1=-2,2,2设D1E与AC1所成角为则cos=cosD1E,AC1=D1EAC1D1EAC1=1515 D1E与AC1所成角的余弦值为1515（2）AD1=-2,0,2,AE=-2,1,0,EB1=2,1,2设平面AD1E的一个法向量为n=x,y,z由nAD1=0nAE=0-2x+2z=0-2x+y=0z=xy=2x，取x=1，则n=1,2,1设EB1与平面AD1E所成的角为则sin=cosEB1,n=EB1nEB1n=636=63 EB1与平面A
18、D1E所成的角的正弦值为63题型9 球的内接几何体问题例9 （2021年1月苏州中学期末测试，第13题，5分）一个球的直径为2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为 42 。题型10 几何体的体积问题例10 （2020年1月南通如皋市期末测试，第21题，12分）如图，ABC是边长为3的正三角形，D，E分别在边AB，AC上，且BD=AE=1，沿DE将ADE翻折至ADE位置，使二面角A-DE-C为60。（1）求证：AC平面ADE；（2）求四棱锥A-BDEC的体积。【答案】(1)见解析；(2)78【解析】(1)在ADE中， AD=2，AE=1，DAE=60， DE2=AD2+AE2-2ADAEcosD
19、AE=3， DE2+AE2=4=AD2，AED=90即DEAE，DEEC翻折后，DEAE，DEEC又 EAEC=E，EA，EC平面AEC DE平面AEC，且AEC=60又 AC平面AEC DEAC 在AEC中，AE=1，EC=2，AEC=60，与证明AED=90同理可得:EAC=90 ACAE 由及AEDE=E，AE，DE平面AED AC平面ADE(2)由(1)可知:DE平面AEC，又DE平面BDEC 平面BDEC平面AEC在平面AEC内过A作AHEC于H 平面AEC平面BDEC=ECAH平面AEC AH平面BDEC又 AH=AEsin60=32S四边形BDEC=SABC-SADE=743 V
20、A-BDEC=13S四边形BDECAH=78变式训练（2019年1月苏州市期末联考，第9题，5分）九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在“堑堵”ABC-A1B1C1中，ACBC，若“阳马”B-A1ACC1的体积为20cm，则“堑堵”ABC-A1B1C1的体积为 30 cm。【解析】如图，连接A1C，根据等底等高，易得：VB-AA1C=VB-A1C1C=VA1-BC1C=VA1-BC1B1BA1ACC1的体积为20cm3，ABCA1B1C1的体积为30cm3，
21、题型11 平面图形的翻折问题例11 （2019年1月苏州市期末联考，第16题，12分）如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且AM=MC、DN=NF。（1）证明：MN平面BCF；（2）证明：MNDC。【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【详解】(1)取DC的三等分点P，使DP=12PC AM=12MCMPADMPBCMP平面FBC DN=12NFNPFCNP平面FBC平面MNP平面FBCMN平面FBC（2）CDCB，CDCFCD平面FBCCD平面MNPCDMN即MNDC课堂练习1、（2020年1月无锡市期末测试，第2题，5分）已
22、知向量a=0,1,1，b=1,-2,1.若向量a+b与向量c=m,2,n平行，则实数n的值是（ D ）A. 6B. -6C. 4D. -42、（2020年1月无锡市期末测试，第21题，12分）如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，ABCD，且AB=12，CD=6，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ/OB。（1）证明：OD平面PAQ；（2）若BE=2AE，求二面角C-BQ-A的余弦值。【答案】（1）证明略；（2）66课后巩固练习一、选择题1、（2020年1月常州溧阳市期末测试，第4题
23、，5分） a=2,2m-3,1，b=-4,2,3n-2.若a/b。则实数mn的值是（ D ）A. 2B. 13C. 2D. 02、（2020年1月南通市启东中学期末测试，第11题，5分，多选）如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中, O为底面正方形的中心, M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论正确的有（ ABD ）A. PD平面OMNB. 平面PCD平面OMNC. 直线PD与直线MN所成角的大小为90D. ONPB3、（2020年1月南通如皋市期末测试，第8题，5分）已知a，b是平面外的两条不同直线，它们在平面内的射影分别是直线a，b(a与b不重合)，则下列命题正确的个数是（ B ）
24、 若a/b，则a/b； 若ab，则ab； 若ab，则a/b； 若ab，则ab。A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4、（2020年1月南京秦淮中学期末测试，第3题，5分）若向量a=(0,1,-1),b=(1,1,0)，且(a+b)a，则实数的值是（ C ）A. -1B. 0C. -2D. 15、（2020年1月南通如皋市期末测试，第11题，5分，多选）在正三棱锥A-BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（ BC ）A. EF与AD所成角的正切值为32B. EF与AD所成角的正切值为23C. AB与面ACD所成角的余弦值为7212D. AB与面
25、ACD所成角的余弦值为79第2题 第6题二、填空题6、（2020年1月常州溧阳市期末测试，第15题，5分）已知四棱柱ABCD-A1BC1D1的底面ABCD是矩形，AB=5，AD=3，AA1=4，BAA1=DAA1=60，则AC1= 82 。7、（2019年1月苏州市期末联考，第11题，5分）设m，n是两条不同的直线，、是两个不同的平面下列命题中： 若m，n，则mn； 若m，mn，则n； 若m，则m。正确命题的序号是 。8、（2020年1月南京秦淮中学期末测试，第15题，5分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC1所成角的余弦值是 6
26、6 。9、（2020年1月徐州市期末测试，第14题，5分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=5，则AB1AC1= 34 。三、解答题10、（2020年1月常州溧阳市期末测试，第20题，12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ABAD，BC=233，AB=1，BD=PA=2。（1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；（2）在边BC是否存在一点Q使二面角A-PD-Q的余弦值为3010，若存在请确定点Q的位置，不存在，请说明理由。【答案】（1）（2）存在，当满足时，能使三面角的余弦值为11、（2020年1月镇江市期末测试，第21题，12分）如图，在
27、底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PD底面ABCD，其中PD=DC=2，点E是线段PC的中点。（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；（2）若点F在线段PB上，使得二面角F-DE-B的正弦值为33，求点F的位置。【答案】（1）；（2）为的中点12、（2020年1月南通如皋市期末测试，第18题，12分）在直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC=1，ACB=90，CC1=2，M，N分别是AB1、BC1上的点，且BM:MA=BN:NC=1:2。（1）求证：MN/平面ACC1A1；（2）求平面MNB1与平面A1B1C1所成锐二面角的余弦值。【答案】（1）证明略；（2）13、（2020年1月徐州市期末测试，第21题，12分）如图，在三棱锥P-ABC中，已知ACBC，AC=BC=2a，平面PAB平面ABC，点O,D分别是AB,PB的中点，POAB，连接CD。（1）若PA=2a，并异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；（2）若二面角P-PB-C的余弦值的大小为55，求PA的长。【答案】（1）（2）
